第三章 2 波的描述

问题？

观察水波，可以看出波在空间、时间上具有周期性，我们能否用图像的方法来描述一列波呢？如果能，坐标轴表示的是什么物理量？

过去我们研究的是单个质点的运动情况，用 x-t 图像可以很方便地描述质点在任意时刻的位移。而波却是很多质点的运动，在同一时刻各个质点的位移都不尽相同，不方便用 x-t 图像来描述。能否用其他的图像来描述波呢？我们以横波为例研究波的图像。

波的图像

图 3.2-1 是根据一张绳上横波的照片画出的图，记录了绳上各质点在该时刻的具体位置。如果建立直角坐标系，把该时刻绳上各质点的具体位置反映在坐标系中，就可以得到这一时刻绳子上波的图像。

在图 3.2-2 中，用横坐标 x 表示在波的传播方向上绳中各质点的平衡位置，纵坐标 y 表示某一时刻绳中各质点偏离平衡位置的位移。我们规定，位移向上时 y 取正值，向下时 y 取负值。

把平衡时位于 x₁ ， x₂ ， x₃ ，… 的质点的位移 y₁ ， y₂ ， y₃ ，… 画在Oxy 坐标平面内，得到一系列坐标为（x₁ ，y₁），（x₂ ，y₂），（x₃ ，y₃），…  的点，这些点的集合就是这一时刻波的图像。波的图像有时也称波形图。

如果波的图像是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波（simple harmonic wave）。可以证明，介质中有正弦波传播时，介质的质点在做简谐运动。

简谐波的波形图与质点的振动图像都是正弦曲线，但它们的意义是不同的。波形图表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移，振动图像则表示介质中“某一质点”在“各个时刻”的位移。

我们可以形象地说：波的图像是“照相式”的，而振动图像是“录像式”的。

波长、频率和波速

在上节图 3.1-2 中，从 t ＝ 0 到 t ＝ T 这段时间里，由质点 P₀ 发出的振动传到质点 P₈ ，使质点 P₈ 开始振动。这时质点 P₀ 恰好结束了一次全振动而开始下一次全振动，此后质点 P₀ 和质点 P₈ 的振动步调完全一致。也就是说，这两个质点振动的相位相同，它们在任何时刻对平衡位置的位移的大小和方向总是相同的。同样，质点 P₁ 和 P₉ 、P₂ 和P ₁₀ …… 它们每一对在振动中的相位也总是相同的。

在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离，叫作波长（wave length），通常用 λ 表示（图3.2-3）。

在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。

在波动中，各个质点的振动周期或频率是相同的，它们都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率也叫作波的周期或频率。在图 3.1-2 中，由质点 P₀ 发出的振动，经过一个周期传到质点 P₈ ，也就是说，经过一个周期 T，振动在介质中传播的距离等于一个波长 λ，所以机械波在介质中传播的速度为

\[v = \frac{\lambda }{T}\]

而 f ＝\(\frac{1}{T}\)，所以上式也可以写成

\[v = f\lambda \]

机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定，在不同的介质中，波速是不同的。声速还与温度有关，表中列出了 0 ℃ 时声波在几种介质中的传播速度。

思考与讨论

图 3.2- 4 中实线为 t 0 时刻的波形图，虚线为 t ＝ 0.1 s 时刻的波形图。据此能否判定波的传播方向？

【例题】

图 3.2-5 中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过 0.5 s 后，其波形如图中虚线所示。设该波的周期 T 大于 0.5 s。

（1）如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？

（2）如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？

分析 这列波的周期大于 0.5 s，所以经过 0.5 s 的时间，这列波传播的距离不可能大于一个波长 λ。当波向左传播时，图中的波峰 1 只能到达波峰 2，而不可能向左到达更远的波峰。当波向右传播时，图中的波峰 1 只能到达波峰 3，而不可能向右到达更远的波峰。

已知波传播的时间 t ＝ 0.5 s，由图可以知道波的传播距离，由公式 v ＝\(\frac{{\Delta x}}{t}\) 就能够求出波的传播速度 v。

由图又可以知道波长 λ，由公式 v ＝\(\frac{\lambda }{T}\)  就能够求出周期 T。

解 （1）如果波是向左传播的，从图 3.2-5 看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向左移动了 6 cm（\(\frac{1}{4}\)个波长），由此可求出波速的大小

\[v = \frac{{\Delta x}}{t} = \frac{{0.06}}{{0.5}}{\rm{m/s}} = 0.12{\rm{m/s}}\]

波的周期为

\[T = \frac{\lambda }{v} = \frac{{0.24}}{{0.12}}{\rm{s}} = 2.0{\rm{s}}\]

（2）如果波是向右传播的，从图 3.2-5 看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向右移动了 18 cm（\(\frac{3}{4}\)个波长），由此可以求出波速的大小

\[v = \frac{{\Delta x}}{t} = \frac{{0.18}}{{0.5}}{\rm{m/s}} = 0.36{\rm{m/s}}\]

波的周期为

\[T = \frac{\lambda }{v} = \frac{{0.24}}{{0.36}}{\rm{s}} = 0.67{\rm{s}}\]

练习与应用

本节共 6 道习题。第 1 题通过作图让学生掌握判断波动中质点速度方向的基本方法，第 2 题考查学生对波动中质点振动的理解，第 3 题引导学生进一步认识波传播方问与质点振动方向的联系，第 4 题重点考查振动图像与波的图像的区别与联系，第 5 题考查波速、波长、频率三者间的关系，让学生掌握波由一种介质进入另一种介质时频率不变的特点，第 6 题训练学生解决实际问题的能力。

1．图 3.2-6 为一列沿 x 轴正方向传播的简谐波在初始时刻的波形，试画出该简谐波经过极短一段时间后的波形图，并确定初始时刻图中 A、B、C、D 四个质点的振动方向及这段时间内质点速度大小的变化情况。

参考解答：波形图如图中虚线所示，A 质点振动方向沿 y 轴负向，振动速度变大；B 质点振动方向沿 y 轴正向，振动速度变小；C 质点振动方向沿 y 轴正向，振动速度变大；D 质点振动方向沿 y 轴 负向，振动速度变小。

提示：把实线波形沿波的传播方向向右平移极小一段距离，如图中虚线所示。以 B 点为例，因 B 点运动到了 B′ 点，故 B 点在 t = 0 时刻沿y轴正方向运动，该质点这段时间内速度变小。

2．简谐横波某时刻的波形如图 3.2-7 所示，P 为介质中的一个质点，波沿 x 轴的正方向传播。

（1）此时刻与 \(\frac{1}{4}\)T 时刻，质点 P 的速度与加速度的方向各是怎样的？

（2）经过一个周期，质点 P 通过的路程为多少？

（3）有同学说由此时刻起经过 \(\frac{1}{4}\)T 后，质点 P 通过的路程为 A₀ ，你认为这种说法对吗？

参考解答：（1）质点 P 此时刻的速度沿 y 轴的正方向，加速度沿 y 轴的负方向；\(\frac{T}{4}\) 时刻质点 P 的速度与加速度都沿 y 轴的负方向。

（2）4A

（3）不对

3．图 3.2-8 是一列波的图像。

（1）如果波沿着 x 轴的正方向传播，K、L、M 三个质点，哪一个最先回到平衡位置？

（2）如果波沿着 x 轴的负方向传播，K、L、M 三个质点，哪一个最先回到平衡位置？

参考解答：（1）如果波沿着 x 轴的正方向传播，K 点最先回到平衡位置。

（2）如果波沿着 x 轴的负方向传播，M 点最先回到平衡位置。

4．一列横波某时刻的波形如图 3.2-9 甲所示，图 3.2-9 乙表示介质中某质点此后一段时间内的振动图像。

（1）若波沿 x 轴的正方向传播，图乙为 K、L、M、N 四点中哪点的振动图像？

（2）若波沿 x 轴的负方向传播，图乙为 K、L、M、N 四点中哪点的振动图像？

参考解答：（1）若波沿 x 轴的正方向传播，图乙为 L 点的振动图像。

（2）若波沿 x 轴的负方向传播，图乙为 N 点的振动图像。

5．在空气中波长为 1 m 的声波，由空气传入水中，声波在水中的频率和波长各是多少？（此时温度为 0 ℃）

参考解答：频率为 332 Hz，波长约为 4.4 m。

6．湖面上停着 A、B 两条小船，它们相距20 m。一列水波正在湖面上沿 AB 连线的方向传播，每条小船每分钟上下浮动 20 次。当 A 船位于波峰时，B 船在波谷，两船之间还有一个波峰。求水波的波速。

参考解答：4.4 m/s

发布时间：2020/8/31 下午8:32:13  阅读次数：3635