点电荷的电场线和等势线

解析

根据库仑定律，一试验电荷q₀与点电荷Q相距为r时，受到的静电力为

\[F = \frac{{kQ{q_0}}}{{{r^2}}}\]

其中k是静电力常量，k = 9×10⁹N·m²/C²。根据电场强度的定义，点电荷Q在r处产生的电场强度大小为

\[E = \frac{F}{{{q_0}}} = \frac{{kQ}}{{{r^2}}}\]

可见：点电荷的带电量Q越大，在周围空间产生的场强越大；场强与距离的平方成反比。如果Q是正电荷，场强方向沿着径向向外；如果Q是负电荷，场强方向沿着径向向内。

以无穷远处为电势零点，取一条从r到无穷远处的电场线为积分路径，点电荷在r处的电势为

\[U = \int_0^\infty {{\bf{E}} \cdot d{\bf{s}} = } \int_0^\infty {Edr = } \int_0^\infty {\frac{{kQ}}{{{r^2}}}dr = } \frac{{kQ}}{r}\]

可见：点电荷的电势与距离成反比。

图示

点电荷的电场线是以点电荷为端点的射线。对于正的点电荷，射线从点电荷射向四周；对于负的点电荷，射线从四周射向点电荷。在点电荷的平面上，点电荷的等势线是以点电荷为中心的圆，相邻两个等势线之间的电势差应该相等。不论是正电荷还是负电荷，场点离电荷距离越近，电场线越密，等势线也越密，场强越大。

算法

为了计算数值，取某一点的距离r₀作为参考距离，也就是距离的单位，则电场强度大小可表示为

\[E = \frac{{kQ}}{{r_0^2{{(r/{r_0})}^2}}} = \frac{{{E_0}}}{{r{*^2}}}\]

其中，r*=r/r₀，是无量纲的距离或约化距离；E₀=kQ/r₀²是r₀处的场强大小。取E₀为场强单位，E/E₀就是无量纲的场强或约化场强。显然：点电荷的无量纲场强E/E₀与无量纲的距离的平方成反比。

电势可表示为

\[U = \frac{{kQ}}{{{r_0}{{(r/{r_0})}^2}}} = \frac{{{U_0}}}{{r*}}\]

其中，U₀=kQ/r₀，是r₀处的电势。取U₀为电势单位，U/U₀是无量纲的电势或约化电势，与无量纲的距离成反比。

等势线通常用等值线指令contour绘制，由于点电荷的等势线是同心圆，也可用矩阵画线法绘制。由于点电荷的电场线是射线，所以用箭杆指令quiver绘制比较简单。

程序

%点电荷的电场强度和电势
clear                                  %清除变量
u=0.5:0.5:3.5;                         %等势线的电势
n=length(u);                           %等势面的个数
r=1./u;                                %距离向量
th=linspace(0,2*pi);                   %角度向量
X=cos(th)'*r;                          %等势线的x坐标
Y=sin(th)'*r;                          %等势线的y坐标
figure                                 %创建图形窗口
plot(X,Y,'LineWidth',2)                %画圆
axis equal                             %使坐标间隔相同
grid on                                %加网格
legend([num2str(u'),repmat('\itU\rm_0',n,1)],-1)%图例
th=(0:30:330)*pi/180;                  %角度向量
x=r0*cos(th);                          %电场线终点的x坐标
y=r0*sin(th);                          %电场线终点的y坐标
o=zeros(size(th));                     %电场线起点坐标
hold on                                %保持图像
quiver(o,o,x,y,0,'LineWidth',2)        %画射线
plot(0,0,'o')                          %画点电荷
title('点电荷的电场线和等势线','FontSize',fs)%显示标题
xlabel('\itx/r\rm_0','FontSize',fs)    %显示x坐标
ylabel('\ity/r\rm_0','FontSize',fs)    %显示y坐标
utxt='电势单位\itU\rm_0=\itkQ/r\rm_0'; %电势单位文本
text(-r0,-r0+0.5,utxt,'FontSize',fs)   %标记电势文本

另一种方法

程序

%单个点电荷的平面电场线与等势线
a=0.2;
k=9*10^9; %比例常数
q=1.6*10^(-19); %元电荷电量
r0=0.1; %电场线起点半径
theta=linspace(0,2*pi,13);
[x,y]=pol2cart(theta,a);
x=[x;0.05*x];
y=[y;0.05*y];
quiver(x,y,0.5*x,0.5*y)
plot(x,y)
hold on
u=k*q/r0; 
u1=linspace(1,3,7)*u; 
x=linspace(-0.1,0.1,100);
[X,Y]=meshgrid(x);
r1=sqrt(X.^2+Y.^2);
U=k.*q./r1; 
contour(X,Y,U,u1);

截图

发布时间：2017/11/24 下午1:29:25  阅读次数：8995