第四章 5 牛顿定律的应用

问题

为了尽量缩短停车时间，旅客按照站台上标注的车门位置候车。列车进站时总能准确地停靠在对应车门的位置。这是如何做到的呢？

牛顿第二定律确定了运动和力的关系，使我们能够把物体的运动情况与受力情况联系起来。因此，它在许多基础科学和工程技术中都有广泛的应用。中学物理中我们只研究一些简单的实例。

从受力确定运动情况

如果已知物体的受力情况，可以由牛顿第二定律求出物体的加速度，再通过运动学的规律确定物体的运动情况。

【例题 1】

运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，投掷冰壶运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。

（1）运动员以 3.4 m/s 的速度投掷冰壶，若冰壶和冰面的动摩擦因数为 0.02，冰壶能在冰面上滑行多远？g 取 10 m/s²。

（2）若运动员仍以 3.4 m/s 的速度将冰壶投出，其队友在冰壶自由滑行 10 m 后开始在其滑行前方摩擦冰面，冰壶和冰面的动摩擦因数变为原来的 90%，冰壶多滑行了多少距离？

分析（1）对物体进行受力分析后，根据牛顿第二定律可以求得冰壶滑行时的加速度，再结合冰壶做匀减速直线运动的规律求得冰壶滑行的距离。

（2）冰壶在滑行 10 m 后进入冰刷摩擦后的冰面，动摩擦因数变化了，所受的摩擦力发生了变化，加速度也会变化。前一段滑行 10 m 的末速度等于后一段运动的初速度（图 4.5–2）。根据牛顿第二定律求出后一段运动的加速度，并通过运动学规律求出冰壶在后一段过程的滑行距离，就能求得比第一次多滑行的距离。

解（1）选择滑行的冰壶为研究对象。冰壶所受的合力等于滑动摩擦力 F_f（图 4.5–3）。设冰壶的质量为 m，以冰壶运动方向为正方向建立一维坐标系，滑动摩擦力 F_f 的方向与运动方向相反，则

$F_{f} = - μ_{1} F_{N} = - μ_{1} m g$

根据牛顿第二定律，冰壶的加速度为

$a_{1} = \frac{F_{f}}{m} = - \frac{μ_{1} m g}{m} = - μ_{1} g = - 0.02 \times 10 m / s^{2} = - 0.2 m / s^{2}$

加速度为负值，方向跟x轴正方向相反。

将 v₀ = 3.4 m/s，v = 0 代入 v² − v₀² ＝ 2a₁x₁，得冰壶的滑行距离为

$x_{1} = - \frac{v_{0}^{2}}{2 a_{1}} = - \frac{{3.4}^{2}}{2 \times (- 0.2)} m = 29.8 m$

冰壶滑行了 28.9 m。

（2）设冰壶滑行 10 m 后的速度为 v₁₀，则对冰壶的前一段运动有

v₁₀² ＝ v₀² + 2a₁x₁₀

冰壶后一段运动的加速度为

a₂ ＝ − µ₂g ＝ − 0.02×0.9×10 m/s² ＝ − 0.18 m/s²

滑行 10 m 后为匀减速直线运动，由 v² − v₁₀² ＝ 2a₂x₂，v ＝ 0，得

$x_{2} = - \frac{v_{10}^{2}}{2 a_{2}} = - \frac{v_{0}^{2} + 2 a_{1} x_{10}}{2 a_{2}} = - \frac{{3.4}^{2} + 2 \times (- 0.2 \times 10)}{2 \times (- 0.18)} m = 21 m$

第二次比第一次多滑行了

（10 + 21 − 28.9）m ＝ 2.1 m

第二次比第一次多滑行了 2.1 m。

从运动情况确定受力

如果已知物体的运动情况，根据运动学规律求出物体的加速度，结合受力分析，再根据牛顿第二定律求出力。这是力学所要解决的又一方面的问题。

【例题 2】

如图 4.5–4，一位滑雪者，人与装备的总质量为 75 kg，以 2 m/s 的初速度沿山坡匀加速直线滑下，山坡倾角为 30°，在 5 s 的时间内滑下的路程为 60 m。求滑雪者对雪面的压力及滑雪者受到的阻力（包括摩擦和空气阻力），g 取 10 m/s²。

分析由于不知道动摩擦因数及空气阻力与速度的关系，不能直接求滑雪者受到的阻力。应根据匀变速直线运动的位移和时间的关系式求出滑雪者的加速度，然后，对滑雪者进行受力分析。滑雪者在下滑过程中，受到重力 mg、山坡的支持力 F_N 以及阻力 F_f 的共同作用。通过牛顿第二定律可以求得滑雪者受到的阻力。

解以滑雪者为研究对象。建立如图 4.5–5 所示的直角坐标系。滑雪者沿山坡向下做匀加速直线运动。根据匀变速直线运动规律，有

$x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

其中 v₀ ＝ 2 m/s，t ＝ 5 s，x ＝ 60 m，则有

$a = \frac{2 (x_{0} - v_{0} t)}{t^{2}} = \frac{2 (60 - 2 \times 5)}{5^{2}} m / s^{2} = 4 m / s^{2}$

根据牛顿第二定律，有

y 方向 F_N − mgcosθ ＝ 0

x 方向 mgsinθ − F_f ＝ ma

得

F_N ＝ mgcosθ

F_f ＝ m（gsinθ − a）

其中，m ＝ 75 kg，θ ＝ 30°，则有

F_f ＝ 75 N，F_N ＝ 650 N

根据牛顿第三定律，滑雪者对雪面的压力大小等于雪面对滑雪者的支持力大小，为 650 N，方向垂直斜面向下。滑雪者受到的阻力大小为 75 N，方向沿山坡向上。

练习与应用

本节共 4 道习题。第 1 题练习运用牛顿第二定律解决简单的实际问题，形成从受力情况可以确定运动情况的观点。第2题练习将实际问题中的对象和过程转换成所学的物理模型，即将人员沿气囊下滑的问题抽象为质点沿斜面匀加速下滑，从受力确定运动情况。第3题将汽车刹车后的运动抽象为质点沿水平方向的匀减速运动，从运动情况确定受力。第 4 题练习在正交坐标系中，沿加速度方向建立 x 轴，根据牛顿第二定律得出函数表达式，进而分析物理量的变化规律和变化趋势，培养应用数学解决物理问题的能力。

1．质量为 20 kg 的物体静止在光滑水平面上。如果给这个物体施加两个大小都是 50 N 且互成 60° 角的水平力（图 4.5–6），那么，3 s 末它的速度是多大？ 3 s内它的位移是多少？

参考解答：13 m/s：19.5 m

2．民航客机都有紧急出口，发生意外情况的飞机紧急着陆后，打开紧急出口，狭长的气囊会自动充气，生成一条连接出口与地面的斜面，人员可沿斜面滑行到地面（图 4.5–7）。若机舱口下沿距地面 3.2 m，气囊所构成的斜面长度为 6.5 m，一个质量为 60 kg 的人沿气囊滑下时所受的阻力是 240 N，那么，人滑至气囊底端时的速度是多少？g 取 10 m/s²。

参考解答：3.5 m/s

设斜面的倾角为 θ，则 sinθ = $\frac{3.2}{6.5}$ = 0.49。根据牛顿第二定律有 mgsinθ – F_f = ma。代入数据得 a = 0.92 m/s²。人滑至气囊底端的速度 v² = 2ax。代入数据解得 v =3.5 m/s。

3．汽车轮胎与公路路面之间必须要有足够大的动摩擦因数，才能保证汽车安全行驶。为检测某公路路面与汽车轮胎之间的动摩擦因数，需要测试刹车的车痕。测试汽车在该公路水平直道上以 54 km/h 的速度行驶时，突然紧急刹车，车轮被抱死后在路面上滑动，直至停下来。量得车轮在公路上摩擦的痕迹长度是 17.2 m，则路面和轮胎之间的动摩擦因数是多少？g 取 10 m/s²。

参考解答：0.65

4．一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有一只桶 C，自由地摆放在桶 A、B 之间，没有用绳索固定。桶 C 受到桶 A 和桶 B 的支持，和汽车一起保持静止，如图 4.5–8 所示。

（1）当汽车向以某一加速度向左加速时，A 对 C 和 B 对 C 的支持力大小，会增大还是减小？请说明理由。

（2）当汽车向左运动的加速度增大到一定值时，桶 C 就脱离 A 而运动到B的右边，这个加速度有多大？

参考解答：（1）A 对 C 的支持力减少；B 对 C 的支持力增大。

（2） $\frac{\sqrt{3}}{3}$ g

提示：（1）以 C 为研究对象，受力分析如图所示，货车静止时 F_A = F_B = $\frac{m g}{2 \cos 30^{\circ}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mg。

当货车以加速度 a 向左加速时 F_y = F_B′cos30° + F_A′cos30° − mg = 0，F_x = F_Bsin30° − F_A′sin30° = ma。解得 F_A′ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mg − ma、F_B′ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mg + ma。

与静止时相比，A对C的支持力减小，B对C的支持力增大。

（2）由 F_A′ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mg – ma 可知，加速度 a 增大，A 对 C 的支持力减小。当 A 对 C 的支持力减小到 0 时，C 就脱离 A，解得 a = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ g。

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发布时间：2019/12/21 上午11:19:13 阅读次数：5431