第 4 节  机械能守恒定律  教学建议

1．教学目标

（1）通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念、体会守恒思想。

（2）会用能量观念分析具体实例中动能与势能（包括弹性势能）之间的相互转化。

（3）理解机械能守恒定律的推导过程。

（4）会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题，体会利用机械能守恒定律解决问题的便利性。

2．教材分析与教学建议

从知识发展的线索来看，本节的教学内容是对前面几节内容的总结，也是对学习能量守恒定律所作的铺垫。本节内容将加深学生对功是能量转化的量度的理解，也为学生从能量角度处理力学问题提供了途径。

本节从伽利略斜面实验的讨论开始，在实验过程中分析变化量与不变量，在此基础上讨论动能与势能的相互转化。然后推理出机械能守恒定律，将推理过程与对机械能守恒条件的深入理解结合起来。

本节教学的重点与难点是：①促进学生对“功是能量转化的量度”的理解。②机械能守恒定律的推导和运用机械能守恒分析相关问题，③守恒条件的判断和机械能守恒定律的理解等。

教师应在教材内容的基础上，针对难点的突破进行教学设计。可以从以下几个方面展开教学。

（1）追寻守恒量

学生在前面的学习中已经见过伽利略斜面实验。现在换个角度重新讨论，可以降低难度。另外，伽利略斜面实验也是探究机械能守恒定律的典型案例。在该典型案例的分析与讨论中，要充分展开学生的思维过程。目的是对学生进行方法和观念的培养，使学生理解守恒思想的重要性，并希望学生在今后的学习中用这样的方法和观念去认识问题。

能量转化与守恒定律虽然是适合各个领域的普遍关系，但考虑学生的基础，教学内容宜限定在学生比较容易理解和接受的机械能范围。教师教学时可围绕以下几个方面展开：①举例说明生活中的一些守恒关系。②分析伽利略理想斜面实验，了解动能、势能及其转化。③让学生认识到守恒思想是物理学研究的重要方法。

（2）动能与势能的相互转化

动能与势能概念比较抽象，应通过实例分析的方法，说明动能和势能之间可以相互转化。这样就把抽象的内容具体化、形象化了。教学中，要有意识地补充实验视频等素材，帮助学生借助形象思维有效地完成思维活动。通过实例的分析，使学生了解势能和动能相互转化的定性关系，知遒一种能量减少，必然导致另一种能量的增加。最后提出动能和势能转化有什么定量关系，让学生进行讨论与交流并提出猜想，调动学生的积极性，加强师生的互动性。

 

教学片段

动能与势能的相互转化

在粉笔头下落的过程中，重力势能和动能都有变化，自然界中动能和势能变化的事例很多，下面我们共同观察这类现象，并思考动能和势能的变化。

实验 1：滚摆实验。

出示滚摆，并简单介绍滚摆的构造及实验的做法。事先应在摆轮的侧面某处涂上鲜明的颜色标志，告诉学生观察颜色标志，可以判断摆轮转动的快慢。

引导学生复述并分析实验中观察到的现象。开始释放摆轮时，摆轮在最高点静止，此时摆轮只有重力势能，没有动能。摆轮下降时其高度降低，重力势能减少。摆轮旋转着下降，而且越转越快，其动能越来越大。摆轮到最低点时，转动最快，动能最大，其高度最低，重力势能最小。在摆轮下降的过程中，它的重力势能逐渐转化为动能。仿照摆轮下降过程的分析，得出摆轮在上升过程中，摆轮的动能逐渐转化为重力势能。

实验 2：单摆实验。

此实验摆绳宜长些，摆球宜重些。最好能挂在天花板上，使单摆在黑板前平行于黑板振动，以便在黑板上记录摆球运动路线中左、右最高点和最低点的位置。分析单摆实验时，摆球高度的变化比较直观，而判断摆球速度大小的变化比较困难。可以从摆球在最高点前后远动方向的不同分析摆球运动到最高点时的速度为 0，作为这一难点的突破口。

综述实验 1、2，说明动能和重力势能是可以相互转化的。之所以能够相互转化是因为物体受到重力的作用，是重力做功的结果。

实验 3：弹性势能和动能的相互转化。

实验可分两步做。首先手持着小球将弹簧片推弯，而后突然释放小球，小球在弹簧片的作用下在水平槽内运动。在此过程中，弹性势能转化为动能。第二步实验，让小球从斜槽上端滚下，让学生观察小球碰击弹簧片的过程。然后分析动能转化为弹性势能和弹性势能转化为动能的过程。得出：动能和弹性势能也是可以相互转化的，之所以能够相互转化是因为弹簧弹力的作用，是弹簧弹力做功的结果。

自然界中动能和势能相互转化的事例很多。其中有一些比较直观，例如，物体从高处落下、瀑布流水等，这些都能说明动能和势能的转化。有些事例比较复杂，例如，踢出去的足球在空中沿一条曲线（抛物线）运动时，动能和势能是如何转化的呢？（画足球轨迹，依图分析）首先可分析足球离地面的高度的变化，这是判断足球重力势能变化的依据。在上升过程中足球的重力势能增加，在下降过程中足球的重力势能减少。接着再分析足球的速度。足球在最高点时不再上升，说明它不能再向上运动。所以，足球在上升过程中，速度逐渐变小，在下降过程中速度又逐渐变大。通过以上分析，可以看到足球在上升阶段动能转化为重力势能，在下降阶段重力势能转化为动能。

（3）机械能守恒定律

要有意识地通过分析，让学生明白机械能守恒定律的成立是有条件的。如教材中思考与讨论：一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落（图 8–7）。它们都由高度为 h₁ 的地方下落到高度为 h₂ 的地方。在这两种情况下，重力做的功相等吗？重力势能的变化相等吗？动能的变化相等吗？重力势能各转化成什么形式的能？前者由于只有重力做功，机械能守恒。后者机械能尽管不守恒，但能量的总量也是保持不变的。从而使学生领悟到机械能既不可能凭空产生，也不会无缘无故消失，机械能的增减是除了重力和弹簧弹力以外的力做功的必然结果。

守恒定律不仅给处理问题带来方便，而且有更深刻的意义。世界是千变万化的，但人们发现有些物理量在一定条件下是守恒的，机械能就是其中之一。所以在物理学中寻求“守恒量”已经成为研究工作的一个重要方面。

关于机械能守恒定律的推导，除了教材中提供的物体沿光滑曲面下滑的场景外，教学中还可以分析物体做竖直上抛运动及平抛运动时的受力情况、做功情况及能量转化情况，并做进一步归纳总结。在只有重力做功的情况下，不论物体做直线运动还是曲线运动（如竖直上抛运动、平抛等），物体的机械能总量保持不变。

对于只有弹簧弹力做功情况下的机械能守恒，仅通过举例定性说明。例如，在光滑的水平面上，放开一根被压缩的弹簧，它可以把跟它接触的小球弹出去，这时弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为小球的动能。在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，动能和弹性势能之和保持不变，即机械能守恒。

在分析运用机械能守恒定律求解的例题时，教师首先要引导学生通过受力分析和运动分析展示清晰的物理情景，其次要抓住机械能守恒的条件进行分析判断，最后在满足守恒条件的情况下，运用机械能守恒定律列式求解。如果不满足，则运用动能定理或牛顿运动定律去分析求解。在此基础上，教师要引导学生对牛顿运动定律、动能定理和机械能守恒定律的解题思路进行比较，更好地理解机械能守恒定律。

3．“练习与应用”参考答案与提示

本节共 6 道习题，主要围绕机械能守恒的条件和机械能守恒定律的应用展开，目的是帮助学生掌握用机械能守恒定律解决问题的基本方法，领悟用机械能守恒定律解决问题的优越性。第 1 题通过生活中的各种实例，加深理解机械能守恒的条件。第 2 题帮助学生揭示规律之间的联系和区别，弄清楚物理规律的来龙去脉。第 3 题帮助学生认识到对于做曲线运动的物体系统，有时从能量的角度入手往往会简便的多。第 4 题使学生的认识由单个物体（实际上是该物体和地球组成的系统）机械能守恒的表达式过渡到多个物体机械能守恒的表达式。第 5 题通过实例培养学生善于根据物理过程的发生、发展和变化过程进行物理情景展示的能力，使学生认识到展示清楚物理情景是解题的关键，根据物理情景和物理条件来选择相应的物理规律解题是处理物理问题的基本原则。第 6 题通过联系实际让学生体验物理学在生活生产中的应用，培养学生应用物理知识分析解决问题的能力，使学生在运用微元法处理具体模型的过程中提升学科素养。

 

1．A 中除重力外还有空气阻力做功，机械能不守恒。

B 中只有重力做功，机械能守恒。

C 中支持力不做功，但除重力外还有拉力做功，机械能不守恒。

D 中只有弹簧的弹力对小球做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒。

提示：通过在具体物理现象中判断机械能是否守恒，加深对机械能守恒条件的认识。

 

2．（1）小球在从 A 点下落至 B 点的过程中，只有重力做功，曲面的支持力与速度方向垂直，不做功。根据动能定理有 mg（h₁ – h₂）= $\frac{1}{2}$mv₂² − $\frac{1}{2}$mv₁²。

（2）小球在从 A 点下落至 B 点的过程中，只有重力做功，由重力做功与动能变化的关系 mg（h₁ – h₂）= $\frac{1}{2}$mv₂² − $\frac{1}{2}$mv₁² 可得 mgh₁ + $\frac{1}{2}$mv₁² = mgh₂ + $\frac{1}{2}$mv₂²。等式左边表示物体在 A 点时的机械能，等式右边表示物体在 B 点时的机械能，小球从 A 点运动到 B 点的过程中，机械能守恒。

 

3．（1）石块从抛出到落地的过程中，只有重力做功，所以机械能守恒。设地面为零势能面，落地时的速度为 v_t，根据机械能守恒定律有 $\frac{1}{2}$mv₀² + mgh = $\frac{1}{2}$mv_t²，v_t = $\sqrt{v_0^2+2gh}$ = $\sqrt{5^2+2\times 10\times 10}$ m/s = 15 m/s。

若根据动能定理可得 mgh = $\frac{1}{2}$mv_t² − $\frac{1}{2}$mv₀²，v_t = $\sqrt{v_0^2+2gh}$ = 15 m/s。

（2）由 v_t = $\sqrt{v_0^2+2gh}$ 可知，石块落地时速度的大小与石块初速度大小和石块抛出时的高度有关，与石块的质量和石块初速度的仰角无关。

提示：练习分别应用动能定理和机械能守恒定律解决实际问题，并通过函数表达式讨论物理量之间的关系，让学生感受守恒定律不仅给处理问题带来方便，而且在一定条件下可以用这些“守恒量”来表示物理世界变化的规律。

 

4．$\sqrt{gh}$

提示：设 A 球的质量为 m，以 A 球、B 球和轻绳组成的系统为研究对象，根据机械能守恒定律有 3mgh – mgh = $\frac{1}{2}$（m + 3m）v²，解得 v = $\sqrt{gh}$。

对 A 球由动能定理可得 W_T – mgh = $\frac{1}{2}$mv²，对 B 球由动能定理可得 3mgh − W_T = $\frac{1}{2}$（3m）v²，然后得到系统机械能守恒的表达式 3mgh – mgh = $\frac{1}{2}$（m + 3m）v²，，然后进行求解。

 

5．（1）小球从位置 A 至位置 C 的过程开始阶段，弹性势能逐渐减少，动能和重力势能逐渐增大，当弹簧对小球向上的弹力大小与小球所受重力大小相等时，小球动能最大。之后，弹性势能继续减小，动能开始减小，重力势能逐浙增大。当弹簧恢复到自然长度时，弹性势能为 0，之后，重力势能仍然逐渐增大，动能逐渐减小，到达 C 点时，动能减少到 0，重力势能达到最大。

（2）小球从位置 A 运动到位置 C 的过程中，机械能守恒。故在位置 A，弹簧的弹性势能 E_p = mg（h_AB + h_AC）= 0.2×10×（0.1 + 0.2）J = 0.6 J。小球在最高点 C 的速度为 0，故小球在位置 C 的动能为 0。

提示：以竖立弹簧模型为情景，通过小球合力的变化分析速度大小的变化，通过速度大小的变化分析动能的变化，通过高度的变化分析重力势能的变化，通过弹簧形变量的变化分析弹性势能的变化，通过机械能守恒分析小球的动能、势能和弹簧弹性势能之间的相互转化，以进一步理解相关的物理概念和规律，培养学生根据物理情景和物理条件选择相应的物理规律分析问题的良好思维习惯。

 

6．4.6×10⁵ W

提示：每层楼按 3 m 计算，对质量为 m 的水，设喷射速度为 v，从离开喷口至最高点的过程中，由机械能守恒定律得 mgh = $\frac{1}{2}$mv²，由此解得 v = $\sqrt{2gh}$ ≈ 49 m/s。

在喷管喷水口处，设经过 Δt 的时间喷出水的质量为 Δm，那么 Δm = ρπ（$\frac{d}{2}$）²vΔt，Δt 时间内电动机做功转化为水的动能 PΔt = $\frac{1}{2}$Δmv²。计算得 P = 4.6×10⁵ W。

通过喷泉喷出水柱的场景让学生体验物理学在生活中的应用，通过小水柱竖直上抛运动求抛出时的初速度，再利用微元法处理小水柱 Δm 从电动机做功转化为水的动能，以培养学生的建模能力。