第三章 4 力的合成与分解

问题

一个静止的物体，在某平面上受到5个力作用，你能判断它将向哪个方向运动吗？如果我们能找到一种方法，即“用一个力的单独作用替代两个力的共同作用，而效果不变”，上述问题就迎刃而解了。你觉得这个力和被替代的两个力会有怎样的关系呢？

几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。下面我们先研究共点力的合成。

合力和分力

生活中常常见到这样的事例：一个力的单独作用与两个或者更多力的共同作用，其效果相同。

例如，两个小孩分别用力F₁、F₂共同提着一桶水，水桶静止（图3.4-1甲）；一个大人单独向上用力F也能提着这桶水，让水桶保持静止（图3.4-1乙）。

一盏吊灯悬吊在天花板上保持静止，悬线对吊灯的拉力是 F（图3.4-2甲），若用两根线共同悬挂吊灯，悬线上端分别固定在天花板的左右两处，线的拉力是 F₁ 和 F₂，也能产生使吊灯保持静止的效果（图3.4-2乙）。

假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力（resultant force）。假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力（component force）。图3.4-1中的 F 是 F₁ 和 F₂ 的合力，图3.4-2乙中的 F₁ 和 F₂ 是 F 的分力。

力的合成和分解

在物理学中，我们把求几个力的合力的过程叫作力的合成（composition of forces），把求一个力的分力的过程叫作力的分解（resolution of force）。

实验

探究两个互成角度的力的合成规律

如图3.4-3甲，轻质小圆环挂在橡皮条的一端，另一端固定，橡皮条的长度为GE。在图3.4-3乙中，用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环。小圆环受到拉力F₁、F₂的共同作用，处于O点，橡皮条伸长的长度为EO。撤去F₁、F₂，改用一个力F单独拉住小圆环，仍使它处于O点（图3.4-3丙）。力F单独作用，与F₁、F₂共同作用的效果是一样的，都能使小圆环保持静止，由于两次橡皮条伸长的长度相同，即橡皮条对小圆环的拉力相同，所以F等于F₁、F₂的合力。

我们要探究的是：合力F与F₁、F₂有什么关系？

1．由纸上O点出发，用力的图示法画出拉力F₁、F₂和F（三个力的方向沿着各自拉线的方向，三个力的大小由弹簧测力计读出）。

2．三个力的大小和方向有什么关系？我们用虚线把拉力F的箭头端分别与F₁、F₂的箭头端连接，能看到所围成的形状像是一个平行四边形（图3.4-3丁），但这只是猜想。

3．用作图工具进行检验，并改变拉力F₁和F₂的大小和方向，重做上述实验，检验所围成的图形是不是平行四边形。

实验表明，在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向（图3.4-4）。这个规律叫作平行四边形定则（parallelogram rule）。

在上述实验中，如果把图3.4-3乙和图3.4-3丙的操作顺序对调，即先用拉力F把圆环拉到O点，再用拉力F₁和F₂共同拉圆环产生相同效果，则F₁和F₂就是F的分力，这就变成了“探究力的分解规律”的实验。由于各个力的数据都没有改变，因此，力的分解也遵从平行四边形定则。

需要指出的是，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形（图3.4-5）。也就是说，同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力。一个已知力究竟应该怎样分解，要根据具体问题来确定。

如果两个以上的共点力作用在一个物体上，也可以应用平行四边形定则求出它们的合力。先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。

【例题】

某物体受到一个大小为 32 N 的力，方向水平向右，还受到另一个大小为 44 N 的力，方向竖直向上。通过作图求出这两个力的合力的大小和方向。

解 选择某一标度，例如用 1 cm 长的线段表示 10 N 的力。

根据题意，作出二力合成的平行四边形（图 3.4-6）。表示 F₁ 的有向线段长 3.20 cm，表示 F₂ 的有向线段长 4.40 cm。用刻度尺测量后得知，表示合力F的对角线长为 5.44 cm，则

F ＝ 5.44 cm×10 N/cm ＝ 54.4 N

用量角器测得合力 F 与力 F₁ 的夹角为 54°。合力的大小为 54.4 N，方向与力 F₁ 夹角为 54°。

矢量和标量

力的合成，可以认为是力的相加。二力相加时，不能简单地把两个力的大小相加，而要按平行四边形定则来确定合力的大小和方向。

我们曾经学过位移。一个人从A走到B，发生的位移是AB，又从B 走到C（图3.4-7），发生的位移是BC。在整个运动过程中，这个人的位移是AC，AC是合位移。

如果平行地移动矢量BC，使它的始端B与第一次位移的始端A重合，于是我们看到，两次表示位移的线段构成了一个平行四边形的一组邻边，而表示合位移正是它们所夹的对角线AC（图3.4-8）。所以说，位移合成时也遵从平行四边形定则。

既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量叫作矢量（vector）。只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量叫作标量（scalar）。

除了力和位移以外，速度、加速度都是矢量。在我们学过的物理量中，质量、路程、功、电流等都是标量。

练习与应用

本节共7道习题。从最简单的已知两个力的大小求合力到应用平行四边形定则讨论合力、分力及夹角的关系，步步深入，层层提高，帮助学生形成对平行四边形定则的基本认识。要求学生能理解力的合成和分解的概念，应用平行四边形走则解决力的合成和分解的问题。要求学生必须规范严谨，以培养学生的科学索养。

1．有两个力，一个是 10 N，一个是 2 N，它们的合力有可能等于 5 N、10 N、15 N 吗？合力的最大值是多少？最小值是多少？

参考解答：可能等于 10 N；12 N；8 N

提示：两个力的夹角为 0° 时，它们的合力最大，为 12 N；当两个力的夹角为 180° 时，它们的合力最小，为 8 N；当两个力的夹角由 0° 逐渐增加到 180° 时，它们的合力逐渐减小，即合力的大小在 8 N 和 12 N 之间。由此可见，两个力的合力可能等于 10 N，不能等于 5 N 或 15 N。

2．有两个力，它们的合力为 0。现把其中一个向东的 6 N 的力改为向南（大小不变），它们合力的大小、方向如何？

参考解答：6\(\sqrt 2 \) N，方向为西偏南 45°

提示：当两个力的合力为 0 时，由于一个力向东，大小为 6 N，则另一个力的方向必向西，大小也为 6 N。将向东的 6 N 的力改为向南时，二力相互垂直，如图所示。它们合力的大小为 6\(\sqrt 2 \) N，方向为西偏南45°。

3．两个力互成 30° 角，大小分别是 90 N 和 120 N。通过作图求出合力的大小和方向。如果这两个力的大小不变，两个力之间的夹角变为 150°，通过作图求出合力的大小和方向。

参考解答：如图所示，选 1 cm 长的线段表示 30 N 的力，作出力的平行四边形，量得表示合力 F 的对角线长 6.8 cm，则合力大小 F = \(\frac{{6.8{\rm{cm}}}}{{1{\rm{cm}}}}\)×30 N = 204 N，量得 F 与 F₁ 的夹角为17°。

如图所示，当两个力的夹角为 150° 时，对角线长 2 cm，则合力的大小 F = \(\frac{{2{\rm{cm}}}}{{1{\rm{cm}}}}\)×30 N =60 N，量得 F 与 F₁ 的夹角为103.5°。

4．一个竖直向下的 180 N 的力分解为两个分力，一个分力在水平方向上并等于 240 N（图3.4-9），求另一个分力的大小和方向。

参考解答：如图所示，另一个分力为 300 N，与竖直方向夹角53°。

提示：由平行四边形定则可知，F₂ = \(\sqrt {{F^2} + F_1^2} \) = 300 N，设它与力 F 的夹角为 θ，则 tanθ = \(\frac{{{F_1}}}{F}\) = \(\frac{4}{3}\)，解得 θ = 53°。

5．两个力 F₁ 和 F₂ 之间的夹角为 θ，其合力为 F。请判断以下说法是否正确，并简述理由。

（1）合力 F 总比分力 F₁ 和 F₂ 中的任何一个力都大。

（2）若 F₁ 和 F₂ 大小不变，θ 角越小，则合力 F 就越大。

（3）若夹角 θ 不变，F₁ 大小不变，F₂ 增大，则合力 F 一定增大。

参考解答：（1）错误。由 |F₁ – F₂| ≤ F ≤ F₁ + F₂ 可知，F 可能小于 F₁ 或 F₂。

（2）正确。

（3）错误。如图3-17所示，F₁ 大小不变时，若夹角 θ 大于 90°，则随着 F₂ 增大，合力，不一定增大。

6．如图 3.4-10，倾角为 15° 的斜面上放着一个木箱，用 100 N 的拉力F斜向上拉着木箱，F 与水平方向成 45° 角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为 x 轴和 y 轴建立直角坐标系，把 F 分解为沿着两个坐标轴的分力。试在图中作出分力 F_x 和 F_y，并计算它们的大小。

参考解答：如图所示，分力分别为 87 N.  50 N。

提示：F_x = Fcos(45° − 15°) = 87 N，F_y = Fsin(45° − 15°) = 50 N。

7．如图 3.4-11，把一个物体放在倾角为 θ 的斜面上，物体受重力 G（物体还受到其他力的作用，图中没有画出）。现在需要沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向对物体的运动分别进行研究，把重力 G 沿平行于斜面和垂直于斜面方向分解为 F₁ 和 F₂，求两个分力的大小。

参考解答：如图所示，F_x = G sinθ，F_y = G cosθ。

发布时间：2019/11/7 下午7:37:01  阅读次数：10358