点电荷的电场线和等势线
解析
根据库仑定律,一试验电荷q0与点电荷Q相距为r时,受到的静电力为
\[F = \frac{{kQ{q_0}}}{{{r^2}}}\]
其中k是静电力常量,k = 9×109N·m2/C2。根据电场强度的定义,点电荷Q在r处产生的电场强度大小为
\[E = \frac{F}{{{q_0}}} = \frac{{kQ}}{{{r^2}}}\]
可见:点电荷的带电量Q越大,在周围空间产生的场强越大;场强与距离的平方成反比。如果Q是正电荷,场强方向沿着径向向外;如果Q是负电荷,场强方向沿着径向向内。
以无穷远处为电势零点,取一条从r到无穷远处的电场线为积分路径,点电荷在r处的电势为
\[U = \int_0^\infty {{\bf{E}} \cdot d{\bf{s}} = } \int_0^\infty {Edr = } \int_0^\infty {\frac{{kQ}}{{{r^2}}}dr = } \frac{{kQ}}{r}\]
可见:点电荷的电势与距离成反比。
图示
点电荷的电场线是以点电荷为端点的射线。对于正的点电荷,射线从点电荷射向四周;对于负的点电荷,射线从四周射向点电荷。在点电荷的平面上,点电荷的等势线是以点电荷为中心的圆,相邻两个等势线之间的电势差应该相等。不论是正电荷还是负电荷,场点离电荷距离越近,电场线越密,等势线也越密,场强越大。
算法
为了计算数值,取某一点的距离r0作为参考距离,也就是距离的单位,则电场强度大小可表示为
\[E = \frac{{kQ}}{{r_0^2{{(r/{r_0})}^2}}} = \frac{{{E_0}}}{{r{*^2}}}\]
其中,r*=r/r0,是无量纲的距离或约化距离;E0=kQ/r02是r0处的场强大小。取E0为场强单位,E/E0就是无量纲的场强或约化场强。显然:点电荷的无量纲场强E/E0与无量纲的距离的平方成反比。
电势可表示为
\[U = \frac{{kQ}}{{{r_0}{{(r/{r_0})}^2}}} = \frac{{{U_0}}}{{r*}}\]
其中,U0=kQ/r0,是r0处的电势。取U0为电势单位,U/U0是无量纲的电势或约化电势,与无量纲的距离成反比。
等势线通常用等值线指令contour绘制,由于点电荷的等势线是同心圆,也可用矩阵画线法绘制。由于点电荷的电场线是射线,所以用箭杆指令quiver绘制比较简单。
程序
%点电荷的电场强度和电势 clear %清除变量 u=0.5:0.5:3.5; %等势线的电势 n=length(u); %等势面的个数 r=1./u; %距离向量 th=linspace(0,2*pi); %角度向量 X=cos(th)'*r; %等势线的x坐标 Y=sin(th)'*r; %等势线的y坐标 figure %创建图形窗口 plot(X,Y,'LineWidth',2) %画圆 axis equal %使坐标间隔相同 grid on %加网格 legend([num2str(u'),repmat('\itU\rm_0',n,1)],-1)%图例 th=(0:30:330)*pi/180; %角度向量 x=r0*cos(th); %电场线终点的x坐标 y=r0*sin(th); %电场线终点的y坐标 o=zeros(size(th)); %电场线起点坐标 hold on %保持图像 quiver(o,o,x,y,0,'LineWidth',2) %画射线 plot(0,0,'o') %画点电荷 title('点电荷的电场线和等势线','FontSize',fs)%显示标题 xlabel('\itx/r\rm_0','FontSize',fs) %显示x坐标 ylabel('\ity/r\rm_0','FontSize',fs) %显示y坐标 utxt='电势单位\itU\rm_0=\itkQ/r\rm_0'; %电势单位文本 text(-r0,-r0+0.5,utxt,'FontSize',fs) %标记电势文本
另一种方法
程序
%单个点电荷的平面电场线与等势线 a=0.2; k=9*10^9; %比例常数 q=1.6*10^(-19); %元电荷电量 r0=0.1; %电场线起点半径 theta=linspace(0,2*pi,13); [x,y]=pol2cart(theta,a); x=[x;0.05*x]; y=[y;0.05*y]; quiver(x,y,0.5*x,0.5*y) plot(x,y) hold on u=k*q/r0; u1=linspace(1,3,7)*u; x=linspace(-0.1,0.1,100); [X,Y]=meshgrid(x); r1=sqrt(X.^2+Y.^2); U=k.*q./r1; contour(X,Y,U,u1);
截图
文件下载(已下载 1565 次)发布时间:2017/11/24 下午1:29:25 阅读次数:8791