等量电荷的电场线和等势线
等量异种电荷
解析
如图所示,等量异号点电荷在场点P(x,y)产生的电势为
\[U = k\frac{Q}{{{r_1}}} - k\frac{Q}{{{r_2}}}\]
其中,k为静电力常量,r1和r2是场点P到电荷的距离
\[{r_1} = \sqrt {{{(x + a)}^2} + {y^2}} \]
\[{r_2} = \sqrt {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \]
电场强度可根据电势梯度计算
\[E = - \nabla U\]
在直角坐标系中,劈形算符为
\[\nabla = \frac{\partial }{{\partial x}}{\bf{i}} + \frac{\partial }{{\partial y}}{\bf{j}} + \frac{\partial }{{\partial z}}{\bf{k}}\]
在Oxy平面上,场强只有两个分量
\[{E_x} = - \frac{{\partial U}}{{\partial x}},{E_y} = - \frac{{\partial U}}{{\partial y}}\]
两个点电荷在P点产生的电场强度的大小分别为
\[{E_1} = \frac{{kQ}}{{r_1^2}},{E_2} = \frac{{kQ}}{{r_2^2}}\]
场强的两个分量也能根据公式计算:
\[{E_x} = {E_1}\cos {\theta _1} - {E_2}\cos {\theta _2} = \frac{{kQ(x + a)}}{{r_1^3}} - \frac{{kQ(x - a)}}{{r_2^3}}\]
\[{E_y} = {E_1}\sin {\theta _1} - {E_2}\sin {\theta _2} = \frac{{kQy}}{{r_1^3}} - \frac{{kQy}}{{r_2^3}}\]
电场线的微分方程为
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{E_y}}}{{{E_x}}}\]
算法
取a为坐标单位,则电势可表示为
\[U = {U_0}(\frac{1}{{r_1^* - r_2^*}})\]
其中,U0=kQ/a。U0是Q在原点产生的电势,作为电势的单位。r1*和r2*是约化距离,分别表示为
\[r_1^* = \frac{{{r_1}}}{a} = \sqrt {{{({x^*} + 1)}^2} + {y^{*2}}} ,r_2^* = \frac{{{r_2}}}{a} = \sqrt {{{({x^*} - 1)}^2} + {y^{*2}}} \]
其中,x*=x/a,y*=y/a,x*和y*是无量纲的坐标或约化坐标。
场强的x分量用梯度可表示为
\[{E_x} = - \frac{{\partial U}}{{\partial x}} = - \frac{{{U_0}}}{a} \cdot \frac{{\partial (U/{U_0})}}{{\partial (x/a)}}\]
即
\[{E_x} = - {E_0}\frac{{\partial {U^*}}}{{\partial {x^*}}}\]
其中,E0=U0/a=kQ/a2,U*=U/U0。E0是场强的单位,U*是无量纲的电势。同理可得
\[{E_y} = - {E_0}\frac{{\partial {U^*}}}{{\partial {y^*}}}\]
两个点电荷的电场强度的两个分量用公式可表示为
\[{E_x} = {E_0}(\frac{{{x^*} + 1}}{{r_1^{*3}}} + \frac{{{x^*} - 1}}{{r_2^{*3}}}),{E_y} = {E_0}(\frac{{{y^*}}}{{r_1^{*3}}} + \frac{{{y^*}}}{{r_2^{*3}}})\]
电场线的微分方程为
\[\frac{{d{y^*}}}{{d{x^*}}} = \frac{{E_y^*}}{{E_x^*}}\]
其中Ex*=Ex/E0,Ey*=Ey/E0。将物理量无量纲化之后,只要做纯数值计算就行了。
MATLAB的梯度函数gradient可直接计算场强的数值分量,场强的数值解和解析解可相互比较。根据电势公式,等势线可用等值线指令contour绘制;根据电场线的微分方程,电场线可用流线指令streamline绘制。
程序
%等量异号点电荷的电场线和等势线(请在“创建图形窗口”处设置断点,以观察画图过程) clear %清除变量 xm=2.5; %横坐标范围 ym=2; %纵坐标范围 x=linspace(-xm,xm,400); %横坐标向量 y=linspace(-ym,ym,400); %纵坐标向量(1) [X,Y]=meshgrid(x,y); %坐标网点(矩阵) R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2); %左边第一个正电荷到场点的距离 R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2); %右边第二个负电荷到场点的距离 U=1./R1-1./R2; %计算电势 u=-4:0.5:4; %等势线的电势向量(2) figure %创建图形窗口 C=contour(X,Y,U,u,'LineWidth',2); %画等势线并取等势线的坐标(3) %[C,h]=contour(X,Y,U,u); %画等值线并取坐标矩阵和句柄(6.5版用) %set(h,'LineWidth',2) %加粗曲线 clabel(C,'FontSize',16) %标记等势线的值(4) hold on %保持图像 plot([-xm;xm],[0;0],[0;0],[-ym;ym]) %画水平和竖直线 plot(-1,0,'o',1,0,'o','MarkerSize',12) %画电荷 [Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));%用电势梯度求场强的两个分量(5) %[Ex,Ey]=gradient(-U); %用电势梯度求场强的两个分量 axis equal tight %使坐标间隔相等 dth=20; %电场线角度间隔(6) th=(dth:dth:360-dth)*pi/180; %电场线的起始角度 r0=0.1; %电场线起点半径 x0=r0*cos(th); %电场线的起点横坐标 y0=r0*sin(th); %电场线的起点纵坐标(7) streamline(X,Y,Ex,Ey,x0-1,y0) %画左边电场线(中间部分达到右边)(8) streamline(X,Y,-Ex,-Ey,x0+1,y0) %画右边电场线(中间部分达到左边)(9) grid on %加网格 title('等量异号点电荷的电场线和等势线','FontSize',20)%显示标题 xlabel('\itx/a','FontSize',16) %显示横坐标 ylabel('\ity/a','FontSize',16) %显示纵坐标 text(-xm,ym-0.5,'电势单位:\itkQ/a','FontSize',16)%显示电势单位 Ex=(X+1)./R1.^3-(X-1)./R2.^3; %用公式求场强的x分量(10) Ey=Y./R1.^3-Y./R2.^3; %用公式求场强的y分量 h=streamline(X,Y,Ex,Ey,x0-1,y0); %重画左边电场线并取句柄(11) set(h,'LineWidth',2) %加粗曲线 h=streamline(X,Y,-Ex,-Ey,x0+1,y0); %重画右边电场线并取句柄 set(h,'LineWidth',2) %加粗曲线
说明
(1)当r/a=±1时,电场和电场强度为无穷大,这两点称为奇点。用linspacc形成对称的变量可绕过奇点。坐标间隔越小,用梯度计算场强的分量就越精确。但是,如果矩阵太大,则内存可能不够。
(2)根据公式计算无量纲的电势。等势线向量在调试程序后选取,最高电势取4U0,最低电势取-4U0。
(3)用contour指令画等势线的同时取出等势线的坐标。不过,6.5版不能在指令中直接使用绒宽属性,此指令可改写为两条
%[C,h]=contour(X,Y,U,u); %画等值线并取坐标矩阵和句柄(6.5版用) %set(h,'LineWidth',2) %加粗曲线
(4)等值线标签指令clabel可对等势线标记数值。
(5)梯度函数gradient根据电势求电场强度的两个分量,第一个参数要用负的电势,第二个参数表示横坐标的间隔,第三个参数表示纵坐标的间隔。如果只需要计算两个差分,后面两个参数就能省去。gradient函数还能求三维数值梯度,也能求一维数值梯度,这就是数值导数。
(6)电场线的角度间隔可自由选取,但是应该能被180整除。
(7)以电荷为中心,以r0为半径,求电场线的相对端点坐标,由此决定左边和右边电场线的起点或终点坐标。
(8)流线指令streamline专门画流线,包括电场线,指令的第一对参数是坐标分量,第二对参数是场强分量,第三对参数是电场线的起点坐标。注意:电场线从电势高的方向指向电势低的方向,左边是正电荷,左边电场线的起点坐标是x0-1和y0,中间部分的电场线可以直接延续到负电荷。
(9)右边负电荷还要补画一些电场线。由于电场线总是从电势高的地方指向电势低的地方,所以要将电场强度的方向反向,也就是将正负电荷当相反的电荷处理。右边电场线的起点坐标是x0+1和y0。左右电荷的电场线在中间部分正好重叠。
(10)再用电场强度的公式计算分量。
(11)取句柄后可加粗电场线。用解析解画出的电场线与数值解画出的电场线基本重叠,说明用梯度函数计算偏导数是正确的。注意:如果坐标间隔取得较稀,两种方法画出的电场线就不一定重合,所以横坐标和纵坐标都取400个点。
图示
如图所示,左边表示正电荷,右边表示负电荷,等量异号点电荷的电场线和等势线关于原点是对称分布的。电场线从正电荷出发,终止于负电荷。电场线与等势线垂直,任何两条电场线都不相交。除了电势为零的直线外,等势线分别包围着各自的电荷。电场强度大的地方,电场线较密,等势线也较密。
在程序中将计算电势的公式由U=1./R1-1./R2改为U=4./R1-1./R2,即可画出非等量电荷的电场线和等势线,其中左边电荷的电量为右边的4倍。
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【2009年北京理综13】 某静电场的电场线分布如图所示,图中P、Q两点的电场强度分别为EP和EQ,电势分别为UP和UQ。则( A )
(A)EP>EQ,UP>UQ (B)EP>EQ,UP<UQ
(C)EP<EQ,UP>UQ (D)EP<EQ,UP<UQ
【2015年上海高考8】两个正、负点电荷周围电场线分布如图所示。P、Q为电场中两点,则( D )
(A)正电荷由P静止释放能运动到Q
(B)正电荷在P的加速度小于在Q的加速度
(C)负电荷在P的电势能高于在Q的电势能
(D)负电荷从P移动到Q,其间必有一点电势能为零
【2013年上海高考10】 两异种点电荷电场中的部分等势面如图所示,已知A点电势高于B点电势。若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb,则( B )
(A)a处为正电荷,qa<qb
(B)a处为正电荷,qa>qb
(C)a处为负电荷,qa<qb
(D)a处为负电荷,qa>qb
等量同种电荷
程序
clear %清除变量 q= 1; %电量比 xm = 2.5; %横坐标范围 ym = 2; %纵坐标范围 x= linspace(-xm,xm ); %横坐标向量 y= linspace(-ym ,ym); %纵坐标向量 [X,Y ]= meshgrid(x,y); %设置坐标网点 R1= sqrt((X + 1).^2+ Y.^2); %第一个正电荷到场点的距离 R2= sqrt((X -1).^2 + Y.^2); %第二个正电荷到场点的距离 U = 1./R1+q./R2; %计算电势 u=1:0.5:4; %等势线的电势向量 figure %创建图形窗口 contour(X,Y,U,u) %画等势线 grid on %加网格 hold on %保持图像 plot([-xm;xm],[0;0]) %画水平线 plot([0;0],[-ym;ym]) %画竖直线 plot(-1,0,'o','MarkerSize',12) %画第一个正电荷 plot(1,0,'o','MarkerSize',12) %画第二个正电荷 [Ex,Ey]= gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));%用电势梯度求场强的两个分量 dth1 = 20; %左边电场线角度间隔 th1= (dth1:dth1:180-dth1)*pi/180; %电场线的起始角度 x1 = 0.1 * cos(th1)-1; %电场线的起点横坐标 y1 = 0.1 * sin(th1); %电场线的起点纵坐标 streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1) %画左上电场线 streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x1,-y1) %画左下电场线 dth2= dth1/q; %右边电场线角度间隔 th2 = (180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180;%电场线的起始角度 x2 = 0.1*cos(th2)+1; %电场线的起点横坐标 y2 = 0.1*sin(th2); %电场线的起点纵坐标 streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2) %画右上电场线 streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2) %画右下电场线
图示
在代码中将电荷比q=1改为q=2,即可画出非等量同种电荷的电场线和等势线,如下图所示:
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【2009年上海高考7】位于A、B处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内电势分布如图所示,图中实线表示等势线,则( CD )
(A)a点和b点的电场强度相同
(B)正电荷从c点移到d点,电场力做正功
(C)负电荷从a点移到c点,电场力做正功
(D)正电荷从e点沿图中虚线移到f点,电势能先减小后增大
三个点电荷
程序
clear %清除变量 xm = 2.5; %横坐标范围 ym = 2; %纵坐标范围 x= linspace(-xm,xm ); %横坐标向量 y= linspace(-ym ,ym); %纵坐标向量 [X,Y ]= meshgrid(x,y); %设置坐标网点 R1= sqrt(X.^2 + (Y-1).^2); %上方正电荷到场点的距离 R2= sqrt((X - 1).^2+ Y.^2); %左下方负电荷到场点的距离 R3= sqrt((X + 1).^2 + Y.^2); %右下方第二个负电荷到场点的距离 U = 1./R1-1./R2-1./R3; %计算电势 u=-4:0.5:4; %等势线的电势取值,从-4至4,每隔0.5取一个值 figure %创建图形窗口 contour(X,Y,U,u) %画等势线 hold on %保持图像 plot(-1,0,'o','MarkerSize',12) %画左下方负电荷 plot(1,0,'o','MarkerSize',12) %画右下方负电荷 plot(0,1,'o','MarkerSize',12) %画上方正电荷 [Ex,Ey]= gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));%用电势梯度求场强的两个分量 dth = 20; %电场线角度间隔 %画正电荷出发的电场线 th1= (dth:dth:360-dth)*pi/180; %电场线的起始角度 x1 = 0.1 * cos(th1); %电场线的起点横坐标 y1 = 0.1 * sin(th1)+1; %电场线的起点纵坐标 streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1) %画正电荷出发的电场线 %画左下方负电荷的部分电场线 th2 = (160-dth:dth:340-dth)*pi/180;%电场线的起始角度 x2 = 0.1*cos(th2)-1; %电场线的起点横坐标 y2 = 0.1*sin(th2); %电场线的起点纵坐标 streamline(X,Y,-Ex,-Ey,x2,y2) %画左下方负电荷出发的部分电场线 %画右下方负电荷的部分电场线 th3 = (dth+200:dth:dth+380)*pi/180;%电场线的起始角度 x3 = 0.1*cos(th3)+1; %电场线的起点横坐标 y3 = 0.1*sin(th3); %电场线的起点纵坐标 streamline(X,Y,-Ex,-Ey,x3,y3) %画右下方负电荷出发的部分电场线
图示
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【2010年上海高考9】三个点电荷电场的电场线分布如图所示,图中a、b两点处的场强大小分别为Ea、Eb,电势分别为φa、φb,则( C )
(A)Ea>Eb,φa>φb (B)Ea<Eb,φa<φb
(C)Ea>Eb,φa<φb (D)Ea<Eb,φa>φb
【2015年江苏理综8】两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示。c是两负电荷连线的中点,d点在正电荷的正上方,c、d到正电荷的距离相等,则( ACD )
(A)a点的电场强度比b点的大
(B)a点的电势比b点的高
(C)c点的电场强度比d点的大
(D)c点的电势比d点的低
【注】此题的图中上方的左右两条电场线近似画成了直线,好像有点不对。
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