图 6.4–11

第 4 节  生活中的圆周运动  教学建议

1．教学目标

（1）能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象，在此过程中体会模型建构的方法。

（2）知道航天器中的失重现象。

（3）观察生活中的离心现象，知道离心运动产生的原因，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害。

2．教材分析与教学建议

本节旨在通过丰富的实例，让学生通过受力分析、运动分析建立圆周运动模型，再运用牛顿运动定律和圆周运动知识求解一些具体问题。教材选择了与生活联系紧密，学生易于观察的火车转弯、汽车过拱形桥和凹形桥等例子，另外，教材还分析了航天器中的完全失重状态以及离心运动现象。既有水平面内的匀速圆周运动，也有竖直平面内的圆周运动，能引起学生观察和探究的浓厚兴趣。从地上的圆周运动，到天上的圆周运动，既帮助学生感受物理规律的统一性，也为下一章作了铺垫。

通过对实例的分析，要让学生逐步掌握处理圆周运动的基本方法，引导他们学会确定运动轨迹、圆心和半径，能根据圆心位置确定向心加速度方向，再进行受力分析，确定向心力的来源，并建立力与运动联系的方程。这个过程就是先将实际问题转化为圆周运动的模型，再对问题进行求解。

学生在前面的学习中，已经能用牛顿第二定律求解直线运动的一些问题，对运动与相互作用观有了初步的认识。本节对圆周运动进行分析，本质上仍然是应用牛顿第二定律来解决问题，两者求解的思路是相同的。教学中指出这种相同性不仅有利于学生建构自己的知识结构，也会进一步深化运动与相互作用的观念。

（1）火车转弯

解决实际中的汽车和火车转弯问题首先需要建立正确的模型。这个过程的关键是进行运动和受力分析，在这一过程中需耍忽略一些次要因素，以建立力与加速度之间的联系。考虑到生活中汽车转弯很常见，教学中也可以引导学生先讨论汽车转弯问题，再讨论火车转弯的问题。汽车在水平面上转弯的模型比较简单，可以先让学生讨论，最后再讨论斜面上汽车转弯的问题。

教学片段

汽车转弯问题分析

问题 1．如图 6–16 甲，汽车在水平圆弧路面上做匀速圆周运动。你能确定汽车向心加速度的方向吗？

问题 2．图 6–16 甲中的汽车受到哪几个力的作用？什么力提供了向心力？

问题 3．你所列的表达式是怎样的？汽车做匀速圆周运动的最大速度与什么因素有关？

问题 4．如图 6–16 乙，汽车在倾斜的圆弧路面上做匀速圆周运动。你能确定汽车轨道所在平面和向心加速度的方向吗？理由是什么？

问题 5．若图 6–16 乙中的汽车相对地面既没有向外，又没有向里运动的趋势，此时汽车受到哪几个力的作用？向心力的来源是什么？

问题 6．你所列的表达式是怎样的？汽车做匀速圆周运动的速度是由什么因素决定的？若汽车的速度大于或小于该值，汽车的受力有什么变化？

问题 7．分析汽车在水平面内转弯与在斜面内转弯两种情况，它们]的相同点与不同点各是什么？

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图 6–16 乙中汽车在倾斜的圆弧路面上做匀速圆周运动，运动平面与向心加速度方向的确定是个难点。如果是盘山公路，圆轨道并不在同一水平面上。因此，通常认为圆轨道在同一水平面上，这其实也是一种理想化处理。

教学片段

火车转弯问题分析

问题 1．图 6–17 甲是火车转弯时的情景，你是否见过火车在水平面上转弯的情景？为什么游乐园内的小火车可以在水平面内转弯而大火车不行？

问题 2．如图 6–17 乙所示，为什么火车的轮子都有突出的轮缘，有何作用？

问题 3．如图 6–17 甲所示，火车转弯时，圆周运动平面是哪个？圆心在哪里？向心加速度的方向向哪？向心力的来源是什么？

问题 4．如图 6–17 乙所示，若轮缘与轨道没有接触，车轮与轨道间的摩擦力与火车所受重力相比可忽略不计。火车受几个力的作用？向心力的来源是什么？你能画出示意图吗？

问题 5．此时火车运行的速度由什么因素决定？

问题 6．如果火车速度大于或小于前面求得的速度，会出现什么情况？

问题 7．火车转弯与汽车转弯中的哪一种情况有相似之处？

（2）汽车过拱形桥和凹形路面

学生一般有在拱形桥和凹形路面上乘坐汽车的经历，最好先让学生建立生活体验与路面状态的对应关系，再通过建立物理模型，用物理知识加以解释。

教学片段

汽车过拱形桥和凹形路面问题分析

问题 1．当你坐汽车经过如图 6–18 甲所示的桥面时，你有什么感觉？汽车在最高点时对桥的压力会有什么特点？

问题 2．在分析这个问题时桥面可近似看作什么形状？汽车过桥可近似看作是什么运动？受力情况怎样？

问题 3．若质量为 m 的汽车在拱形桥上以速度 v 行驶，桥面的圆弧半径为 R。则汽车对桥的压力多大？

问题 4．如果汽车速度不断变大，会出现什么情况？

问题 5．当你坐汽车经过如图 6–18 乙所示因下陷形成的凹形路面时，你有什么感觉？汽车在最低点时对路面的压力会有什么特点？

问题 6．为了求解前面的问题，凹形路面可近似看作什么形状？汽车过凹形路面可近似看作是什么运动？受力情况怎样？

问题 7．若质量为 m 的汽车在凹形路面上以速度 v 行驶，路面的圆弧半径为 R。则汽车对凹形路面最低点的压力多大？

问题 8．汽车对拱形桥的压力小于汽车的重力与汽车对凹形路面的压力大于汽车的重力的原因是什么？与电梯中的超、失重现象背后的原因是否相同？

问题 9．汽车以恒定的速度秒通过图 6–19 中所示的地段，在哪个位置更容易爆胎？

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对问题 8 的讨论有利于知识的联系和对本质的把握，也为下面超、失重问题的讨论做了准备。

（3）航天器中的失重现象

教材中的“思考与讨论”以“把地球看作一个巨大的拱形桥”为基础，引出航天器中的失重现象的讨论，引导学生用类似的处理方法解浃航天器中的失重现象。这也是超重和失重问题在太空情景中的延续。

教学片段

探究航天器中的失重现象

问题 1．如图 6–20 甲、乙所示，太空中的小球与陀螺相对于太空舱处于静止状态，没有下落。它们受到地球对它的引力吗？为什么？

问题 2．如图 6–20 丙所示，如果把地球看作一个巨大的拱形桥，汽车速度多大时，支持力会变成 0？此时汽车是否就成了环绕地球飞行的物体？

问题 3．如图 6–20 乙所示，站在太空舱中的王亚萍对太空舱的作用力有多大？要回答这个问题首先应该做什么？

问题 4．王亚萍相对地球做什么运动？半径近似为多少？受什么力的作用？向心加速度的方向指向哪？

问题 5．你所列的方程是怎样的？所得的答案是什么？

问题 6．蹦极、过拱形桥和在太空中环绕地球飞行都可能出现完全失重现象（压力或拉力为0），它们的本质相同吗？

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通过观察太空中发生的现象，认识完全失重现象。先通过用汽车过拱形桥类比，再建立运动模型后求解。从小球、陀螺到汽车，再到航天员，要注意引导学生关注研究对象的变化。

（4）离心现象

学生在生活中都观察过类似的现象，所以认识这种运动并不困难，困难的是如何用科学的概念和规律解释离心运动。学生用生活语言分析离心现象时，经常错误地将“惯性”当成“力”，从生活语言到物理语言是一个逐步发展的过程，教师既要引导学生用自己的语言解释实际现象，又要适时纠正学生不合理的表述，使表述逐步科学规范。

汽车滑移、洗衣机脱水和洗完手后甩几下等，都是生活中较常见的现象，要引导学生用所学的知识分析、解释这些现象。

教学片段

理解离心现象

问题 1．如图 6–21 甲所示，汽车转弯时需要限速，如果速度过大，会出现什么现象？为什么？

问题 2．在图 6–21 乙所示的甩干桶模型中，放一些沾满水的餐巾纸，用来模拟衣服，启动转动装置，让甩干桶转起来，观察发生的现象。水滴在甩出来之前做圆周运动的向心力是多大？向心力是由谁提供的？随着转速的增大，提供的向心力和需要的向心力两者之间会发生什么变化？

问题 3．洗完手后我们经常会甩手，让我们一起来做做（集体甩手）。这样做的目的是什么？甩手的时候，是因为水滴不受力了才被甩出去的吗？

问题 4．生活中还有哪些地方利用了离心现象？

3．“练习与应用”参考答案与提示

本节共 5 道习题，根据所学知识，通过模型建构、推理论证分析解决实际生产、生活中的圆周运动问题。第 1 题求飞轮上螺丝钉的向心力大小。第 2 题依据 F = mω²r 结合受力情况分析角速度 ω 与夹角 θ 的关系。第 3 题研究水平面上汽车所受最大静摩擦力是否能保证其安全转弯，让学生恰当地使用证据证明已经发生侧滑的结论。第 4、第 5 题研究竖直面上做变速圆周运动的物体在最高点和最低点的受力问题。

 

1．7.9×10⁴ N

提示：小螺丝钉做匀速圆周运动所需要的向心力，由转盘提供，根据牛顿第三定律，小螺丝钉将给转盘向外的作用力，转盘在这个力的作用下，将对转轴产生作用力，大小也是 F。F = mω²r = m（2πn）²r = 7.9×10⁴ N。

联系生活实际，运用向心力公式 F = mω²r = m（2πn）²r 求转轴受到的力。通过学习圆周运动规律在生活中的具体应用，结合日常生活中的某些体验，进一步理解圆周运动的规律，加深物理知识在头脑中的印象，使物理课堂更贴近生活，使物理知识真正走近学生，据此激发学生的问题意识，拓宽学生的思维空间。在生活中，手机的震动器（图 6–22）就是利用偏心装置在旋转时产生震动进行工作的。

 

2．ω = $\sqrt{\frac{g\tan \theta }{r+L\sin \theta }}$

提示：如图 6–23 所示，由向心力公式 F = mω²r 得 mgtanθ = F = mω²（r + Lsinθ），则 ω = $\sqrt{\frac{g\tan \theta }{r+L\sin \theta }}$

以游乐项目“飞椅”为素材，练习根据 F = mω² 分析角速度 ω 与夹角 θ 的关系。

 

3．会发生侧滑。

提示：解这个题有两种思路。

第一种：假设汽车不发生侧滑，由于是静摩擦力提供的向心力，所以向心力应有最大值，根据牛顿第二定律，有 F = ma = m$\frac{v^2}{r}$，所以一定对应有最大拐弯速度，设为 v_max，则 v_max = $\sqrt{\frac{F_{max}r}{m}}$ = $\sqrt{\frac{1.4\times {10}^4\times 50}{2.0\times {10}^3}}$ m/s = 18.7 m/s ≈ 67 km/h < 72 km/h。所以，如果汽车以 72 km/h 的速度拐弯时，将会发生侧滑。

第二种：假设汽车以 72 km/h 的速度拐弯时不发生侧滑，所需向心力为 F，则 F = m$\frac{v^2}{r}$ = 2.0×10³×$\frac{{20}^2}{50}$ N = 1.6×10⁴ N > 1.4×10⁴ N。汽车以 72 km 的速度拐弯时，静摩擦力不足以提供相应的向心力，将会发生侧滑。

以汽车转弯为背景，重力与支持力平衡，侧向静摩擦力提供向心力，将所需要的静摩擦力与最大静摩擦力比较，或者将最大静摩擦力对应的最大转弯速度与 72 km/h 比较，或者比较半径，从而判断汽车是否发生侧滑。通过实例分析，让学生在巩固知识的同时，拉近物理与生活、模型与实际的距离，培养学生从不同视角分析同一问题的素养和发散思维。同时，从不同角度的分析也能使学生了解交通安全常识，如为保证安全过弯，可以在转弯处设置限速标志、也可以采用摩擦系数更大的轮胎来增大最大静摩擦力，等等。

 

4．（1）7.44×10³ N；（2）79.6 km/h；（3）半径越大越安全；（4）7.9 km/s

提示：（1）如图 6–24 所示，汽车在桥顶部做圆周运动，重力 mg 和支持力 F_N 的合力提供向心力，即 mg – F_N = m$\frac{v^2}{r}$。汽车所受支持力 F_N = mg − m$\frac{v^2}{r}$ = 800×（9.8 – $\frac{5^2}{50}$）N = 7.44×10³ N。

根据牛顿第三定律，汽车对桥顶的压力大小也是 7.44×10³ N。

（2）根据题意，当汽车对桥顶没有压力时，即 F_N = 0，对应的速度为 v，则 v = $\sqrt{gR}$ = $\sqrt{9.8\times 50}$ m/s = 22.1 m/s = 79.6 km/h。

（3）汽车在桥顶部做圆周运动，重力 mg 和支持力 F_N 的合力提供向心力，即 mg – F_N = m$\frac{v^2}{r}$。汽车所受支持力 F_N = mg − m$\frac{v^2}{r}$。

对于相同的行驶速度，拱桥圆弧半径越大，桥面所受压力越大，汽车行驶越安全。

（4）根据第二问的结论，对应的速度 v = $\sqrt{gR}$ = $\sqrt{9.8\times 6400\times {10}^3}$ = 7.9×10³ m/s = 7.9 km/s。

以汽车过拱桥最高点为背景，通过计算和分析，使学生认识到汽车过拱桥时的速度不能过大。拱桥圆弧半径越大，桥面所受压力越大，汽车行驶越安全。想象若拱桥的半径增大到地球半径，则汽车从“桥面”上腾空的最小速度为 7.9 km/s，可以帮助学生展开思维，培养学生的想象能力和创新思维，为下一章的学习埋下伏笔。

 

5．500 N

提示：小孩在重力和秋千板的支持力两个力的作用下做圆周运动，在最低点有 F_N – mg = m$\frac{v^2}{r}$，由此得 F_N = mg + m$\frac{v^2}{r}$ = 500 N。

小孩对秋千板的压力与秋千板对他的支持力大小相等，也是 500 N，方向竖直向下。

以荡秋千为素材，练习用向心力公式求秋千板对小孩的支持力，用牛顿第三定律求小孩对秋千板的压力。