第五章 5 向心加速度
思考与讨论
我们已经知道,如果物体不受力,它将处于静止状态或做匀速直线运动。我们还知道,力的作用效果之一是改变物体的运动状态,即改变物体速度的大小或(和)方向。所以,沿着圆周运动的物体一定受力。
那么,做匀速圆周运动的物体,它所受的力沿什么方向?考虑几个实例也许会受到启发。
例1:地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动。地球受到什么力的作用?这个力可能沿什么方向(图5.5-1)?
例2:光滑桌面上一个小球由于细线的牵引,绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。小球受到几个力的作用?这几个力的合力沿什么方向(图5.5-2)?
同学们还可以仿此分析几个类似的匀速圆周运动实例。
本节研究的是物体做匀速圆周运动时的加速度,分析物体的受力情况有助于了解加速度的方向。
圆周运动,即使是匀速圆周运动,由于运动方向在断改变,所以也是变速运动。既然是变速运动,就会有加速度。那么,物体的加速度指向哪个方向?在前面的实例中,物体所受的合力指向圆心,所以物体的加速度也指向圆心。
牛顿第二定律告诉我们,物体加速度的方向总与它受力的方向一致。
这个关系不仅对直线运动正确,对曲线运动同样正确。
在理论上,分析速度矢量方向的变化,可以得出普遍性的结论:任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心。这个加速度叫做向心加速度(centripetal acceleration)。
通过进一步的分析,可以由a=\(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\)导出向心加速度大小的表达式
an=\(\frac{{{v^2}}}{r}\)
把v=ωr代入,能够得到用角速度表示的向心加速度大小的表达式
an=ω2r
做一做
探究向心加速度大小的表达式
我们尝试得出向心加速度大小的表达式,出发点是设法用v、r等物理量表示a=\(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\)中的∆v。
在图5.5-3中,vA、vB是时间间隔∆t前后的速度(图甲)。为了求出二者之差∆v=vB-vA,我们移动vA,把它们的起点放在一起(图乙、图丙)。由于只有在∆t很小的时候\(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\)才表示物体的加速度,所以实际上A、B两点相距很近(图丁)。找出三角形中几个量的关系就能求得∆v。
运算过程中要注意以下几点。
①于是匀速圆周运动,所以vA和vB的大小是一样的,可以用同一个字母v表示。
②vA和vB的大小实际上就是图5.5-3中vA和vB的长度,解决几个物理量的关系,实际是找它们的几何关系。这也是物理学中常用的研究方法。
③如图5.5-4,当角θ用弧度表示时,弧长QP可以表示为QP=rθ。当θ很小很小时,弧长与弦长没什么区别,所以此式也表示弦长。这个关系可以用来计算矢量∆v的长度。
试一试!
思考与讨论
从公式an=\(\frac{{{v^2}}}{r}\)看,向心加速度与圆周运动的半径成反比;从公式an=ω2r看,向心加速度与半径成正比。这两个结论是否矛盾?请从以下两个角度讨论这个问题。
(1)在y=kx这个关系式中,说y与x成正比,前提是什么?
(2)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样,它们的边缘有三个点A、B、C。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”,哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”?做出解释。
问题与练习
1.甲、乙两物体都在做匀速圆周运动,关于以下四种情况各举一个实际的例子。在这四种情况下哪个物体的向心加速度比较大?
A.它们的线速度相等,乙的半径小。
B.它们的周期相等,甲的半径大。
C.它们的角速度相等,乙的线速度小。
D.它们的线速度相等,在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大。
2.月球绕地球公转的轨道接近圆,半径为3.84×105 km,公转周期是27.3天。月球绕地球公转的向心加速度是多大?
3.一部机器由电动机带动,机器上的皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍(图5.5-6),皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为0.10 m/s2。
(1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速比n1∶n2是多少?
(2)机器皮带轮上A点到转轴的距离为轮半径的一半,A点的向心加速度是多少?
(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度是多少?
4.A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动,在相同的时间内,它们通过的路程之比是4∶3,运动方向改变的角度之比是3∶2,它们的向心加速度之比是多少?
文件下载(已下载 159 次)发布时间:2016/12/8 上午11:05:15 阅读次数:1380