第二讲A 动能定理

在基础型课程中我们已经学习了机械功和机械能，并且知道了功是能量变化的量度。力对物体做多少功，物体就增加多少机械能；物体克服阻力做多少功，物体就减少多少机械能，换句话说物体动能和势能的变化可以用力做多少功来衡量。

在本讲中将要得出物体在几个力共同作用下力所做的功与功能变化的定量关系，这个关系叫做动能定理。并将运用动能定理解决一些实际问题，我们会发现用动能定理解题时有许多优点。

动能定理不仅在力学中有用，在高中物理拓展型课程其他内容的学习中也有重要的作用，如它在讨论电场、磁场和电磁感应等现象中也都适用。

大家知道质量巨大的高速运动的物体具有很大的动能。1998年在上海虹桥机场，一架大型客机满载着旅客降落时发现起落架无法放下，只能紧急迫降，这是非常危险的。由于不能使用轮子，飞机降落对机身会与跑道直接摩擦，飞机巨大的动能将转化为内能，使温度急剧升高而引起爆炸。在这危急的关头，地面指挥人员做好了充分的准备，消防车喷出了一条30多米宽、500多米长的泡沫带，飞机着地时，利用发动机“反喷”，打开减速板等措施减小飞机的动能。只见机身在地面划出一道火星，并猛烈抖动。这时几十辆消防车同时向飞机喷射泡沫液，飞机滑行了300多米后停住了，没有起火爆炸，最终化险为夷。

图2-1是2001年一架意大利客机在罗马机场采用类似的方式紧急着陆成功的照片。 

2001年3月，质量为117t的“和平号”空间站完成了使命，重返地面，它的动能比飞机大得多。为了安全，只能让它降落到预定的海域。它破裂后的碎片落入南太平洋时仍有340m/s的速度。如果它砸向地面建筑物，岂不成了超级炸弹！

在基础型课程中，我们已经初步了解了做功与物体动能变化的关系，但是要理解上面这些实际问题，还需要进一步讨论做功与动能变化的定量关系。这就是将要学习的动能定理。

一、动能定理

我们已经知道，功是能量变化的量度，力对物体做功可使物体的动能增加，物体克服力做功使物体的动能减少，这实际上已经涉及到力做功与物体动能变化的关系。下面我们将根据牛顿第二定律和运动学公式来得出动能定理的表达式。

如图所示，恒定的水平拉力F₁拉着一个质量为m的物体向右运动，物体受到的摩擦力为F₂，开始时速度为v₁，经位移s后速度达到v₂。

能不能根据牛顿第二定律得出力做功与物体动能变化的关系呢？

根据牛顿第二定律应有

F₁－F₂＝ma

由运动学公式可知：a＝$\frac{v_2^2-v_1^2}{2s}$，代入上式后得到F₁－F₂＝m（$\frac{v_2^2-v_1^2}{2s}$），即

（F₁－F₂）s＝$\frac{1}{2}$mv₂²－$\frac{1}{2}$mv₁²，

此式可写作

F_合s＝E_k2－E_k1，或W_合＝ΔE_k。

这就是说合外力对物体做的功等于该物体动能的增量。这个规律叫做动能定理。合外力对物体做正功，物体动能的增量为正值；合外力对物体做负功，物体动能的增量为负值，这里所说的外力可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其他力。

实际上物体受力可以有先有后（如F₁与F₂可以不是同时作用的），在此情形动能定理可以写作

W₁＋W₂＋…＝ΔE_k

这就是说动能定理可表述为外力做功的代数和等于物体动能的增量。

【示例】某大型客机，满载乘客后总质量为1.27×10⁵kg，从静止起在水平跑道上加速滑行准备起飞，在这过程中飞机发动机的总推力为4.35×10⁵N，滑行时受到的平均阻力是飞机自重的0.02倍，在跑道上滑行了1100m之后起飞，求飞机起飞时的速度。（g＝10m/s²）

【分析】在运用动能定理解题时，受力分析仍然是重要的第一步，飞机在滑行时受到重力G（G＝mg），推力F，支持力F_N（F_N＝G）和阻力F_f（F_f＝0.02G）的作用。从做功的角度来分析，推力F与位移s方向一致，做正功，阻力与位移方向相反，做负功。重力和支持力则不做功。设飞机质量为m，末速度为v，初动能为零，末动能为$\frac{1}{2}$mv²，于是可以直接运用动能定理求解。

【解答】根据动能定理，可得

（F₁－F_f）s＝$\frac{1}{2}$mv²－0，

$$\begin{array}{l}v=\sqrt{\frac{2s(F-F_f)}{m}}=\sqrt{\frac{2s(F-0.02mg)}{m}}\\ =\sqrt{\frac{2\times 1100\times (4.35\times {10}^5-0.02\times 1.27\times {10}^5\times 10)}{1.27\times {10}^5}}\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

≈84 m/s.

即这架客机起飞时的速度约为84 m/s。

点击

本题也可以用牛顿运动定律结合运动学公式来解。

可以看出在不涉及求加速度和时间的情况下，运用动能定理解题，显得简单、方便。

自主活动

学习了动能定理之后，你能回答下面的问题吗？

1．质量为20g的子弹从枪口射出时速度为900 m/s，发射时火药产生的气体对子弹做多少功？

2．重20N的物体在重力作用下，下降2 m高度，可获得多大的动能（阻力不计）？若物体的末速度是5m/s，那么它克服空气阻力做了多少功？

二、动能定理的实验验证

前面我们已经用牛顿第二定律结合运动学公式得出了在恒力作用下的运动定律，那么在变力做功情况下动能定理是否成立呢？

让我们用DIS实验来验证一下。

【DIS实验】验证变力做功情况下的动能定理

【实验装置】

如图2-4所示，在一辆小车上安装两挡光片a、b和和位移传感器的发射端。光电门传感器、位移传感器接受端、力传感器安装在固定的导轨上，将两块磁铁分别安装于力传感器受力端和小车对应位置，且同性磁极相对，挡光片宽度相同，其数据需输入计算机。

【实验过程】

让小车向力传感器方向运动，当挡光片a经过光电门传感器时记录下此时小车速度v₀，同时触发力传感器以及位移传感器工作，小车受磁斥力作用，克服阻力（变力）做功，力传感器所记录的力为小车所受力的反作用力，与小车所受的力大小相等。当挡光片b经过光电门时，再次记录下此时小车速度v_t，同时力传感器及位移传感器停止工作，便可得到这一过程的F-s图象，计算出图线下面积即为此过程变力所做的功W；测出小车质量输入计算机，便可计算出小车初、末动能从而得出小车动能的变化量：ΔE_k＝$\frac{1}{2}$mv_t²－$\frac{1}{2}$mv₀²。将ΔE_k与变力所做的功进行比较，便可验证变力做功的动能定理。

由图2-5的计算机界面显示的数据可知，磁体相互作用时变力所做的功是0.0044J，而小车动能的变化是0.0040J，在误差允许的范围内两者是相等的。

通过上述实验及其他研究表明，动能定理不但适用于恒力做功情况，也适用于变力做功情况；既适用于直线运动情况也适用于曲线运动情况；既适用于机械力，也适用电场力、安培力等非机械力做功的情况，它是一个普遍适用的规律。

发布时间：2015/9/21 下午10:16:23  阅读次数：1313