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第十章

静电场中的能量

 

第十章  静电场中的能量

课程标准的要求

3.1.5  知道静电场中的电荷具有电势能。了解电势能、电势和电势差的含义。知道匀强电场中电势差与电场强度的关系。能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象。

3.1.6  观察常见电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象。能举例说明电容器的应用。

一、本章教材概述

本章是高中物理电学内容的第二章。前一章从力的视角来研究电场性质，而本章则从能的视角进一步研究电场的性质。物理学中的“电能”究竟说的是什么，本章将给学生一个清晰的认识；初中所说的“电压”是什么，学了本章之后，会真正了解电压的物理意义。本章所涉及的电学中的重要概念是学好本章及后续几章的基础。

能量观是重要的物理观念，电能是形成能量观不可缺少的内容，学生在本章中将根据静电力做功来建立电势能的概念；随后知道不同电场赋予外来电荷电势能的本领是不同的，电势是描述电场这种本领的物理量，电势之差就是电势差；由于静电力等于电场强度与电荷量的乘积，静电力做的功等于电势差与电荷量的乘积，由静电力跟静电力做功之间的关系，可以推出电势差与电场强度的关系。以上关于静电场中能量的讨论，是本章内容的第一个主题。

本章的第二个主题是电容器的电容。对学生来说，电容是一个新概念。跟电场强度、电势一样，电容也是用两个物理量之比来定义的。这三个定义式的分母都是电荷量 q，但这三个物理量的决定因素都跟电荷量 q 没有关系。教学中应注意对此进行前后铺垫和呼应。

本章的第三个主题是带电粒子在电场中的运动。实际上，这是第九、十两章最后的应用小结。它汇集了带电粒子运动与静电力的制约关系、系统电势能与机械能的转化等问题，是提升“运动与相互作用观”“能量观”的很好载体。

具体来说，编写本章时有以下思考。

1．形成一个关联紧密的封闭知识链

静电场中经常涉及的物理量有 6 个：静电力、电场强度、静电力的功、电势能、电势、电势差。教科书的知识脉络把这 6 个物理量的关系构成了一个如图 10–1 的封闭知识链，其中的实线箭头指明教科书逐渐展开的线索。

当教学完成后，两物理量之间就建立了双向联系。此时我们增加一个逆向的虚线箭头（图 10–1），这表示逆向的求解也是可行的。同时，封闭六边形的两个顶点（静咆力的功、电势差）还能建立一个直接的关系式 W_AB = qU_AB。这就相当于在一个六边形的蜂巢结构上加一条横梁，更加牢固了。熟悉物理量相互之间关系的结构，对灵活运用物理知识解决物理问题具有重要意义。

2．重视知识的铺垫和引申

前面学过的知识为后面的学习过程进行铺垫，给后面同类的学习过程打下基础；后面的学习对前面的同类学习过程进行引申，使该过程得以拓展和发挥。这常常是物理课中一种有效的教学方法。本章关于知识的铺垫和引申，有四个方面需要教师作出布局。

第一是静电力做功与路径无关，这是对重力做功与路径无关的引申。在说明重力做功与路径无关时，《普通高中教科书物理必修第二册》在正文中只设计了物体沿直线从两条路径进行论证，具有普遍意义的沿任意曲线路径的论证，则在“拓展学习”栏目中简要说明。本章关于静电力做功与路径无关的论证，其能力要求的设计比重力做功的论证有所提升。教科书正文中除了通过直线路径进行说明之外，还通过任意曲线的路径，运用极限的思想进行论证，更加严密和更具有普遍意义。

第二是静电力做的功等于电势能的减少量，这是对重力做的功等于重力势能的减少量的引申。与学习重力做功时不同的是，学生在学习电势能时，已经了解动能定理的知识，因此在引申静电力做的功跟电势能变化的关系时，可以借助动能定理的知识，使论证更加科学、更加严密和富有逻辑。

第三是电势概念的建立，它是电场强度概念建立过程的引申。在建立电场强度概念时，要创设情境说明“试探电荷在电场中某点所受的静电力与它的电荷量之比与试探电荷无关”这个结论；在建立电势概念时，关键是要得到“试探电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量之比与试探电荷无关”这个结论。因此，在讲授电场强度和电势能的过程中，应该为突破难点做好充分的铺垫。

第四是电势差的概念，应该为以后学习串联电路总电压等于各部分电压之和等电路知识的理论分析进行铺垫，提升用电势差的概念分析电路的理论水平。

3．通过创设情境突出重点、突破难点

电势能是本章的重点，也是难点。为什么静电力做功与路径无关就可以引入电势能的概念？这是学生常常感到困惑的问题，也是教师不容易讲清楚的内容。应该怎样讲浦楚这个因果关系？重力势能是这样引出的：在得到重力做的功等于 mgh 后，教科书引导说，mgh 的值“随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加，恰与前述重力势能的特征一致”，因此把 mgh 叫作重力势能。教科书这样引出，是基于学生当时的学习基础。而在建立电势能概念时，学生的知识基础大不相同了，已经学习了动能定理的知识，因此，就有条件使电势能的引入更有逻辑，可以在学生原有认知基础上创设合理情境，通过逻辑推理来建立电势能的概念。例如创设这样的情境：一个带电质点在电场中由 A 运动到 B，只受静电力作用，由于静电力做功，质点增加了一定的动能。由动能定理可知，质点增加的动能等于静电力所做的功。根据能量守恒定律，质点动能的增加一定意味着另一种形式的能量减少，这种形式能量的减少量也等于静电力做的功（功是能量变化的量度）。由于静电力做的功与路径无关，是由始、末位置决定的，说明电场中这种形式的能量是由位置决定的，因此把这种能量叫作“电位能”，后来统一称为“电势能”。这样，电势能概念的提出不是笼统、抽象的，而是创设了质点在静电力作用下由 A 运动到 B 的具体情境后，根据动能定理，一环扣一环进行思维加工，从而引出电势能的。

电势是本章的重点，也是难点。为什么试探电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量之比跟试探电荷无关呢？可以创设这样的情境：以无限远为零势能位置，把电荷量为 q 的试探电荷从无限远移到电场中某点。设静电力做负功，功的绝对值为 W，则试探电荷在电场中该点的电势能是 W。现把另一电荷量为 2q 的试探电荷也从无限远移到电场中同一点，它们的路径一样，位移完全相同。两个试探电荷在电场中同一位置，2q 所受的静电力始终等于 1q 的 2 倍（因电场强度相同），因此从无限远移动 2q 到电场中某点静电力做的功一定是 1q 的 2 倍。这样 2q 在电场中的电势能就是 1q 的 2 倍，因此，试探电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量之比必然跟试探电荷的电荷量无关。

教科书不可能花费大量笔墨创设具体的情境，更多的情境需要在教学中进行再创造。

4．理解物理量的“定义式”和“决定式”的区别

在第九、十两章中，学习了三个重要的物理量：电场强度、电势、电容。因此有条件在本章让学生体会物理量的“定义式”和“决定式”的区别，提高学生对物理公式的理解能力。学生最容易犯的毛病是把物理量定义式中的那些量理解为该物理量的决定因素，认为电场强度是由试探电荷所受的静电力决定的，认为电势是由试探电荷的电势能决定的、电容器的电容是由电容器所带的电荷量决定的。为此，教学中可以用电场强度的定义式 E = \(\frac{F}{q}\) 和点电荷电场强度的决定式 E = k\(\frac{Q}{r^2}\) 为例，说明定义式和决定式的两大区别：一是定义式是普遍适用的。无论是点电荷的电场、匀强电场还是其他的各种电场，公式 E = \(\frac{F}{q}\) 都适用，因为这是定义。而决定式是有条件的，例如 E = k\(\frac{Q}{r^2}\)，只适用于点电荷产生的电场，不适用于带电的平行板电容器，决定平行板电容器两板之间电场强度的，有另外的公式。二是定义式 E = \(\frac{F}{q}\) 可以用来量度某点的电场强度，并非电场强度是由 F、q 决定的。电场中某点的电场强度究竟是由哪些因素决定的，不同的电场有不同的决定式。

电势、电容这两个物理量，也存在区别其定义式和决定式意义的问题。教学中，可以通过表格列出电场强度、电势、电容三个物理量的定义式和点电荷电场强度、平行板电容器电容的决定式（这是教科书的拓展学习内容），并告诉学生，点电荷电场的电势也有决定式 φ = k\(\frac{Q}{r}\)。把它们罗列出来具体说明定义式和决定式的区别，能帮助学生理解其中的内涵。到下一章“电路及其应用”的学习中，电阻的定义式 R = \(\frac{U}{I}\) 和金属导线电阻的决定式 R = ρ\(\frac{l}{S}\)，将进一步帮助学生理解定义式和决定式的区别。

定义式和决定式反映了人们对自然界认识的不同层次。定义式侧重描述客观世界，刻画自然界是怎样的；决定式则侧重对客观世界的因果解释，解释自然界为什么是这样的。因此，在教学中不仅要讨论两者的区别，还应该了解两者又是如何相互联系着的。

课时安排建议

第 1 节          电势能和电势                                2 课时

第 2 节          电势差                                             1 课时

第 3 节          电势差与电场强度的关系            1 课时

第 4 节          电容器的电容                                1 课时

第 5 节          带电粒子在电场中的运动            2 课时

第 1 节  电势能和电势  教学建议

1．教学目标

（1）通过计算在匀强电场中移动电荷静电力所做的功，认识静电力做功跟路径无关的特点。

（2）通过类比重力势能引入电势能，体会能量观点是分析物理问题的重要方法，并进一步认识到物理学的和谐统一性。

（3）理解电势能的变化与静电力做功的关系。知道常见的电势能零点的规定方法。

（4）通过建立电势概念的过程，理解电势是从能的角度描述电场的物理量。会判断电场中两点电势的高低。

2．教材分析与教学建议

教科书按静电力做功—电势能—电势的线索设计教学内容，突出通过做功研究能量变化的科学思想。

教科书首先论证静电力做功与路径无关，接着通过类比法得出了电势能的概念，静电力做的功等于电势能的减少量，电势能具有相对性。随后，论证电势能的大小与检验电荷的电荷量成正比，又得到了电势的概念。这样既降低了教学难度，义有利于提高学生的思维品质、掌握科学方法。

电势概念的建立既是重点，也是难点。说它是重点的原因是：第一，电势是描述电场的两个核心概念之一（前一个是电场强度），电势是描述电场能量性质的物理量。第二，建立电势概念与建立电场强度概念都采用了用物理量之比定义新物理量的方法．有利于学生体会科学研究方法。

之所以是难点的原因是：第一，经过《普通高中教科书物理必修第二册》功和能的关系问题学习，对学生来说，能量虽然是熟知的概念，但是电势能的概念抽象，需要类比重力势能来学习；电势和电势差概念相对更抽象。第二，学生学习重力势能时没有接触与电势相对应的物理量，如“重力势”，所以教科书通过类似电场强度的定义过程来定义电势。

（1）问题引入

教科书给出正电荷只受静电力作用加速的问题情景。引导学生提出新问题：是什么形式的能转化为试探电荷的动能？这个问题情景有两个作用。一是学生从能量转化角度定性判断存在另外一种形式的能量，说明提出的问题有探究的必要。二是引导学生猜想：动能增加了 W_AB，另外一种形式的能量的变化量也应该与 W_AB 有关。这样，就为探究问题提供了研究线索（即研究静电力做功）。

（2）静电力做功的特点

教科书采用静电力与重力类比引出问题。从对比两个受力相似的情景入手，复习重力做功与路径无关，猜想静电力做功是否有类似的特点。问题直接指向对比二力做功而不涉及能量，问题简单有利于学生直接进入探究。教师可创设最简单的在匀强电场移动电荷的情景，提出要研究静电力做功的问题：

①试探电荷沿直线由 A 运动到 B（教科书图 10.1–2），静电力做多少功？

②试探电荷沿折线由 A 经过 M 再运动到 B（教科书图 10.1–2），静电力做多少功？

③试探电荷在匀强电场中沿任意曲线由 A 运动到 B（教科书图 10.1–3），静电力做多少功？

①、②的问题可以由学生白己解决。③的问题比较复杂，需要引导学生把曲线分成很多小段，小到分割后的每一段曲线都可以看作直线。这样，将问题转化为②的问题。电荷沿每一小段直线移动时静电力做的功都可以求出，每小段做功的代数和就是整个过程中静电力做的功。这里再次渗透微元法，利用“化曲化直”解决曲线变化问题。

结论：在匀强电场中移动电荷时静电力做功与电荷经过的路径无关，即 W = qE | AM |。

把这一结论推广到一般电场中去的证明超出了中学物理的要求，所以不必深究。

（3）电势能

静电力做功写重力做功有共同的特点：所做的功与路径无关。通过类比建立电势能的概念，对培养学生的逻辑思维能力和研究方式都是非常重要的。

建议组织学生讨论：这种新能量到底是什么形式？引导学生回忆重力势能概念的建立过程，通过静电力做功与重力做功有共同的特点——所做的功与路径无关，启发学生把两种场在力的角度、做功的角度类比之后，继续从能量角度进行类比，得出电荷在电场中具有电势能，并理解电势能属于电荷和电场组成的系统。假设电荷从电势能为 O 处沿不同路径移动到电场中另一点 A，如果移动电荷时静电力做的功不同，A 点的“势能”还有没有确定的意义？这些思考，有利于学生理解建立电势能的概念时为什么要讨论静电力做功的问题，使学生对重力势能与电势能的共性有清晰的认识，理解一个空间位置对应一个确定的势能值。

关于“静电力做的功等于电势能的减少量”的得出，学生可能有不同的思路：类比重力做功与重力势能的关系；在只受静电力情景下，利用动能定理和能量守恒推出。这里可以让学生交流汇报自己的思路，然后继续探究电势能的大小如何确定，引出电势能的大小也具有相对性，并探究出：电荷在某点的电势能等于把电荷从该点移动到零势能位置时静电力做的功。

应该指出，静电力做功比重力做功的情况复杂。因为地球产生的重力场对物体只能产生引力，但场源电荷产生的电场对电荷既可以产生引力，也可以产生斥力，导致静电力做功的情况较为复杂。在同一电场中，同样从 A 点到 B 点，移动正电荷与移动负电荷，电荷的电势能变化是相反的。教学的重点要突出重力做的功等于重力势能的减少量，无论正、负电荷，静电力做的功都等于电势能的减少量。

 

教学片段

静电力做功与电势能变化

设计如下问题，组织学生讨论、发现规律。

问题 1：电荷 +q 在静电力作用下从 A 点移动到 B 点（图 10–2），静电力做什么功？电势能怎样变化？

问题 2：电荷 +q 在静电力作用下从 B 点移动到 A 点，静电力做什么功？电势能怎样变化？

问题 3：电荷 −q 在静电力作用下从 A 点移动到 B 点，静电力做什么功？电势能怎样变化？

问题 4：静电力做功与电势能变化有怎样的关系？

（4）电势

教科书在定义电势之前没有直接与定义电场强度进行类比，没有直接提出要找电势能与电荷量的比值，而是通过计算电荷在电场两点间移动时静电力做的功，推断试探电荷在电场中同一点的电势能与它的电荷量成正比（推断方法与定义电场强度之前的方法类似），从中发现电势能这个物理量不仅与电场性质有关，还与试探电荷的电荷量有关。所以，电势能不能用来描述电场的性质。

这里教师可以引导学生：以前我们遇到这种情况是怎么处理的？在讨论这些问题的过程中，通过师生互动、同伴交流加深对用物理量之比定义物理量的过程体验，由此得出电势的定义式。类比电场强度的定义方式引入电势这个概念，使学生在已有前概念的基础上有了自然的知识过渡，即电场强度从力的角度描述电场，电势从能的角度描述电场，其表现特征的差异更能让学生关注到二者各自的特殊性．完善对电场的认识。

形成电势概念的过程中，需要引导学生明确以下几个问题：

①它是描述电场的能的性质的又一重要物理量。

②明确电势与电场强度的区别与联系。电场强度是矢量；电势是标量。二者均与试探电荷无关，均属于描述静电场某点性质的物理量。

③电势的相对性与电势能的相对性对应。应该先规定电场中某处的电势为 0，然后才能确定电场中其他各点的电势。应用中常常选取大地为电势零点，理论研究中选取无限远为电势零点。由此明确电势有正负的意义。

④电场线指向电势降低的方向。

为了降低难度，“电场线指向电势降低的方向”的结论可以利用在电场中移动正电荷来探究得到。

 

教学片段

电势

问题 1：描述电场的力的性质的物理量是电场强度。我们是用什么方法定义电场强度这个物理量的？我们是怎样用物理量之比定义电场强度的？

学生活动：在电场中的同一点放入不同电荷量的试探电荷，试探电荷所受的静电力的大小不同，但试探电荷所受静电力的大小与其电荷量之比是恒定的。这个比反映了电场自身的性质。比值大的地方，电场较强，比值小的地方，电场较弱。我们就用这个比表示电场的强弱，称为电场强度。

问题 2：我们需要引入一个物理量来描述电场中不同点的能的性质的不同。与电场强度定义类似，我们来考查在一个电场中的同一点放入不同电荷量的试探电荷，试探电荷所具有的电势能有什么规律？

在电场强度为 E 的匀强电场中（图 10–2），有 A、B 两点，距离为 l。若规定电荷在 B 点的电势能为 0，则

（1）电荷 +q 在 A 点的电势能 E_pA = ______。

电势能跟电荷量的比值 \(\frac{{{E_{{\rm{p}}A}}}}{q}\) = __________。

（2）电荷 +nq 在 A 点的电势能 E_pA = ______。

电势能跟电荷量的比值 \(\frac{{{E_{{\rm{p}}A}}}}{nq}\) = __________。

总结规律：①电荷在电场中某点的电势能与试探电荷有关。

②电荷的电势能与其电荷量之比跟电荷无关。

③\(\frac{{{E_{\rm{p}}}}}{q}\) 由电场某点的位置决定。

问题 3：选择什么物理量来描述电场的能的性质？用电势能可以吗？在电场中的同一点，试探电荷的电势能与其电荷量之比一定，说明什么？

学生讨论：同一试探电荷在电场中的不同点所具有的电势能通常不同。\(\frac{{{E_{\rm{p}}}}}{q}\) 由电场某点的位置决定，可以定义为描述电场的能的性质的物理量。

问题 4：将电荷 −q 从 A 点移到 B 点，

（1）静电力做什么功？做了多少功？

（2）电势能怎样变化？变化了多少？

（3）电势怎样变化？变化了多少？

若将电荷 +q 从 A 点移到 B 点，上述三问的答案又如何？

学生归纳：沿电场线方向，电势降低。

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为了引导学生形象化理解“电势与试探电荷的电荷量无关”，可以采用地势来类比电势。但不能直接依靠用电势类比地势得到“电场线指向电势降低的方向”的结论，而应该从对电场本身的分析得出此结论。

3．“练习与应用”参考答案与提示

本节共 7 道题，是围绕静电力做功、电势能的计算和电势高低的判断三个内容编写的。问题紧扣教科书内容，对巩固基本概念十分有益。题目着眼于教科书的基本概念的得来、物理意义和概念间的相互关系，体现了物理观念的学科素养。第 1 题通过计算来加深“静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关”这一认识。第 2 题巩同电势和电势能的计算。第 3 题根据试探电荷的电性和电势能的大小判断电势的高低。第 4 题应用电场线判断电势的高低。第 5 题考查场源电荷某一条电场线上静电力做功与电势能变化的关系及其特点。第 6 题研究静电力做功与电势能变化的关系。第 7 题探讨等量同种电荷周围的电势与电势能。

 

1．2.64×10⁻⁷ J；2.64×10⁻⁷ J

提示：W₁ = W_AB + W_BC = Eq|AB| + Eq|BC| cos60° =2.64×10⁻⁷ J，W₂ = Eqcos∠BAC |AC| = Eq(|AB| + |BC| cos60°) = 2.64×10⁻⁷ J。

 

2．15 V：− 3×10⁻⁹ J

提示：φ_A = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}A}}}}{q}\) = \(\frac{{6 \times {{10}^{ - 8}}}}{{4 \times {{10}^{ - 9}}}}\) V = 15 V，E_pAʹ = q₂φ_A = −2×10⁻¹⁰×15 J = − 3×10⁻⁹ J。

 

3．（1）A 点电势高；（2）D 点电势高；（3）F 点电势高

小结：第（1）问表明在电场中，同一正试探电荷的电势能越大的点，电势越高；同一正试探电荷在电势越高的点，电势能越大。

第（2）问表明在电场中，同一负试探电荷的电势能越大的点，电势越低；同一负试探电荷在电势越高的点，电势能越小。

第（3）问表明正试探电荷的电势能为负值的点的电势小于负试探电荷的电势能为负值的点的电势。

提示：（1）φ_A = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}A}}}}{q}\)，φ_B = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}B}}}}{q}\)。因为 E_pA > E_pB，所以 φ_A > φ_B，可见 A 点的电势比 B 点的高。

（1）φ_C = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}C}}}}{-q}\) = − \(\frac{{{E_{{\rm{p}}C}}}}{q}\)，φ_D = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}D}}}}{-q}\) = − \(\frac{{{E_{{\rm{p}}D}}}}{q}\)。因为 E_pC > E_pD，所以 φ_C < φ_D，故 D 点的电势比 C 点的高。

（3）φ_E = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}E}}}}{q}\) < 0，φ_F = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}F}}}}{-q}\) = − \(\frac{{{E_{{\rm{p}}F}}}}{q}\) > 0，可见 φ_F > φ_E，故 F 点的电势比 E点的高。

 

4．（1）M 点电势高；（2）M点电势高

小结：（1）在同一条电场线上，沿着电场线的方向，电势逐渐降低。

（2）研究不在同一条电场线上的两个点电势的高低时，可以先过其中的一个点，作出等势面（即图中的直线 AB）。设该等势面与 P 点所在的电场线交于 M′ 点，显然，M′ 点的电势与 M 点的电势相等。而在同一条电场线上，M′ 点的电势比 P 点的电势高。所以，M 点的电势比 P 点的电势高。

提示：（1）沿着电场线的方向，电势是逐渐降低的，所以 M 点的电势比 N 点的高。

（2）先假设正试探电荷从 M 点沿着与电场线始终垂直的路径移动到与 P 点在同一条电场线上的 M′ 点，这一过程中静电力不做功。再把这一电荷从 M′ 点移动到 P 点，全过程静电力做正功。所以，从 M 点移动到 P 点静电力做正功，电势能减少，\(\frac{{{E_{{\rm{p}}M}}}}{q}\)  > \(\frac{{{E_{{\rm{p}}P}}}}{q}\)，M 点的电势比 P 点的电势高。

 

5．负电荷；A 的左边

提示：电荷在电场中某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置的过程中，静电力所做的功。取无穷远为零势能点，有 E_pA = W_AO = − W_OA = − 4×10⁻⁸ J，φ_A = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}A}}}}{q_1}\) = \(\frac{{-4 \times {{10}^{ - 8}}}}{{ {{10}^{ - 9}}}}\) V = − 40 V，E_pB = W_BO = − W_OB = 6×10⁻⁸ J，φ_B = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}A}}}}{q_2}\) = \(\frac{{6 \times {{10}^{ - 8}}}}{{-2 \times {{10}^{ - 9}}}}\) V = − 30 V。φ_A < φ_B < 0，故电场线方向为从 B 指向 A，且场源电荷为负电荷，其位置在 A 点的左边。

 

6．负功；5×10⁻⁸ J

提示：φ_A = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}A}}}}{q_1}\) = \(\frac{{-4 \times {{10}^{ - 8}}}}{{2 \times {{10}^{ - 9}}}}\) V = − 20 V，φ_B = \(\frac{{{E_{{\rm{p}}B}}}}{q_2}\) = \(\frac{{9 \times {{10}^{ - 8}}}}{{-3 \times {{10}^{ - 9}}}}\) V = − 30 V。将 q₃ 分别放在 A、B 两点，它具有的电势能分别为 E_pA = q₃φ_A = − 5×10⁻⁹×（− 20）J = 1.0×10⁻⁷ J，E_pB = q₃φ_B = − 5×10⁻⁹×（− 30）J = 1.5×10⁻⁷ J。把 q₃ 由 A 点移到 B 点，静电力做的功为 W_AB = E_pA − E_pB = − 0.5×10⁻⁷ J = −5×10⁻⁸ J。静电力做负功，数值是 5×10⁻⁸ J。

 

7．将电荷量为 q 的负点电荷 A 沿直线移到 B 点，静电力做负功，电势能增加；再沿直线移到 C 点，静电力做负功，电势能增加。