第五章 B 圆周运动的应用

圆周运动在生产和生活中有广泛的应用，例如，常见的公共娱乐设施“过山车”，它以其惊险、刺激吸引着广大青少年。图5-9所示的过山车，叫做“钢龙2000”，于2000年2月在日本首都东京以西的三重县长岛的温泉娱乐场正式开始启用。它全程行驶2479m，轨道顶峰高97m，时速可达153km。全程约耗时210s。坐在这个过山车里，人们沿着大转盘的轨道可以上升到顶峰，然后再顺着与水平面成68°角的铁轨俯冲下来，据称这是世界上最惊险、最刺激的过山车，也是迄今为止世界上最高、最快、最长、最陡的过山车，已被收进世界吉尼斯纪录大全一书。图5-10是有两个圆周轨道的过山车，游客要连续两次经历惊险的场面，实际上，圆周运动的应用远不止娱乐设施，下面我们将学习应用圆周运动的有关实例。

一、牛顿对月球运动的分析

月球不断围绕地球运动，为什么没有落到地球上？这个习以为常的现象促使牛顿最终发现了万有引力定律.

牛顿对物体的下落与月球的运动进行了比较。如果水平抛出一个物体，它将会沿一条不断向下弯的曲线运动，最后落在地面上，那么，同样在地球上空的月球为什么不掉向地球呢？牛顿对物体的运动作进一步的设想：

如果抛物体的为更大些，那么物体的速度就会更大，就能被抛得更远些，更远些，运动曲线向下弯曲的程度也更小些。只要抛物体的力足够大，使物体运动曲线的曲率恰好与地球表面的曲率相同，则物体就永远落不到地面上，图5-11为牛顿的抛体运动图。牛顿认为，月球可以比作一抛体，如果月球没有受到地球引力的作用，则应沿直线运动，正是由于地球引力的作用，使月球离开直线、不断偏向地球，虽然月球的速度大小没有变，但它的速度方向却不断改变。其运动曲线的弯曲程度正好与地球表面的弯曲程度相同，因此月球永远也掉不到地球上。图5-12为月球在地球引力作用下运动示意图。

大家谈

2002年8月25日，某地游乐场的过山车在滑到圆形轨道的最高点时，突然失去速度，过山车上的游客们惊恐地发出更高的尖叫声，一旁观看的游客都惊呆了……

从理论上分析，如果过山车在最高点失去速度，将会发生什么现象？你建议在技术上怎样采取措施，以保证游客的安全？

二、气体分子速度大小的测定

1920年科学家史特恩应用圆周运动规律测定了分子速度的大小。

史特恩实验所用装置如图5-13所示。A、B为一双层共轴圆筒形容器，外筒半径为R，内筒半径为r，可同时绕其共同轴以同一角速度ω高速旋转，其内部高度抽空，沿共同轴装有一根镀银的铂丝K，在铂丝上通电使其加热，银蒸发成气体，其中一部分分子穿过A筒的狭缝a射出达到B筒的内表面，由于分子由内筒达到外筒需要一定时间，若容器不动，这些分子将到达外筒内壁上的b点，若容器转动，这些分子到达外筒内壁时，b点已转到bʹ点。

设待测分子速度大小为v，则分子由内筒到外筒所需时间

t＝$\frac{R-r}{v}$

在此时间内，b点和bʹ点间的弧长     s＝ωtR，

由上两式可得       v＝$\frac{(R-r)R\omega }{s}$

式中右边各量都可以直接测量，因此也就可以知道分子速度大小。

示例1

图5-14中M，N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，小筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线O（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄缝S（与筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v₁和v₂的微粒，从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N后就附着在N筒上，如果R、v₁和v₂都不变，而ω取某合适的值，则以下结论正确的是（    ）

（A）有可能使微粒落在N筒上的位置都在口处一条与S缝平行的窄条上

（B）有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处（如b处）一条与S缝平行的窄条上

（C）有可能使微粒落在N简上的位置分别在某两处（如b处和c处）与S缝平行的窄条上

（D）只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒

【分析】当v₁，v₂、ω都不变时，粒子从M筒到达N筒和筒转一周所用的时间都是确定的，设它们分别用t₁、t₂和T表示，粒子落在什么地方取决于这三个时间的关系。如果T恰好是t₁和t₂的公约数，那么两种不同速度大小的粒子都落在同一点以处；如果和的余数相等且不为零，两种不同速度大小的粒子将落在a处之外的某一b处；如果和的余数不相等，则两种不同速度大小的粒子落在两处，由于落点离以处的弧长分别为Rωt₁＝$\frac{R^2\omega }{v_1}$和Rωt₂＝$\frac{R^2\omega }{v_2}$都有确定的值，因此在圆筒内壁上不可能到处是粒子。

【解答】正确答案是A、B、C。

历史回眸

分子速度的大小可以用多种方法来直接测定。图5-15表示蔡特曼（Zartman）对上述史特恩（Stern）测定分子速度大小方法的改进，在小炉O中，金属银熔化并蒸发。银原子束通过小炉的小孔逸出，又通过狭缝S₁和S₂进入抽空区域。圆筒C可以绕轴A以一定的角速度旋转。由银原子落在玻璃板G上的位置、圆筒C旋转的角速度、圆筒C的直径就可得出金属银的速度大小。

图5-15是蔡特曼和柯氏（Ko）于1930～1934年测定分子速度大小的装置简图。

三、过山车

过山车又叫做惯性车，在本节导图中已作了介绍。它的整个运动过程十分复杂，有直线运动，又有曲线运动，有加速运动，又有减速运动，有的过山车一边前进，还一边左右摇摆．但是它最主要的一段运动过程还是竖直平面内的圆周运动。图5-16表示过山车的基本运动过程。

我们研究过山车的整体运动，可以把它看成为一个质点，用小球M表示。过山车在启动时，先由动力装置牵引到轨道的最高点A，释放后无初速下滑，然后再冲过圆轨道的最高点B，沿着轨道滑行到终点。整个过程中过山车伴随着游客的尖叫声高速行驶，刺激、紧张，极富挑战性。

自主活动

请你利用节假日到正在运行的过山车旁，观察情况，根据过山车的大致长度，并用手表估测过山车经过最高点时的速度。

示例2

设图5-16中圆周轨道半径R，一切摩擦不计，为保证过山车能沿圆轨道安全经过最高点B，过山车在B点的速度至少是多少？为使过山车在B点达到该速度，A点的高度应是多少？

【分析】过山车经过B点时速度越大，所需的向心力越大，车轮与轨道贴得越紧，越是不会掉下来，也就越是安全。如果过山车经过B点时速度较小，车轮与轨道间的正压力也较小，当正压力恰好为零时，过山车的速度就是最低的安全速度，此时向心力全部由重力提供，如果速度再减小，过山车就要脱离轨道沿曲线掉下来。

【解答】设过山车的质量为m。

由向心力公式       mg＝m$\frac{v^2}{R}$，

得v＝$\sqrt{Rg}$，这就是不采取任何安全措施时，理论上过山车经过B点时的最低安全速度。

由机械能守恒定律，过山车在A点的势能应等于过山车在B点的动能加势能。

mgH＝mg2R＋$\frac{1}{2}$mv²，所以H＝$\frac{5}{2}$R。

大家谈

在图5-10所示的过山车中有两个圆环，你认为，两圆环的半径是否一样大，为什么？

四、车辆过桥和车辆转弯

一般的桥面都向上拱起，我们叫做“凸型桥”，凸型桥的中央段可看成一段圆弧。如图5-17所示，汽车通过“凸型桥”的最高点时，向心力方向应该竖直向下，向心力F_向（图中未画出）就是汽车的重力Mg和桥面的支持力F_N的合力，即F_向＝Mg－F_N，可得F_N＝Mg－F_向，说明汽车通过“凸型桥”时，桥面对汽车的支持力小于汽车的重力。反之，当汽车通过“凹型桥”时，如图5-18所示，向心力方向应该竖直向上，可得F_N＝Mg＋F_向，说明汽车通过“凹型桥”时，桥面对汽车的支持力大于汽车的重力。当然，如果汽车停在桥面上，向心力为零，无论是“凸型桥”或“凹型桥”，桥面对汽车的支持力都等于汽车的重力。

桥面对车辆支持力的大小与车重的关系还可以用DIS实验来演示，用图5-19所示的实验装置可以验证汽车对凸型桥的压力变化，其方法是将图中的光电门传感器与力传感器接到数据采集器的输入口，点击实验菜单中“曲型桥面的受力分析”，显示屏上将显示出小球过桥时的速度和力的数值。

实验时，先将小球静止放置在桥面上，显示小球的重力。让小球以某一速度进入桥面时，光电门传感器和力传感器将测得小球的速度和桥面所受的压力。让小球以不同速度经过桥面，可得出一组实验数据。发现此时压力小于“静止压力”，即验证了小车对桥面压力小于车的重力。

自主活动

把一个小钢珠或玻璃球放在瓷碗中轻轻沿圆周摇晃瓷碗，小钢珠或玻璃球会渐渐上升，并贴着瓷碗的内表面做圆周运动，试分析这是什么原因。

下面再讨论汽车转弯的问题。无轨道车辆在水平地面上转弯时，依靠地面与车轮间的摩擦提供向心力。如果车速较大，或转弯半径较小，或天雨路面湿滑，摩擦力不足以提供向心力，车辆就要滑出路面发生事故。有轨车辆在水平轨道上转弯时，依靠轨道对车轮缘的水平作用产生向心力，但长期行驶对车轮和轨道的磨损都较大。通常使轨道平面或路面与水平面保持一个倾角，以提供向心力。图5-20中表示火车的外轨高于内轨时，火车重力G与铁轨支持力F_N的合力F，就提供了使火车转弯的向心力。实际上在车速较快，或转弯半径小的路段，如赛车场、山区公路都把路面筑成倾斜，使路面的支持力与车辆重力的合力提供向心力。

发布时间：2015/11/12 下午3:23:20  阅读次数：3126