第 3 节  万有引力理论的成就 教学建议

1．教学目标

（1）理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

（2）理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。

（3）认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念。

2．教材分析与教学建议

本节通过具体的案例便学生认识发现万有引力定律的重要意义，认识科学定律对人类探索未知世界的作用。通过具体问题的解决，让学生认识到万有引力定律经受了实践的检验，取得了巨大成功。本节是应用性的内容，应着重引导学生建立物理模型，并明确求解思路。通过本节的学习，重点要使学生深刻体会科学定律对人类探索未知世界的作用，激起学生对科学探究的兴趣。

（1）“称量”地球的质量

“称量”地球的质量对学生来说，既是一个具有挑战性的问题，又是一个学生运用所学的知识和方法可以解决的实际问题，值得教师进行精心设计。

 

教学片段

如何称量地球的质量？

问题 1．称量质量的工具有哪些？测量质量的方法有哪些？依据的原理各是什么？

问题 2．地球的质量如何称量？我们该从什么角度思考这一问题？

问题 3．如何从万有引力定律的角度，考虑地面上的物体，“测出”地球的质量？

问题 4．地面上的物体的运动情况如何？受力情况又如何？

问题 5．为了“测出”地球的质量，我们需要做怎样的简化？能简化吗？

问题 6．你能够推出地球质量的表达式吗？式中的量是否可观测？

问题 7．为什么卡文迪什将自己的实验说成是“称量”地球的重量？

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由于地球半径和重力加速度在卡文迪什实验之前已经被测出，这样只要根据公式就可以算得地球的质量，这不能不说是个奇迹。引得著名文学家马克·吐温的赞叹：“科学真是迷人。根据零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多收获！”教师要引导学生仔细体会这句名言，感悟科学的力量。

需要说明的是，用万有引力定律算得的“质量”，是引力质量，而用牛顿第二定律算得的质量是惯性质量，爱因斯坦曾把这两种质量的等同作为他建立广义相对论的出发点。有关引力质量与惯性质量的关系问题，教师不必向学生作详细介绍，可以布置任务，让学有余力的学生自己去查找资料学习。

（2）计算天体的质量

计算天体质量的思路与前面计算地球质量的思路不同，它需要将万有引力定律与牛顿第二定律结合起来进行处理。由于学生已经具有一定的知识储备，教师应通过问题引导的方法，让学生自主探究。

 

教学片段

计算天体的质量

问题 1．我们能否用称量地球质量的方法计算天体（如太阳）的质量？难点在哪里？

问题 2．天体的质量如何计算？我们该从什么角度思考这一问题？

问题 3．为了运用牛顿第二定律，我们需要寻找怎样的、可观测的情境？

问题 4。行星的运动情况如何？受力情况又如何？

问题 5．为了计算太阳的质量，我们需要做怎样的简化？能简化吗？

问题 6．你能够推导出太阳质量的表达式吗？式中的量是否可观测？

问题 7．上述方法是否可用于计算地球的质量、火星的质量、月球的质量？需要的条件是什么？

问题 8．上述方法能否求出环绕天体的质量？

问题 9．能否在得到天体质量的基础上得到天体的平均密度？

（3）发现未知天体

预言并发现未知天体，是万有引力理论威力和价值的生动例证。1871 年赫歇耳偶然发现天王星，并且经过测量算出其轨道半径和周期，证明它是太阳系成员之一。观测数据表明，天王星的运动有某些极小的不规则性。是什么原因造成的？英国的亚当斯和法国的勒维耶独立地对此进行研究，计算出这颗新行星即将出现的时间和地点，德国天文学家伽勒在天文观测中认出了这颗新行星，与预计的轨道只差 1 度。海王星就这样在笔尖下被发现了。1930 年汤姆波夫根据海王星自身运动不规则的记载又发现了冥王星。教材也提供了部分供学生思考探究的内容，教师应用好这些素材。

是天文观测数据不准确？

是万有引力定律的准确性有问题？

是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？

……

教师也可以引导学生对多种可能性进行发散性思考，并进行讨论。

（4）预言哈雷彗星回归

哈雷利用万有引力定律解释了在 1531 年、1607 年和 1682 年三次出现的彗星，实际上是同一颗彗星的三次回归，它出现的周期为 75 年或 76 年。由此，他预言这颗彗星于 1759 年会再次出现。1759 年，虽然哈雷已去世 17 年，但全世界的天文台都在等待着这颗彗星。果然，1759 年 3 月 13 日，这颗明亮的彗星拖着长长的尾巴出现在星空，后来人们根据哈雷的计算，预测这颗彗星将于 1835 年、1910 年、1986 年回归地球，结果它都如期而归，这就是人人皆知的“哈雷彗星”。人们预计它在 2061 年还将回归地球。让我们等待着它的出现吧！

“许多自然科学的理论之所以被称为真理，不但在于自然科学家们创立这些学说的时候，而且在于为以后的科学实验所证实的时候。”

（5）万有引力定律的其他应用

牛顿发现的万有引力定律，开始包含着假设，也是在其后百多年间，由于不断被科学实验所证实，才逐渐得到普遍承认。对万有引力定律最有效的实验验证之一，是关于地球形状的预测。16 世纪初，航海家麦哲伦率船队环球航行，历时三年，终于成功，这足以证明地球为一球体。那么，地球是不是一个半径处处相同的标准球体呢？在无法从地球之外观察地球全貌，也无法在地面上进行实际测量的情况下，只能借助某些现象作一些预测。牛顿依据万有引力定律与其他力学规律通过理论计算，大胆预言：由于地球的自转，赤道部分的物质应向外隆起，使地球成为两极稍扁的扁球体，犹如一个橘子。笛卡儿根据涡旋假设作出预言，地球应是两极伸长的扁球体，犹如一个柠檬。这场“橘子与柠檬”之争持续了几十年，直到 1735 年，法国科学院派出两个测量队，分赴赤道地区和高纬度地区测量后才一锤定音。牛顿胜利了，万有引力定律也经受住了考验。

另外，牛顿用万有引力定律解释了潮汐现象，用万有引力定律还可以解释地球表面重力加速度微小差异的原因，并用于指导重力探矿。

正像物理学家冯·劳厄所说：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……”

利用这些素材，教师可激发学生学习物理的兴趣。

3．“练习与应用”参考答案与提示

本节配置了 4 道习题。前 2 道习题围绕求解不同星球表面的自由落体加速度、同一星球上不同海拔处的自由落体加速度，意在将万有引力定律和牛顿第二定律结合起来，以帮助学生弄清自由落体加速度的来源及决定因素，想象在月球上由于自由落体加速度的变化对人的举止的影响。第 3 题利用人造地球卫星的运行参数，计算中心天体地球的质量，以巩固对典型模型的掌握，这也是课文“观测人造地球卫星的运动，是测量地球质量的重要方法之一”的具体落实。第 4 题将彗星和地球进行比较，进一步复习开普勒行星运动定律。预测彗星的周期也是万有引力理论的成就之一。地球和彗星都是围绕太阳运动的，地球的轨迹可以近似为圆，彗星的轨迹虽然是椭圆，但是同样遵循万有引力定律，同样绕太阳运动，这也为下一节学习宇宙速度埋下伏笔。“相互作用观”“运动观”，在一个个生动的实例研究中得以潜移默化地形成。

 

1．1.68 m/s²；6 m

提示：在月球表面有 G\(\frac{{{m_月}m}}{{R_月^2}}\) = mg_月，解得 g_月 = G\(\frac{{{m_月}}}{{R_月^2}}\) = 6.67×10⁻¹¹×\(\frac{{7.3 \times {{10}^{22}}}}{{{{(1.7 \times {{10}^3} \times {{10}^3})}^2}}}\) m/s² = 1.68 m/s²。g_月 约为地球表面重力加速度的 \(\frac{1}{6}\)，在月球上人感觉很轻，习惯在地球表面行走的人，在月球表面行走时是跳跃前进的。宇航员在月球上最多能举起的物体质量为 mʹ = 6m。

 

2．在地球表面，对于质量为 m 的物体有 G\(\frac{{{m_地}m}}{{{R^2}}}\) = mg，解得 g = G\(\frac{{{m_地}}}{{{R^2}}}\)。对于质量不同的物体，得到的结果是相同的，即这个结果与物体本身的质量 m 无关。根据万有引力定律 G\(\frac{{{m_地}m}}{{{R^2}}}\) = mg，高山的 r 较大，所以在高山上的重力加速度 g 值就较小。

 

3．5.9×10²⁴ kg

提示：卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，有 G\(\frac{{{m_地}m}}{{{R^2}}}\) = m（\(\frac{{2\pi }}{T}\)）²r，解得地球质量 m_地 = \(\frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}\) = \(\frac{{4{\pi ^2} \times {{(6.8 \times {{10}^6})}^3}}}{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times {{(5.6 \times {{10}^3})}^2}}}\) kg = 5.9×10²⁴ kg。

 

4．（1）18；（2）在近日点的速度大，\(\frac{{r_2^2}}{{r_1^2}}\)

提示：（1）由题知哈雷彗星的运行周期为 75 年。根据开普勒第三定律 \(\frac{{r_地^3}}{{T_地^2}}\) = \(\frac{{a_慧^3}}{{T_慧^2}}\)，得到 \(\frac{{{a_慧}}}{{{r_地}}}\) = \(\sqrt[3]{{\frac{{T_慧^2}}{{T_地^2}}}}\) ≈ 18。故哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的 18 倍。

（2）由开普勒第二定律可知，哈雷彗星在近日点速度大于远日点速度，即 v₁ > v₂。设太阳的质量为 m_太，由万有引力定律和牛顿第二定律可知 G\(\frac{{{m_太}m}}{{{r^2}}}\) = ma。则 a = G\(\frac{{{m_太}}}{{{r^2}}}\)，哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比为 \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}\) = \(\frac{{r_2^2}}{{r_1^2}}\)。