第六章 4 生活中的圆周运动

问题？

在铁路弯道处，稍微留意一下，就能发现内、外轨道的高度略有不同。你能解释其中的原因吗？

圆周运动是一种常见的运动形式，在生活中有着广泛的应用。

火车转弯

火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度。是什么力使它产生向心加速度？与汽车轮胎不同的是，火车的车轮上有突出的轮缘（图 6.4–1）。

如果铁路弯道的内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力是火车转弯所需向心力的主要来源（图 6.4–2）。但是，火车质量太大，靠这种办法得到向心力，将会使轮缘与外轨间的相互作用力过大，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。

如果在弯道处使外轨略高于内轨（图 6.4–3），火车转弯时铁轨对火车的支持力F_N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力 G 的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力。这就减轻了轮缘与外轨间的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力 G 和支持力 F_N 的合力来提供。

从这个例子我们再一次看出，向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体的向心力。如果认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要再受一个向心力，那就不对了。

思考与讨论

高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路面往往有一定的倾斜度。说说这样设计的原因。

汽车过拱形桥

汽车过拱形桥时的运动也可以看作圆周运动。质量为 m 的汽车在拱形桥上以速度 v 前进，设桥面的圆弧半径为 r，我们来分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力。

选汽车为研究对象。分析汽车所受的力（图 6.4–4），如果知道了桥对汽车的支持力 F_N，桥所受的压力也就知道了。

汽车在竖直方向受到重力 G 和桥的支持力 F_N，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力 F。鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为

$$F=G-F_N$$

当汽车通过桥的最高点时，根据牛顿第二定律 F ＝ ma，有

$$F=m\frac{v^2}{r}$$

所以

$$G-F_N=m\frac{v^2}{r}$$

由此解出桥对车的支持力

$$F_N=G-m\frac{v^2}{r}$$

汽车对桥的压力 F_N′ 与桥对汽车的支持力 F_N 是一对作用力和反作用力，大小相等。所以压力的大小为

$${F_N}^{\mathrm{\prime }}=G-m\frac{v^2}{r}$$

由此可以看出，汽车对桥的压力 F_N′ 小于汽车所受的重力 G， 而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越小。试分析，当汽车以越来越大的速度通过拱形桥的最高点时，会发生什么现象？

汽车在拱形桥上但不在最高点时，又该如何分析汽车所受的向心力？

公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形路面，也叫“过水路面”。汽车通过凹形路面的最低点时（图 6.4–5），车对地面的压力比汽车所受的重力大些还是小些？同学们可以仿照上面的方法自己进行分析。

思考与讨论

地球可以看作一个巨大的拱形桥（图 6.4–6），桥面的半径就是地球的半径 R（约为 6 400 km）。地面上有一辆汽车在行驶，所受重力 G ＝ mg，地面对它的支持力是 F_N。

根据上面的分析，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小。会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是 0？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？

航天器中的失重现象

上面“思考与讨论”中描述的场景其实已经实现了，不过不是在汽车上，而是在航天器中。我们以绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船为例做些说明。当飞船距地面高度为 100 ～ 200 km 时，它的轨道半径近似等于地球半径 R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面受到的重力 mg。

有人把航天器失重的原因说成是它离地球太远，从而摆脱了地球引力，这是错误的。正是由于地球引力的存在，才使航天器连同其中的乘员有可能做环绕地球的圆周运动。

除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力 F_N。引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，即

$$mg-F_N=m\frac{v^2}{R}$$

也就是

$$F_N=m(g-\frac{v^2}{R})$$

由此可以解出，当 v ＝ $\sqrt{gR}$ 时座舱对航天员的支持力 F_N ＝ 0，航天员处于完全失重状态。

这里的分析仅仅针对圆轨道而言。其实任何关闭了发动机，又不受阻力的飞行器的内部，都是一个完全失重的环境。例如向空中任何方向抛出的容器，其中的所有物体都处于完全失重状态。

离心运动

做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。但是物体没有飞出去，这是因为向心力在拉着它，使它与圆心的距离保持不变。一旦向心力突然消失，物体就会沿切线方向飞出去。

除了向心力突然消失这种情况外，在合力不足以提供所需的向心力时，物体虽然不会沿切线飞去，也会逐渐远离圆心（图 6.4–7）。

这里描述的运动叫作离心运动。离心运动有很多应用。例如，洗衣机脱水时利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉；纺织厂也用这样的方法使棉纱、毛线、纺织品干燥。在炼钢厂中，把熔化的钢水浇入圆柱形模子，模子沿圆柱的中心轴线高速旋转，钢水由于离心运动趋于周壁，冷却后就形成无缝钢管。水泥管道和水泥电线杆的制造也可以采用这种离心制管技术。借助离心机，医务人员可以从血液中分离出血浆和红细胞（图 6.4–8）。

离心运动有时也会带来危害。在水平公路上行驶的汽车，如果转弯时速度过大，所需向心力 F 很大，大于最大静摩擦力 F_max，汽车将做离心运动而造成事故（图 6.4–9）。因此，在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。

高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速。转速过高时，砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需向心力，离心运动会使它们破裂，酿成事故。

练习与应用

本节共 5 道习题，根据所学知识，通过模型建构、推理论证分析解决实际生产、生活中的圆周运动问题。第 1 题求飞轮上螺丝钉的向心力大小。第 2 题依据 F = mω²r 结合受力情况分析角速度 ω 与夹角 θ 的关系。第 3 题研究水平面上汽车所受最大静摩擦力是否能保证其安全转弯，让学生恰当地使用证据证明已经发生侧滑的结论。第 4、第 5 题研究竖直面上做变速圆周运动的物体在最高点和最低点的受力问题。

1．如果高速转动的飞轮的重心不在转轴上，运行将不稳定，而且轴承会受到很大的作用力，加速磨损。图 6.4–10 中飞轮半径 r ＝ 20 cm，OO′ 为转动轴。正常工作时转动轴受到的水平作用力可以认为是 0。假想在飞轮的边缘固定一个质量 m ＝ 0.01 kg 的小螺丝钉 P，当飞轮转速 n ＝ 1 000 r/s 时，转动轴 OO′ 受到多大的力？

【参考答案】7.9×10⁴ N

提示：小螺丝钉做匀速圆周运动所需要的向心力，由转盘提供，根据牛顿第三定律，小螺丝钉将给转盘向外的作用力，转盘在这个力的作用下，将对转轴产生作用力，大小也是 F。F = mω²r = m（2πn）²r = 7.9×10⁴ N。

联系生活实际，运用向心力公式 F = mω²r = m（2πn）²r 求转轴受到的力。通过学习圆周运动规律在生活中的具体应用，结合日常生活中的某些体验，进一步理解圆周运动的规律，加深物理知识在头脑中的印象，使物理课堂更贴近生活，使物理知识真正走近学生，据此激发学生的问题意识，拓宽学生的思维空间。在生活中，手机的震动器（图 6–22）就是利用偏心装置在旋转时产生震动进行工作的。

图 6–22

2．有一种叫“飞椅”的游乐项目（图 6.4–11）。长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度 ω 匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为 θ。不计钢绳的重力。分析转盘转动的角速度 ω 与夹角 θ 的关系。

【参考答案】ω = $\sqrt{\frac{g\tan \theta }{r+L\sin \theta }}$

提示：如图 6–23 所示，由向心力公式 F = mω²r 得 mgtanθ = F = mω²（r + Lsinθ），则 ω = $\sqrt{\frac{g\tan \theta }{r+L\sin \theta }}$

以游乐项目“飞椅”为素材，练习根据 F = mω² 分析角速度 ω 与夹角 θ 的关系。

3．质量为 2.0×10³ kg 的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为 1.4×10⁴ N。汽车经过半径为 50 m 的弯路时，如果车速达到 72 km/h，这辆车会不会发生侧滑？

【参考答案】会发生侧滑。

提示：解这个题有两种思路。

第一种：假设汽车不发生侧滑，由于是静摩擦力提供的向心力，所以向心力应有最大值，根据牛顿第二定律，有 F = ma = m$\frac{v^2}{r}$，所以一定对应有最大拐弯速度，设为 v_max，则 v_max = $\sqrt{\frac{F_{max}r}{m}}$ = $\sqrt{\frac{1.4\times {10}^4\times 50}{2.0\times {10}^3}}$ m/s = 18.7 m/s ≈ 67 km/h < 72 km/h。所以，如果汽车以 72 km/h 的速度拐弯时，将会发生侧滑。

第二种：假设汽车以 72 km/h 的速度拐弯时不发生侧滑，所需向心力为 F，则 F = m$\frac{v^2}{r}$ = 2.0×10³×$\frac{{20}^2}{50}$ N = 1.6×10⁴ N > 1.4×10⁴ N。汽车以 72 km 的速度拐弯时，静摩擦力不足以提供相应的向心力，将会发生侧滑。

以汽车转弯为背景，重力与支持力平衡，侧向静摩擦力提供向心力，将所需要的静摩擦力与最大静摩擦力比较，或者将最大静摩擦力对应的最大转弯速度与 72 km/h 比较，或者比较半径，从而判断汽车是否发生侧滑。通过实例分析，让学生在巩固知识的同时，拉近物理与生活、模型与实际的距离，培养学生从不同视角分析同一问题的素养和发散思维。同时，从不同角度的分析也能使学生了解交通安全常识，如为保证安全过弯，可以在转弯处设置限速标志、也可以采用摩擦系数更大的轮胎来增大最大静摩擦力，等等。

4．有一辆质量为 800 kg 的小汽车驶上圆弧半径为 50 m 的拱桥。

（1）汽车到达桥顶时速度为 5 m/s，汽车对桥的压力是多大？

（2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？

（3）汽车对地面的压力过小是不安全的。从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？

（4）如果拱桥的半径增大到与地球半径 R 一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？

【参考答案】（1）7.44×10³ N；（2）79.6 km/h；（3）半径越大越安全；（4）7.9 km/s

提示：（1）如图 6–24 所示，汽车在桥顶部做圆周运动，重力 mg 和支持力 F_N 的合力提供向心力，即 mg – F_N = m$\frac{v^2}{r}$。汽车所受支持力 F_N = mg − m$\frac{v^2}{r}$ = 800×（9.8 – $\frac{5^2}{50}$）N = 7.44×10³ N。

根据牛顿第三定律，汽车对桥顶的压力大小也是 7.44×10³ N。

（2）根据题意，当汽车对桥顶没有压力时，即 F_N = 0，对应的速度为 v，则 v = $\sqrt{gR}$ = $\sqrt{9.8\times 50}$ m/s = 22.1 m/s = 79.6 km/h。

（3）汽车在桥顶部做圆周运动，重力 mg 和支持力 F_N 的合力提供向心力，即 mg – F_N = m$\frac{v^2}{r}$。汽车所受支持力 F_N = mg − m$\frac{v^2}{r}$。

对于相同的行驶速度，拱桥圆弧半径越大，桥面所受压力越大，汽车行驶越安全。

（4）根据第二问的结论，对应的速度 v = $\sqrt{gR}$ = $\sqrt{9.8\times 6400\times {10}^3}$ = 7.9×10³ m/s = 7.9 km/s。

以汽车过拱桥最高点为背景，通过计算和分析，使学生认识到汽车过拱桥时的速度不能过大。拱桥圆弧半径越大，桥面所受压力越大，汽车行驶越安全。想象若拱桥的半径增大到地球半径，则汽车从“桥面”上腾空的最小速度为 7.9 km/s，可以帮助学生展开思维，培养学生的想象能力和创新思维，为下一章的学习埋下伏笔。

5．质量为 25 kg 的小孩坐在秋千上，小孩离系绳子的横梁 2.5 m。秋千摆到最低点时，如果小孩运动速度的大小是 5 m/s，他对秋千的压力是多大？

【参考答案】500 N

提示：小孩在重力和秋千板的支持力两个力的作用下做圆周运动，在最低点有 F_N – mg = m$\frac{v^2}{r}$，由此得 F_N = mg + m$\frac{v^2}{r}$ = 500 N。

小孩对秋千板的压力与秋千板对他的支持力大小相等，也是 500 N，方向竖直向下。

以荡秋千为素材，练习用向心力公式求秋千板对小孩的支持力，用牛顿第三定律求小孩对秋千板的压力。

发布时间：2020/2/16 上午9:43:43  阅读次数：10780