第四章 3 牛顿第二定律

问题

赛车质量小、动力大，容易在短时间内获得较大的速度，也就是说，赛车的加速度大。物体的加速度a与它所受的作用力F以及自身的质量m之间存在什么样的定量关系呢？通过上节的探究实验，你找到了吗？

牛顿第二定律的表达式

上节课的实验结果表明，小车的加速度a与它所受的作用力F成正比，与它的质量m成反比。那么，对于任何物体都是这样的吗？

如果我们多做几次类似的实验，每次实验的点都可以拟合成直线，而这些直线与坐标轴的交点又都十分接近原点（图4.3-1），那么，实际规律很可能就是这样的。

科学研究人员做实验时，都要对偏差作出定量的分析，以确认这些偏差与实验规律的关系。这样，下结论时的把握就大多了。

到此为止，我们的结论仍然带有猜想和推断的性质。只有根据这些结论推导出的很多新结果都与事实一致时，这样的结论才能成为“定律”。

由此看来，科学前辈们在根据有限的实验事实宣布某个定律时，既需要谨慎，也需要勇气。

大量的实验和观察到的事实都可以得出与上节课实验同样的结论，由此可以总结出一般性的规律：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。这就是牛顿第二定律（Newton’s second law）。

牛顿第二定律可表述为

\[a \propto \frac{F}{m}\]

也可以写成等式

\[F = kma\]

其中k是比例系数。

实际物体所受的力往往不止一个，式中F指的是物体所受的合力。

牛顿第二定律不仅阐述了力、质量和加速度三者数量间的关系，还明确了加速度的方向与力的方向一致。

思考与讨论

取质量的单位是千克（kg），加速度的单位是米每二次方秒（m/s²），根据上述牛顿第二定律中加速度与力、质量的关系，我们应该怎样确定力的单位？

力的单位

F ＝ kma 中 k 的数值取决于 F、m、a 的单位的选取。当 k ＝ 1 时，质量为 1 kg 的物体在某力的作用下获得 1 m/s² 的加速度，则这个力

\[F = ma = 1{\rm{kg}} \cdot {\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

如果我们把这个力叫作“一个单位”的力的话，力F的单位就是千克米每二次方秒。后人为了纪念牛顿，把它称作“牛顿”，用符号N表示。

在质量的单位取千克（kg），加速度的单位取米每二次方秒（m/s²），力的单位取牛顿（N）时，牛顿第二定律可以表述为

\[F = ma\]

我们在初中已经学过，在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）。但是当时并不知道“牛顿”这个单位是怎样定义的。学过牛顿第二定律之后，这个问题就清楚了。

有了牛顿第二定律，我们就能够更进一步理解：描述物体惯性的物理量是质量的含义，即在确定的作用力下，决定物体运动状态变化难易程度的因素是物体的质量。

【例题1】

在平直路面上，质量为 1 100 kg 的汽车在进行研发的测试，当速度达到 100 km/h 时取消动力，经过 70 s 停了下来。汽车受到的阻力是多少？重新起步加速时牵引力为 2 000 N，产生的加速度是多少？假定试车过程中汽车受到的阻力不变。

分析 如图 4.3-2，取消动力后，汽车在平直路面上只受阻力的作用。由于阻力不变，根据牛顿第二定律，汽车在平直路面上运动的加速度将保持不变。由加速度可以求出汽车受到的阻力。

如图 4.3-3，重新起步后，汽车在平直路面上受到牵引力和阻力。由于二者大小都不变，所以汽车的加速度恒定不变。根据牛顿第二定律可以求出汽车运动的加速度。

解 以汽车为研究对象。设汽车运动方向为 x 轴正方向，建立一维坐标系。取消动力后，汽车做匀减速直线运动。初速度 v₀＝ 100 km/h ＝ 27.8 m/s，末速度为 0，滑行时间 t ＝ 70 s。

根据匀变速直线运动速度与时间的关系式，加速度为

\[a_1 = \frac{{0 - {v_0}}}{t}\]

汽车受到的阻力为

\[{F_阻} = m{a_1} = \frac{{0 - {v_0}}}{t} = \frac{{1100{\rm{kg}} \times 27.8{\rm{m/s}}}}{{70{\rm{s}}}} = - 437{\rm{N}}\]

汽车受到的阻力是 437 N，方向与运动方向相反。

重新起步后，汽车所受的合力为

\[{F_合} = 2000{\rm{N}} - 437{\rm{N}} = 1563{\rm{N}}\]

由牛顿第二定律可以得到汽车的加速度

\[{a_2} = \frac{{{F_合}}}{m} = \frac{{1563{\rm{N}}}}{{1100{\rm{kg}}}} = 1.42{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

重新起步产生的加速度是 1.42 m/s²，方向与运动方向相同。

【例2】

某同学在列车车厢的顶部用细线悬挂一个小球，在列车以某一加速度渐渐启动的过程中，细线就会偏过一定角度并相对车厢保持静止，通过测定偏角的大小就能确定列车的加速度（图4.3-4）。在某次测定中，悬线与竖直方向的夹角为 θ，求列车的加速度。

分析 列车在加速行驶的过程中，小球始终与列车保持相对静止状态，所以，小球的加速度与列车的加速度相同。

对小球进行受力分析，根据力的合成法则求解合力。再根据牛顿第二定律，求出小球的加速度，从而获得列车的加速度。

解 方法1 选择小球为研究对象。设小球的质量为 m，小球在竖直平面内受到重力 mg、绳的拉力 F_T（图4.3-5）。在这两个力的作用下，小球产生水平方向的加速度 a。这表明，F_T 与 mg 的合力方向水平向右，且

\[F = mg\tan \theta \]

根据牛顿第二定律，小球具有的加速度为

\[a = \frac{F}{m} = g\tan \theta \]

方法2 小球在水平方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上处于平衡状态。建立图 4.3-6 所示的直角坐标系。将小球所受的拉力 F_T 分解为水平方向的 F_x 和竖直方向的 F_y。

在竖直方向有

\[{F_y} - mg = 0,{F_y} = {F_T}\cos \theta \]

\[{F_T}\cos \theta = mg\]（1）

在水平方向有

\[{F_x} = {F_T}\sin \theta \]

\[{F_T}\sin \theta = ma\]（2）

（1）（2）式联立，可以求得小球的加速度为

\[a = g\tan \theta \]

列车的加速度与小球相同，大小为 gtanθ，方向水平向右。

科学漫步

用动力学方法测质量

大家知道，质量可以用天平来测量。但是在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量，那么应该如何测量呢？

由牛顿第二定律 F ＝ ma 可知，如果给物体施加一个已知的力，并测得物体在这个力作用下的加速度，就可以求出物体的质量。这就是动力学测量质量的方法。

北京时间2013年6月20日上午10时，我国航天员在天宫一号空间实验室进行了太空授课，演示了包括质量的测量在内的一系列实验。

质量的测量是通过舱壁上打开的一个支架形状的质量测量仪完成的。测量时，航天员把自己固定在支架的一端，另外一名航天员将支架拉开到指定的位置。松手后，支架拉着航天员从静止返回到舱壁（图4.3-7）。支架能够产生一个恒定的拉力 F；用光栅测速装置能够测量出支架复位的速度 v 和时间 t，从而计算出加速度a。这样，就能够计算出航天员的质量 m。

你能设计出一种在太空中测量质量的方法吗？

练习与应用

本节共6道习题。侧重运用牛顿第二定律解释简单的自然现象，解决简单的实际问题，形成正确的力和运动的观点。第1题引入一个常见的认知冲突，引导学生树立正确的物理观念—— F = ma 中合力 F 与加速度 a 对应。第2题已知 F 相同，加速度与质量成反比，比较 m。第3题已知 m 相同，加速度与合力 F 成正比，比较 F。第4题和第5题都是先求合力 F，再用 F = ma 求 a，理解 F、a 的矢量性。第6题已知货车的加速度 a，用隔离法求石块 B 受到的合力 F，练习根据研究问题的需要选择研究对象，加深对力的矢量性的理解，从不同角度运用牛顿第二定律分析解决实际问题。

1．从牛顿第二定律知道，无论怎样小的力都可以使物体产生加速度。可是，我们用力提一个很重的箱子，却提不动它。这跟牛顿第二定律有没有矛盾？应该怎样解释这个现象？

参考解答：没有矛盾。牛顿第二定律 F = ma 中的 F 指的是物体所受的合力，而不是其中的某一个力。我们用力提一个放在地面上的很重的箱子时，箱子受到的力总共有三个：竖直向下的重力 G，手对箱子向上的作用力 F₁，以及地面向上的支持力 F₂。如果 F₁ < G，只是支持力 F₂ 减小，这三个力的合力 F = 0，故箱子的加速度为 0，箱子仍然保持静止。

2．甲、乙两辆小车放在水平桌面上，在相同拉力的作用下，甲车产生的加速度为 1.5 m/s²，乙车产生的加速度为 4.5 m/s²，甲车的质量是乙车的几倍？（不考虑阻力）

参考解答：3 倍

提示：根据牛顿第二定律有 F = m_甲a_甲 = m_乙a_乙，故 \(\frac{{{m_甲}}}{{{m_乙}}}\) = \(\frac{{{a_乙}}}{{{a_甲}}}\) = \(\frac{4.5}{1.5}\) = 3

3．一个物体受到的合力是 4 N 时，产生的加速度为 2 m/s²。若该物体的加速度为 6 m/s²，它受到的合力是多大？

参考解答：12 N。

提示：根据牛顿第二定律有 F₁ = ma₁，F₂ = ma₂。故 F₂ = \(\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}}\)F₁ = 12 N。

4．光滑水平桌面上有一个质量是 2 kg 的物体，它在水平方向上受到互成 90° 的两个力的作用，这两个力的大小都是 14 N。这个物体加速度的大小是多少？沿什么方向？

参考解答：9.9 m/s²，沿两个力的角平分线方向

提示：根据平行四边形定则，这两个力的合力 F = 2×14×cos45° N = 19.8 N。加速度a = \(\frac{F}{m}\) = 9.9 m/s²。加速度的方向与合力方向相同，沿两个力的角平分线方向。

5．平直路面上质量是 30 kg 的手推车，在受到 60 N 的水平推力时做加速度为 1.5 m/s² 的匀加速直线运动。如果撤去推力，车的加速度大小是多少？方向如何？

参考解答：0.5 m/s²，与运动方向相反

提示：设小车的运动方向为正方向，推小车时，根据牛顿第二定律有 F − F_阻 = ma。解得 F_阻 = 60 − 30×1.5 N = 15 N。

撤去推力后，根据牛顿第二定律有 − F_阻 = maʹ。解得 aʹ = − 0.5 m/s²。负号表示小车的加速度方向与运动方向相反。

6．如图 4.3-8，一辆装满石块的货车在平直道路上以加速度 a 向前加速运动。货箱中石块B的质量为 m，求石块 B 周围与它接触的物体对石块B作用力的合力。

参考解答：m\(\sqrt {{a^2} + {g^2}} \)，与水平方向夹角 arctan\(\frac{a}{g}\)

提示：在水平方向上，石块 B 与车具有相同的加速度 a，设其在水平方向受到的力为 F_x，据牛顿第二定律有 F_x = ma。在竖直方向上，石块 B 的重力 mg与其他石块的支持力 F_y平衡，所以 F_y = mg。则石块 B 受到的作用力 F = \(\sqrt {F_x^2 + F_y^2} \) = m\(\sqrt {{a^2} + {g^2}} \)。设该作用力的方向与水平方向夹角为 α，则 tanα = \(\frac{F_x}{F_y}\) = \(\frac{a}{g}\)。

发布时间：2019/12/7 下午9:45:42  阅读次数：5127