第四章 3 牛顿第二定律

牛顿第二定律

赛车质量小、动力大，容易在短时间内获得较大的速度，也就是说，赛车的加速度大。物体的加速度 a 与它所受的作用力 F 以及自身的质量 m 之间存在什么样的定量关系呢？通过上节的探究实验，你找到了吗？

牛顿第二定律的表达式

上节课的实验结果表明，小车的加速度 a 与它所受的作用力 F 成正比，与它的质量 m 成反比。那么，对于任何物体都是这样的吗？

如果我们多做几次类似的实验，每次实验的点都可以拟合成直线，而这些直线与坐标轴的交点又都十分接近原点（图 4.3–1），那么，实际规律很可能就是这样的。

到此为止，我们的结论仍然带有猜想和推断的性质。只有根据这些结论推导出的很多新结果都与事实一致时，这样的结论才能成为“定律”。

科学研究人员做实验时，都要对偏差作出定量的分析，以确认这些偏差与实验规律的关系。这样，下结论时的把握就大多了。

由此看来，科学前辈们在根据有限的实验事实宣布某个定律时，既需要谨慎，也需要勇气。

大量的实验和观察到的事实都可以得出与上节课实验同样的结论，由此可以总结出一般性的规律：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。这就是牛顿第二定律（Newton’s second law）。

牛顿第二定律可表述为

$a \propto \frac{F}{m}$

也可以写成等式

$F = k m a$

其中 k 是比例系数。

牛顿第二定律不仅阐述了力、质量和加速度三者数量间的关系，还明确了加速度的方向与力的方向一致。

实际物体所受的力往往不止一个，式中F指的是物体所受的合力。

取质量的单位是千克（kg），加速度的单位是米每二次方秒（m/s²），根据上述牛顿第二定律中加速度与力、质量的关系，我们应该怎样确定力的单位？

力的单位

F = kma 中 k 的数值取决于 F、m、a 的单位的选取。

当 k = 1 时，质量为 1 kg 的物体在某力的作用下获得 1 m/s² 的加速度，则这个力

$F = m a = 1 k g \cdot m / s^{2}$

如果我们把这个力叫作“一个单位”的力的话，力 F 的单位就是千克米每二次方秒。后人为了纪念牛顿，把它称作“牛顿”，用符号 N 表示。

在质量的单位取千克（kg），加速度的单位取米每二次方秒（m/s²），力的单位取牛顿（N）时，牛顿第二定律可以表述为

$F = m a$

我们在初中已经学过，在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）。但是当时并不知道“牛顿”这个单位是怎样定义的。学过牛顿第二定律之后，这个问题就清楚了。

有了牛顿第二定律，我们就能够更进一步理解：描述物体惯性的物理量是质量的含义，即在确定的作用力下，决定物体运动状态变化难易程度的因素是物体的质量。

【例题 1】

在平直路面上，质量为 1 100 kg 的汽车在进行研发的测试，当速度达到 100 km/h 时取消动力，经过 70 s 停了下来。汽车受到的阻力是多少？重新起步加速时牵引力为 2 000 N，产生的加速度是多少？假定试车过程中汽车受到的阻力不变。

分析如图 4.3–2，取消动力后，汽车在平直路面上只受阻力的作用。由于阻力不变，根据牛顿第二定律，汽车在平直路面上运动的加速度将保持不变。由加速度可以求出汽车受到的阻力。

如图 4.3-3，重新起步后，汽车在平直路面上受到牵引力和阻力。由于二者大小都不变，所以汽车的加速度恒定不变。根据牛顿第二定律可以求出汽车运动的加速度。

解以汽车为研究对象。设汽车运动方向为 x 轴正方向，建立一维坐标系。取消动力后，汽车做匀减速直线运动。初速度 v₀ = 100 km/h = 27.8 m/s，末速度为 0，滑行时间 t = 70 s。

根据匀变速直线运动速度与时间的关系式，加速度为

$a_{1} = \frac{0 - v_{0}}{t} = - \frac{v_{0}}{t}$

汽车受到的阻力为

$F_{阻} = m a_{1} = - \frac{m v_{0}}{t} = - \frac{1 100 k g \times 27.8 m / s}{70 s} = - 437 N$

汽车受到的阻力是 437 N，方向与运动方向相反。

重新起步后，汽车所受的合力为

$F_{合} = 2 000 N - 437 N = 1 563 N$

由牛顿第二定律可以得到汽车的加速度

$a_{2} = \frac{F_{合}}{m} = \frac{1 563 N}{1 100 k g} = 1.42 m / s^{2}$

重新起步产生的加速度是 1.42 m/s²，方向与运动方向相同。

【例题 2】

某同学在列车车厢的顶部用细线悬挂一个小球，在列车以某一加速度渐渐启动的过程中，细线就会偏过一定角度并相对车厢保持静止，通过测定偏角的大小就能确定列车的加速度（图 4.3–4）。在某次测定中，悬线与竖直方向的夹角为 θ，求列车的加速度。

分析列车在加速行驶的过程中，小球始终与列车保持相对静止状态，所以，小球的加速度与列车的加速度相同。

对小球进行受力分析，根据力的合成法则求解合力。再根据牛顿第二定律，求出小球的加速度，从而获得列车的加速度。

解方法 1 选择小球为研究对象。设小球的质量为 m，小球在竖直平面内受到重力 G、绳的拉力 F_T（图4.3–5）。在这两个力的作用下，小球产生水平方向的加速度 a。这表明，F_T 与 G 的合力方向水平向右，且

$F = G \tan θ = m g \tan θ$

根据牛顿第二定律，小球具有的加速度为

$a = \frac{F}{m} = g \tan θ$

方法 2 小球在水平方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上处于平衡状态。建立图 4.3–6 所示的直角坐标系。将小球所受的拉力 F_T 分解为水平方向的 F_x 和竖直方向的 F_y。

在竖直方向有

$F_{y} - m g = 0, F_{y} = F_{T} \cos θ$

$\begin{matrix} (1) & F_{T} \cos θ = m g \end{matrix}$

在水平方向有

$F_{x} = F_{T} \sin θ$

$\begin{matrix} (2) & F_{T} \sin θ = m a \end{matrix}$

（1）（2）式联立，可以求得小球的加速度为

$a = g \tan θ$

列车的加速度与小球相同，大小为 gtanθ，方向水平向右。

用动力学方法测质量

大家知道，质量可以用天平来测量。但是在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量，那么应该如何测量呢？

由牛顿第二定律 F ＝ ma 可知，如果给物体施加一个已知的力，并测得物体在这个力作用下的加速度，就可以求出物体的质量。这就是动力学测量质量的方法。

北京时间 2013 年 6 月 20 日上午 10 时，我国航天员在天宫一号空间实验室进行了太空授课，演示了包括质量的测量在内的一系列实验。

质量的测量是通过舱壁上打开的一个支架形状的质量测量仪完成的。测量时，航天员把自己固定在支架的一端，另外一名航天员将支架拉开到指定的位置。松手后，支架拉着航天员从静止返回到舱壁（图 4.3–7）。支架能够产生一个恒定的拉力 F；用光栅测速装置能够测量出支架复位的速度 v 和时间 t，从而计算出加速度a。这样，就能够计算出航天员的质量 m。

你能设计出一种在太空中测量质量的方法吗？

1．从牛顿第二定律知道，无论怎样小的力都可以使物体产生加速度。可是，我们用力提一个很重的箱子，却提不动它。这跟牛顿第二定律有没有矛盾？应该怎样解释这个现象？

2．甲、乙两辆小车放在水平桌面上，在相同拉力的作用下，甲车产生的加速度为 1.5 m/s²，乙车产生的加速度为 4.5 m/s²，甲车的质量是乙车的几倍？（不考虑阻力）

3．一个物体受到的合力是 4 N 时，产生的加速度为 2 m/s²。若该物体的加速度为 6 m/s²，它受到的合力是多大？

4．光滑水平桌面上有一个质量是 2 kg 的物体，它在水平方向上受到互成 90° 的两个力的作用，这两个力的大小都是 14 N。这个物体加速度的大小是多少？沿什么方向？

5．平直路面上质量是 30 kg 的手推车，在受到 60 N 的水平推力时做加速度为 1.5 m/s² 的匀加速直线运动。如果撤去推力，车的加速度大小是多少？方向如何？

6．如图 4.3–8，一辆装满石块的货车在平直道路上以加速度 a 向前加速运动。货箱中石块 B 的质量为 m，求石块 B 周围与它接触的物体对石块 B 作用力的合力。

第 3 节牛顿第二定律教学建议

1．教学目标

（1）通过分析探究实验的数据，能够得出牛顿第二定律的数学表达式 F = kma，并准确表述牛顿第二定律的内容，培养学生分析数据、从数据获取规律的能力。

（2）能根据 1 N 的定义，理解牛顿第二定律的数学表达式是如何从 F = kma 变成 F = ma 的，体会单位的产生过程。

（3）能够从合力与加速度的同时性、矢量性等方面理解牛顿第二定律，理解牛顿第二定律是连接运动与力之间关系的桥梁。

（4）会运用牛顿第二定律分析和处理实际生活中的简单问题，体会物理的实用价值，培养学生关注生活、关注实际的态度。

2．教材分析与教学建议

教科书中牛顿第二定律的内容以两节的形式呈现，其目的是要强调实验探究的重要性和突出牛顿第二定律在力学中的重要地位。本节开始以问题的形式引入，强调可以从上一节的探究实验数据来寻找加速度与力、质量的关系，然后引导学生通过分析基于数据的图线来获取规律，进一步提出牛顿第二定律。在“力的单位”中，通过力的单位的定义分析了牛顿第二定律的数学表达式是如何从 F = kma 变成 F = ma 的。通过这样的安排，学生不仅能体会到单位的产生过程，更能体会到科学的严谨性和准确性。本节用了两道联系生活实际的例题来引导学生学会利用牛顿第二定律分析和解决问题，以此让学生体会物理的实用性。

本节教学重点是正确理解并运用牛顿第二定律。本节教学难点是体会牛顿第二定律是确立运动与力之间关系的桥梁，体会定律中的因果性、瞬时性等特征。由于牛顿第二定律在力学中的基础地位，以及后续学习中会经常用到牛顿第二走律解决问题，因此对该定律的理解和运用就显得至关重要，而对定律的理解需要教师不断引导，才能引发学生的思考。

（1）问题引入

教科书通过联系实际生活中赛车的特点，定性描述出赛车的牵引力、加速性能与质量的关系，提示学生从上一节的探究实验中寻找加速度与力、质量之间的定量关系，起到了过渡及引发思考、引导学习的作用。

由于本节与上一节的紧密联系，教师在实际教学中，也可以直接进入数据分析、图像分析的环节，引导学生进入寻找牛顿第二定律表达式的过程。

（2）牛顿第二定律的表达式

教师可以通过组织学生展示其上一节探究实验的结果，即依据数据画出的 a–F 图像和 a–图像，并进行相应的讨论，提出牛顿第二定律的文字表述。在此过程中教师应该提醒学生注意以下几点：①通过共享实验数据，可以更容易找到规律，但是一般性规律的得出是需要以更多的实验数据和事实为基础的。②实际科研中，误差是要进行较为严格的定量分析的。而在学生的实验数据中，必然会存在多种误差，比如所画直线不过原点、直线末端数据点明显偏离等，教师需要引导学生讨论并有所交代。③实验中的力 F 是用槽码的重力近似替代细线的拉力，但当物体受力不止一个时，牛顿第二定律的表达式中 F 指的是物体所受的合力。

经过上面的讨论和分析，学生在已有数学知识的基础上，比较容易写出 a ∝ $\frac{F}{m}$ ，并用比例系数 k 得出F = kma 的表达式。

通过分享、讨论、分析与点拨，学生能从实验现象和结果总结出一般性的规律，并依据数学知识得出定律的一般表达式，这有助于让学生体会到科学规律的准确性与严谨性。

（3）力的单位

从牛顿第二定律的文字描述和表达式 F = kma 来看，只要后是常数，就可以反映 F 与 m、a 之间的关系。而 k 的值取决于 F 的单位是如何规定的。教师可以从以下问题引导学生：在初中已经学过力的单位是牛顿（N），而且知道用手托住两个鸡蛋大约就是 1 N。那么，1 N 的大小在物理学中究竟是如何规定的呢？

通过追问学生看似熟悉的问题，引发学生思考。教师可以进行如下说明：由 F = kma 这个表达式得到 k = $\frac{F}{m a}$ 。取力的单位为 N，质量的单位为 kg，加速度的单位为 m·s⁻²，那么 k = $\frac{F}{m a}$ = $\frac{1 N}{1 k g \cdot 1 m \cdot s^{- 2}}$ 。如果规定 1 N = 1 kg·m·s⁻²，即使 1 kg 的物体产生 1 m·s⁻² 的加速度时所需的力为 1 N，则表达式中的 k = 1，于是牛顿第二定律可以简化为 F = ma。

还需要提醒学生：由于牛顿第二定律的基础地位，在此之前没有定义力的单位，因此可以通过定义力的单位来实现表达式的简洁，以后还可能会遇到类似成比例的关系，在那些关系中比例系数就不一定能取为 1 了。

通过这样的讨论和说明，学生不仅能对力的单位有更深刻的理解，而且为后面学习力学单位制也作了一些铺垫。

（4）例题分析

教科书中用了两道联系实际生活的例题引导学生利用牛顿第二定律解决问题，期望通过例题的教学能够让学生掌握利用牛顿第二定律解题的整体思路和解题步骤。在这两道例题的教学中，教师应该注意以下几点：

①引导学生重视过程的分析，让学生体会牛顿第二定律的桥梁作用。比如在例题 1 中，先是从物体的运动状态确定受力，然后从受力情况确定物体的运动状态，这都是通过牛顿第二定律实现的。

②由于这是高中学生第一次接触完整的动力学问题，因此建议教师在学生解决问题的过程中做一些必要的引导，包括研究对象的选取、对研究对象进行受力分析、理解运算过程中出现的正负号等等。

③教师可以通过例题的分析引导学生理解牛顿第二定律的因果性、同一性、瞬时性、矢量性等特点。例如在例题 1 中，由于摩擦力的存在，导致汽车速度的减小（即产生了加速度），引导学生体会受力是因，产生加速度是果，从而加深对牛顿第二定律的因果性的理解。再例如，在分析汽车的运动过程中，一旦牵引力消失，汽车的运动状态即刻就会发生相应的变化，这种变化是瞬时的，也就体现了牛顿第二定律的瞬时性。

3．“练习与应用”参考答案与提示

本节共 6 道习题。侧重运用牛顿第二定律解释简单的自然现象，解决简单的实际问题，形成正确的力和运动的观点。第 1 题引入一个常见的认知冲突，引导学生树立正确的物理观念——F = ma 中合力 F 与加速度 a 对应。第 2 题已知 F 相同，加速度与质量成反比，比较 m。第 3 题已知 m 相同，加速度与合力 F 成正比，比较 F。第 4 题和第 5 题都是先求合力 F，再用 F = ma 求 a，理解 F、a 的矢量性。第6题已知货车的加速度 a，用隔离法求石块 B 受到的合力 F，练习根据研究问题的需要选择研究对象，加深对力的矢量性的理解，从不同角度运用牛顿第二定律分析解决实际问题。

1．没有矛盾。牛顿第二定律 F = ma 中的 F 指的是物体所受的合力，而不是其中的某一个力。我们用力提一个放在地面上的很重的箱子时，箱子受到的力总共有三个：竖直向下的重力 G，手对箱子向上的作用力 F₁，以及地面向上的支持力 F₂。如果 F₁ < G，只是支持力 F₂ 减小，这三个力的合力 F = 0，故箱子的加速度为 0，箱子仍然保持静止。

2．3 倍

提示：根据牛顿第二定律有 F = m_甲a_甲 = m_乙a_乙，故 $\frac{m_{甲}}{m_{乙}}$ = $\frac{a_{乙}}{a_{甲}}$ = $\frac{4.5}{1.5}$ = 3

3．12 N。

提示：根据牛顿第二定律有 F₁ = ma₁，F₂ = ma₂。故 F₂ = $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ F₁ = 12 N。

4．9.9 m/s²，沿两个力的角平分线方向

提示：根据平行四边形定则，这两个力的合力 F = 2×14×cos45° N = 19.8 N。加速度a = $\frac{F}{m}$ = 9.9 m/s²。加速度的方向与合力方向相同，沿两个力的角平分线方向。

5．0.5 m/s²，与运动方向相反

提示：设小车的运动方向为正方向，推小车时，根据牛顿第二定律有 F − F_阻 = ma。解得 F_阻 = 60 − 30×1.5 N = 15 N。

撤去推力后，根据牛顿第二定律有 − F_阻 = maʹ。解得 aʹ = − 0.5 m/s²。负号表示小车的加速度方向与运动方向相反。

6．m $\sqrt{a^{2} + g^{2}}$ ，与水平方向夹角 arctan $\frac{a}{g}$

提示：在水平方向上，石块 B 与车具有相同的加速度 a，设其在水平方向受到的力为 F_x，据牛顿第二定律有 F_x = ma。在竖直方向上，石块 B 的重力 mg与其他石块的支持力 F_y平衡，所以 F_y = mg。则石块 B 受到的作用力 F = $\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}}$ = m $\sqrt{a^{2} + g^{2}}$ 。设该作用力的方向与水平方向夹角为 α，则 tanα = $\frac{F_{x}}{F_{y}}$ = $\frac{a}{g}$ 。

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发布时间：2019/12/7 下午9:45:42 阅读次数：6639