第八章 4 机械能守恒定律

问题

伽利略曾研究过小球在斜面上的运动。他发现：无论斜面 B 比斜面 A 陡些或缓些，小球的速度最后总会在斜面上的某点变为 0，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度基本相同。

在小球的运动过程中，有哪些物理量是变化的？哪些是不变的？你能找出不变的量吗？

追寻守恒量

能量对于科学研究和日常生活有着巨大的影响，但要用一句话说清楚能量究竟是什么却非易事。这也许是牛顿未能把“能量”这一概念留给我们的原因之一。但是在牛顿之前，我们就已经能在力学领域发现它的萌芽。

科学概念的力量在于它具有解释和概括一大类自然现象的能力。在这方面能量概念的作用十分突出。

如果不采用能量的概念，我们也可以利用以前的语言来描述伽利略的斜面实验。我们可以说，为了把小球从桌面提高到斜面上的某个位置，伽利略施加了与重力相反的力；当他释放小球时，重力使小球滚下斜面 A ；在斜面的底部，小球由于惯性而滚上斜面 B。

但是，这样的描述不能直接表达一个最重要的事实：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。其实，伽利略已经走到了机械能守恒的大门口，只是当时还没有“能量”的概念，因此，伽利略没有得出机械能守恒的结论。

能量概念的引入是科学前辈们追寻守恒量的一个重要事例。

动能与势能的相互转化

物体沿光滑斜面滑下时，重力对物体做正功，物体的重力势能减少。减少的重力势能到哪里去了？

我们发现，在这个过程中，物体的速度增加了，表示物体的动能增加了。这说明，物体原来的重力势能转化成了动能。

具有一定速度的物体，由于惯性沿光滑斜面上升，这时重力对物体做负功，物体的速度减小，表示物体的动能减少了。但由于物体的高度增加，它的重力势能增加了。这说明，物体的动能转化成了重力势能。

竖直向上抛出一个物体，随着物体高度的增加，它的速度会减小；当物体到达最高点后会转而下降，同时速度逐渐增大。这一过程同样可以从动能和重力势能相互转化的角度来分析。

不仅重力势能可以与动能相互转化，弹性势能也可以与动能相互转化。例如，被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原来形状时，就把跟它接触的物体弹出去。这一过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，而物体得到一定的速度，动能增加。再如，运动员从跳板上弹起的过程中，跳板的弹性势能转化为运动员的动能（图 8.4-1），也是这样一种过程。

重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能（mechanical energy）。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。

思考与讨论

一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落（图 8.4-2）。它们都由高度为 h₁ 的地方下落到高度为 h₂ 的地方。在这两种情况下，重力做的功相等吗？重力势能的变化相等吗？动能的变化相等吗？重力势能各转化成什么形式的能？

机械能守恒定律

动能与势能的相互转化是否存在某种定量的关系？

这里以动能与重力势能的相互转化为例，讨论这个问题。我们讨论物体沿光滑曲面滑下的情形。这种情形下，物体受到重力和曲面支持力的作用，因为支持力方向与运动方向垂直，支持力不做功，所以，只有重力做功。

在图 8.4-3 中，物体在某一时刻处在高度为 h₁ 的位置A，这时它的速度是 v₁ 。经过一段时间后，物体下落到高度为 h₂ 的另一位置 B，这时它的速度是 v₂。用 W 表示这一过程中重力做的功。从动能定理知道，重力对物体做的功等于物体动能的增加，即

\[W = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2\]

另一方面，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少，即

\[W = mg{h_1} - mg{h_2}\]

从以上两式可得

\[mg{h_1} - mg{h_2} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2\]

这就是说，重力做了多少功，就有多少重力势能转化为动能。把上式移项后得到

\[mg{h_2} + \frac{1}{2}mv_2^2 = mg{h_1} + \frac{1}{2}mv_1^2\]

等式左边为物体末状态动能与势能之和，等式右边为物体初状态动能与势能之和。

可见，在只有重力做功的系统内，动能与重力势能互相转化时总的机械能保持不变。

思考与讨论

在图 8.4-3 中，如果物体从位置 B 沿光滑曲面上升到位置 A，重力做负功。这种情况下上式的关系是否还成立？

同样可以证明，在只有弹力做功的系统内，动能和弹性势能互相转化时总的机械能也保持不变。在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。这叫作机械能守恒定律（law of conservation of mechanical energy）。它是力学中的一条重要定律，是普遍的能量守恒定律在力学范围内的表现形式。如图 8.4-4，滑雪者沿斜面下滑时，斜面的支持力与运动方向垂直，不做功；如果阻力做的功较少，可以忽略，则只有重力做功。此种情况下，动能与重力势能可以互相转化，总的机械能守恒。如果阻力做的功较大，不能忽略，则机械能不守恒。

【例题】

把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（图 8.4-5），摆长为 l，最大偏角为 θ。如果阻力可以忽略，小球运动到最低点时的速度大小是多少？

分析在阻力可以忽略的情况下，小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。

小球在最高点只有重力势能，动能为 0，计算小球在最高点和最低点重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能，从而算出它在最低点的速度。

解以小球为研究对象。设最低点的重力势能为 0，以小球在最高点的状态作为初状态，以小球在最低点的状态作为末状态。在最高点的动能 E_k1 ＝ 0，重力势能是

\[{E_{p1}} = mg(l - l\cos \theta )\]

在最低点的重力势能 E_p2 ＝ 0，而动能可以表示为

\[{E_{k2}} = \frac{1}{2}m{v^2}\]

运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即

\[{E_{k2}} + {E_{p2}} = {E_{k1}} + {E_{p1}}\]

把初末状态下动能、重力势能的表达式代入，得

\[\frac{1}{2}m{v^2} = mg(l - l\cos \theta )\]

由此解出小球运动到最低点时的速度大小

\[v = \sqrt {2gl(1 - \cos \theta )} \]

从得到的表达式可以看出，初状态的 θ 角越大，cos θ 越小，（1 － cos θ ）就越大，v 也就越大。也就是说，最初把小球拉得越高，它到达最低点时的速度也就越大。这与生活经验是一致的。

从这个例题可以看出，如果研究对象在某一过程中满足机械能守恒的条件，应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，这样就简化了计算。如果直接用牛顿定律解决问题，需要分析过程中各种力的作用，而这些力又往往在变化着。因此，一些难于用牛顿定律解决的问题，应用机械能守恒定律则有可能易于解决。

能量是人们研究物质世界非常重要的一个物理量，是物质运动的统一量度。物体运动虽然形式各异，但是每种运动都具有相应的能量。能量及其转化将各种运动统一、联系起来。

守恒定律不仅给处理问题带来方便，而且有更深刻的意义。物理世界是千变万化的，但是，人们发现有些物理量在一定条件下是守恒的，可以用这些“守恒量”来表示物理世界变化的规律，这就是守恒定律。机械能守恒定律就是其中一个。正因为自然界存在着“守恒量”，而且，某些守恒定律的适用范围很广，所以，在物理学中寻求“守恒量”已经成为物理学研究的一种重要思想方法。

练习与应用

1．在下面列举的各个实例中（除 A 外都不计空气阻力），哪些过程中机械能是守恒的？说明理由。

A．跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落

B．抛出的标枪在空中运动

C．拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升

D．在光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来

2．如图 8.4-6，质量为 m 的小球从光滑曲面上滑下。当它到达高度为 h₁ 的位置 A 时，速度的大小为 v₁ ；当它继续滑下到高度为 h₂ 的位置 B 时，速度的大小为 v₂ 。在由高度 h₁ 滑到高度 h₂ 的过程中，重力做的功为 W。

（1）根据动能定理列出方程，描述小球在A、B 两点间动能的关系。

（2）根据重力做功与重力势能的关系，把以上方程变形，以反映出小球运动过程中机械能是守恒的。

3．质量为 0.5 kg 的石块从 10 m 高处以 30° 角斜向上方抛出（图 8.4-7），初速度 v₀ 的大小为 5 m/s。不计空气阻力，g 取 10 m/s² 。

（1）石块落地时的速度是多大？请用机械能守恒定律和动能定理分别讨论。

（2）石块落地时速度的大小与下列哪些量有关，与哪些量无关？说明理由。

A．石块的质量

B．石块的初速度

C．石块初速度的仰角

D．石块抛出时的高度

4．一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球 A 和 B，B 球的质量是 A 球的 3 倍。用手托住 B 球，当轻绳刚好被拉紧时，B 球离地面的高度是 h，A 球静止于地面，如图 8.4-8所示。释放 B 球，当 B 球刚落地时，求 A 球的速度大小。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为 g。

5．把质量是 0.2 kg 的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至 A 的位置，如图 8.4-9甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置 C（图乙），途中经过位置 B 时弹簧正好处于自由状态。已知 B、A 的高度差为 0.1 m，C、B 的高度差为 0.2 m，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，g 取 10 m/s²。