第十五章 A 万有引力和第一宇宙速度

在基础型物理课程中，我们已学习了宇宙的大尺度结构和恒星演化的过程。按质量的大小，恒星最终有可能会演变成白矮星、中子星，或者是黑洞等。

在初步知道整体宇宙的一些基本概况后，通过本章的学习，我们将知道宇宙在不断地膨胀、宇宙大爆炸学说，知道宇宙演化的过程，了解黑洞的形成条件和它的一些特征和性质；最后还要知道什么是暗物质，科学家是如何论证宇宙中存在着暗物质的，从中我们还能感悟到人类探索宇宙奥秘的曲折历程。

除此之外，我们还将学会应用万有引力定律去解决一些简单的天体运动问题，感知科学家是怎样利用天文观测数据和资料来探索宇宙奥秘的，提高我们自己观察、思考和解决问题的能力。

在17世纪初，开普勒根据行星运动的轨道、周期和运动的速率，总结出三条行星运动定律，运用它可以很好地诠释行星是如何运动的。但是为什么行星不按照惯性做匀速直线运动，却要围着太阳旋转呢？17世纪的科学家们为了回答这个问题，提出了许多不同的看法，有人认为，行星围绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，其中胡克（1635-1723，图15-1）等人还猜想到引力的大小与行星到太阳距离的平方成反比！可惜的是他们却没有能够从理论上证明这个猜想，直到牛顿才彻底解决了这个问题。

在基础型物理课程中，我们已学习过万有引力定律，不过，从上述情景看，为了更好地运用它去解决一些实际问题，有必要进一步地知道，建立万有引力定律的过程，尤其是牛顿等科学家们采用的解决问题的基本思路和基本方法。

一、牛顿对天体运动的分析

在基础型物理课程中，说到牛顿看到了苹果从树上掉在地上，产|生了灵感促使他建立了万有引力定律。然而，在科学探索的真实途径中，建立该定律的整个过程是既漫长而又艰巨的。那么，究竟牛顿是怎样来论证物体之间的引力关系的呢？

有关资料表明，早在1665至1666年期间，对丹麦天文学家第谷（1546-1601）、德国科学家开普勒（1571-1630）等观测天体运动资料分析后，牛顿已深信太阳对行星是有引力的，并开始接受了胡克等人的猜想，特别是在1680年，当时胡克还给牛顿写了一封信，进一步强调了“吸引力与两中心距离的平方成反比”。可是，时任英国皇家学会会长的胡克，尽管与真理近在咫尺，仍然没能得出万有引力定律。最终，牛顿凭藉着坚实的数学功底和坚忍不拔的精神，使该研究取得了突破，他先将胡克等人的猜想写成数学表达式为

F∝$\frac{1}{R^2}$

牛顿认为既然天体之间存在着引力，就有理由使我们相信，引力在物体之间应是普遍存在的，而地球对物体的引力，就是地球上物体下落的原因。已知地球上一切物体都以相同的加速度下落，而与它们的质量无关，按照牛顿第二定律有F＝ma，或者又可写成g＝$\frac{F}{m}$。按照以上分析，对不同的物体都要求g保持不变，必须要求

F∝m，

将以上两式一并考虑，引力就有如下关系式：

F∝$\frac{m}{R^2}$。

按照此式，地球对月亮的引力可写成

F∝$\frac{m_{月}}{R^2}$。

由牛顿第三定律可以知道这个力F，应和月球作用于地球的引力大小相等，方向相反，则月球作用于地球的引力又应正比于地球的质量m_地，因此有

F∝$\frac{m_{地}}{R^2}$。

再将上面两式一并考虑，月亮和地球之间的引力既正比于月球的质量，也正比于地球的质量，由此可得

F∝$\frac{m_{月}{m}_{地}}{R^2}$。

从1684到1685年间，牛顿在剑桥作了一系列名为“论天体运动”的学术讲座，多次论述了引力定律的普遍性，他指出了宇宙间一切物体，无论是天上的还是地上的，都无一例外地遵守万有引力定律，即

F＝$\frac{G{m}_1{m}_2}{R^2}$，

其中G为引力常数，m₁和m₂分别为两物体的质量，对于相距很远可以看作是质点的物体，R就是指两个质点间的距离，对于均匀的球体，就是两个球心间的距离。

大家谈

历时20年之久，以著名的“月地验证”，牛顿建立了万有引力定律。谈谈你从中学到了什么。

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由当代实验测量可知

G＝6.67×10^-11N·m²·kg^-2。

G的数值就是两个质量为1kg、可以看成质点的物体相距1m时，它们之间万有引力的大小。

示例

若某一行星绕恒星的运动可近似地看作匀速圆周运动。已知行星运动的半径为R、周期为T，求该恒星的质量。

【分析】假设M是某一天体的质量，m是它的一个行星（或卫星）的质量，R是它们之间的距离，a_n是行星（或卫星）的向心加速度，T是它绕天体运动的周期，那么天体对它的引力就是行星（或卫星）围绕天体运动的向心力，根据牛顿第二定律，引力应满足下面的关系：

F＝$\frac{GMm}{R^2}$＝ma_n＝$\frac{4{\pi }^{2}mR}{T^2}$

由此可得

M＝$\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{T}^2}$。

【解答】根据上式只要测出R和T，就可算出天体质量M的大小，例如，地球绕太阳公转轨道的半径是1.49×10¹¹m，公转的周期是3.16×10⁷s，取G＝6.67×10^-11N·m²·kg^-2，代入上式即可得太阳的质量为

M＝1.96×10³⁰kg。

【讨论】海王星的发现是历史上应用万有引力定律取得成功的一个范例，1781年发现了太阳系第七个行星——天王星，它的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有较大偏离，当时有人就猜测，在它轨道外侧可能还有一个未被发现的行星，它对天王星的引力作用产生了上述偏离。1846年9月23日终于在考虑了该作用后，重新计算出的行星轨道附近发现了它，即太阳系第八个行星——海王星。

用同样的方法，在1930年3月14日发现了太阳系中原来叫做冥王星的小行星。

海王星等的发现进一步证实了万有引力定律的正确性，显示了它对研究天体运动的重要意义。

二、第一宇宙速度

在拓展型课程Ⅰ（第一册）第五章中我们已知道，当年牛顿设想，如果在地球表面高处水平抛出一个物体，只要抛出物体的速度足够大，使物体运动的曲线的曲率恰好与地球表面的曲率相同，则物体就可能像月球那样，做圆周运动，永远落不到地面上，成为一个人造地球卫星。

那么物体的速度究竟要多大，才能成为一个人造地球卫星呢？

计算人造地球卫星的速度，需要运用牛顿运动定律和万有引力定律。

设物体的质量为m，地球质量为M，物体沿地球表面做圆周运动，圆周的半径就看作为地球的半径R，则由牛顿第二定律有

F＝ma＝$\frac{m{v}^2}{R}$。

根据万有引力定律，有

F＝$\frac{GMm}{R^2}$，

联立两式即得

v＝$\sqrt{\frac{GM}{R}}$

将地球质量M＝5.98×10²⁴kg，地球半径R≈6.4×10⁶m，万有引力恒量G＝6.67×10^-11N·m²·kg^-2代入上式，可计算出

v＝7.9×10³m/s。

这就是物体环绕地球运动不掉到地面上所要达到的最低速度，我们把这个速度叫做第一宇宙速度，也叫做环绕速度。

*三、第二和第三宇宙速度

如果人造卫星进入轨道的水平速度大于7.9×10³m/s，而小于11.2×10³m/s，它绕地球的轨道还会是圆吗？

计算表明，此时人造卫星的轨道已不是圆，而是椭圆，因为此时线速度大了，但地球对卫星的引力，也就是向心力并不会增大，它不足以把卫星束缚在圆形轨道上，而使卫星运行的轨道变成椭圆。当人造卫星的速度大于11.2×10³m/s时，人造卫星就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的物体，所以我们又把这个速度叫做第二宇宙速度，也叫做脱离速度。当速度大于16.7×10³m/s时，物体可挣脱太阳的束缚，飞到太阳系以外的空问去，我们则把这个速度叫做第三宇宙速度，也叫逃逸速度。

发布时间：2016/3/14 下午9:46:47  阅读次数：1494