一.估算直接测量中的偶然误差

物理学是一门实验科学,物理实验离不开测量。著名物理学家开尔文曾经说过:“如果你能够测量你所谈的东西,并能用数量表示它,你对它就有所了解了;假如你不能测量它,你对它的知识就是贫乏而不能令人满意的。”由此可见,测量是实验科学最本质的东西。

任何物质都有自身的各种各样的特性,反映这些特性的量所具有的客观的真实数值,称为真值。测量的目的就是力图得到真值。但是由于测量的方法、仪器、环境和测量者自身素质都会存在某些不理想的情况,因此测量不可能是完全精确的。在绝大多数情况下,测量结果(x)与客观存在的真值(A)之间总有一定的差异,这个差异就是测量误差(Δx)。可以用数学式表示为

\[\Delta x = \left| {x - A} \right|\]

因为Δx是用测量值和真值之差的绝对值来表示,所以把它叫做绝对误差。误差在测量过程中是必然存在且不可避免的。误差的大小是反映测量结果偏离客观真实的程度,反映测量结果的可信程度。

应该怎样来评价一个测量结果呢?下面以打靶为例来说明。如果有一个射击者瞄准靶心进行射击,由于枪(不可能十全十美)、环境(包括射击时的风向、气温、光照)以及射击者本身的因素(包括他射击的技术水平以及射击的竞技状态)等诸多原因,子弹不可能每发都击中靶心,例举图中(a)、(b)、(c)三种情况。从图中可以看出,三次射击的结果都有一定的离散性。其中,(c)的弹着点最集中,重复性最好。(b)的弹着点的平均位置离靶心最近,正确性最高。

打靶结果

在物理实验的测量结果中,同样存在着重复性和正确性的问题。为了定量地描述这两种性质不同的问题,物理学中引入了偶然误差和系统误差两个概念。本章将分别讨论这两种误差。

一.估算直接测量中的偶然误差

在实验时所得的测量结果,因受被测对象、所用仪器、周围环境以及实验者本身情况的影响,会偏离真值而产生误差。由于影响结果的因素很多,它们又各自以不同的方式变动,所以对某一次具体的测量来讲,很难确定测量结果相对真值的偏离究竟有多大及到底是偏大还是偏小,这就使得每一次测量结果的误差都带有一定的偶然性(或称随机性)。

这一类误差叫做偶然误差(或随机误差)。在某一次测量时偶然误差是无法控制的,但在多次测量中,偶然误差的出现却服从一定的统计规律。统计理论和实验事实都证明了偶然误差服从正态分布。正态分布的特征是:大于真值和小于真值的测量值出现的机会相等,偏离真值很大的测量值出现的机会趋于零。而且误差较小的测量值比误差较大的测量值出现的机会多。

为了简化问题起见,下面的讨论中暂时假设这些实验没有系统误差。

所谓直接测量,就是直接用测量仪器进行测量得到结果。比如用米尺测量长度,用温度计测量温度,用伏特表测量电压等都是直接测量。根据测量次数的不同,直接测量又可以分成多次测量和单次测量两种,下面分别讨论怎样估算这两种测量的偶然误差。

(一)估算多次测量中的误差

研究实验误差是一门较专门的科学,深入讨论它,需要有丰富的实验经验和较多的数学知识。但在中学物理实验中讨论误差完全可以用一套简化的公式来计算偶然误差。

根据误差的定义,误差等于测量值与真值之差。但真值是无法得到的,因此要计算误差,首先必须确定一个代替真值的最佳值。根据统计理论可知,如果进行了n次测量,得到n个测量值

x1x2x3,……,xn

那么它们的平均值是最接近真值,即可用公式

\[\bar x = \frac{{{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}}}{n}\]

作为最佳值来代替真值。当式中n趋向无穷大,而系统误差又可以忽略时,平均值就趋向真值。

测量值和平均值的差叫做残差,当n趋向无穷大时,残差趋向误差,在中学物理实验中,可用残差代替误差。

测量的偶然误差,可用公式

\[\Delta x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i} - \bar x} \right|} }}{n}\]

求得。

【例】对某一长度测量6次,结果如下

x1=3.41 cm,x2=3.43 cm,x3=3.45 cm,

x4=3.44 cm,x5=3.42 cm,x6=3.44 cm。

那么,这组数据的平均值为

\[\bar x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^6 {{x_i}} }}{n} = \frac{1}{6}(3.41 + 3.43 + 3.45 + 3.44 + 3.42 + 3.44 + 3.43) = 3.43{\rm{cm}}\]

每次测量的绝对误差

Δx1=|3.41 cm-3.43 cm|=0.02 cm,

Δx2=|3.43 cm-3.43cm|=0.00 cm,

Δx3=|3.45 cm-3.43 cm|=0.02 cm,

Δx4 =|3.44 cm-3.43cm|=0.01 cm,

Δx5=|3.42 cm-3.43cm|=0.01 cm,

Δx6=|3.44 cm-3.43cm|=0.01 cm。

误差的平均值

\[\begin{array}{l}\Delta x = \frac{1}{6}(\Delta {x_1} + \Delta {x_2} + \Delta {x_3} + \Delta {x_4} + \Delta {x_5} + \Delta {x_6})\\ = \frac{1}{6}\left( {0.02 + 0.00 + 0.02 + 0.01 + 0.01 + 0.01} \right){\rm{cm}}\\ = 0.02{\rm{cm}}\end{array}\]

(二)估算单次测量中的误差

在物理实验中,有时被测的物理量是随时间变化的,无法进行多次测量。例如测量自由下落物体某时刻的高度;用混合法测固体比热时某时刻的温度等都不可能重复测量,只能对被测量物体进行单次测量。还有些测量精密度要求不高,没有必要进行重复测量。以上两种情况,一般只要进行单次测量,并且根据仪器的精度、测量者的估读能力以及测量时的具体环境等因素来对单次测量可能发生的误差作适当的估计。下面选几种常用的测量为例,来说明单次测量最大误差的估读方法。

1.用刻度尺测量长度

用一把最小刻度为毫米的刻度尺测量一块木块的长度。假如没有其他误差因素(例如视差等)存在,则误差的大小主要根据估读能力来确定。如果测量者能估读到最小分度的1/5,则图中左端读数为(12.00±0.02)cm,右端读数为(14.57±0.02)cm。实验者的估读能力是有差异的。估读到的最小分度有的可读到1/10而有的只能读到1/2。大多数10分度的测量仪器的单次测量估读都可参照上述方法进行。

刻度尺测量

2.用游标卡尺测量长度

游标卡尺的游标可帮助测量者估读出较准确的数据。在使用游标卡尺进行测量时,如果游标尺上的某一根刻度线正好跟主尺上的某一刻度线对齐,那么读数是较容易读得准确的;如果游标尺上有两根刻度线跟主尺上的两条刻度线距离基本相等,这时可能出现的误差应该是游标精度的一半。由此可见,用游标卡尺单次测量长度的误差可定为游标精度的一半。例如用游标精度为0.02 mm(即游标副尺上有50格)的游标卡尺测量长度x,可认为Δx=0.01 mm。

3.用秒表测量时间

一般说来在使用秒表测量时间时,启动和制动秒表时所造成的误差比读数误差要大,因此应以前者为主确定单次测量的误差。实验工作者应通过自我训练使启动和制动时间各只有0.1秒的误差,使时间单次测量结果的误差控制在0.2秒之内。对初学者来说,则可将启动和制动的误差各定为0.2秒。

4.用指零仪表测量

用天平、电桥、电位差计等指零仪表进行单次测量时,可根据天平的灵敏度和测量者对指零器的分辨能力来确定其误差。下面以天平为例,说明确定误差的具体方法。天平的感量为C,用公式表示

\[C = \frac{{{m_2} - {m_1}}}{{{\theta _2} - {\theta _1}}}\]

式中θ2θ1为天平平衡时砝码质量由m1变为m2时天平指针偏转的格数。当测量者对指针偏转的分辨能力为Δθ时,单次测量的误差可定为C·Δθ。例如某一架物理天平的感量为0.02g(即砝码质量变化0.02 g时,天平指针偏转一格),测量者对指针的分辨能力为0.5格,则单次测量误差可定为0.01 g。

(三)测量结果的表示及其含义

测量结果应该包含数值、误差和单位三个部分。通常将测量结果写成\(\bar x\)±Δx的形式,其中x是测量值(可以是多次测量的平均值,也可以是单次测量的结果),Δx是测量误差。如上例的结果可写为x=(3.43±0.02)cm。

在表述测量结果时,要注意以下几点:

(1)Δx的值一般都只取一位,而且应该跟测量值x的最后一位对齐。为了确保误差范围的有效性,Δx的值一般只进不舍。

(2)长度测量结果为x=(3.43±0.02)cm,并不表示x等于3.45 cm或3.41 cm两个值,而是表示x一般在3.41 cm到3.45 cm这个范围之内。

(3)用上面所述的方法计算出来的Δx是欠完善的,因为在计算中没有反映出多次测量的效益和各独立偶然误差之间的抵偿作用。但是在直接测量次数不多的情况下,可粗略地把Δx作为\(\bar x\)的最大误差。当测量次数n=8时,被测量值的真值有p=95%的可能落在\(\bar x\)±Δx的范围之内。其他测量次数的p值如下表所列。由表中可见,测量次数越多,被测量值的真值落在误差范围内的可能性越大。

n

3

4

5

6

7

8

9

10

14

15

20

p

*~0.7

~0.8

0.8+*

~0.9

0.9+

~0.95

~0.95

0.95+

~0.99

0.99+

0.9973+

*~表示接近,+表示略大。

测量误差的另一种表达形式是用相对误差来表示,相对误差E=×100%,它与绝对误差比较,更能说明测量结果的好坏。

如甲测量一本书的宽度是0.127±0.001 m,乙测量百米赛跑跑道的长度是100.04±0.05 m。比较他俩测量的绝对误差,甲要比乙小得多,但比较他俩测量的相对误差是

\[\begin{array}{l}{E_甲} = \frac{{0.001}}{{0.127}} \times 100\% = 0.8\% ,\\{E_乙} = \frac{{0.005}}{{100.04}} \times 100\% = 0.8\% \end{array}\]

从比较他俩的相对误差,可看出乙的测量结果优于甲的测量结果。


发布时间:2018/11/30 22:32:48  阅读次数:1753

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