A 力矩

“力矩”是物理学中的一个重要概念，它能描述力对物体产生转动作用的效果，物体的转动运动以及物体的转动平衡问题是力学中的一类重要问题，由于这类问题比较复杂，在本课程中只讨论有固定转动轴的物体的平衡问题。初中物理课程中介绍的杠杆平衡原理实际上是本章中将要讨论的“力矩平衡条件”的一种简单特例。

图2-1是可能勾起你美好回忆的跷跷板游戏；图2-2显示了起重机吊装大型物件的情景；图2-3中则可以看到安装在地球上空约400km处太空站上的机械臂。

从物理学上来看，无论是跷跷板还是吊装物件的起重机、机械臂等，在这里都不能简单地将它们看作质点，它们的运动包含了转动。

当一个物体从静止开始转动或者它的转动速度发生改变时，我们就说该物体的转动状态发生了变化。如果物体的转动状态不变，例如处于静止状态或者匀速转动状态，我们就说该物体处在转动平衡状态。本章主要讨论有固定转动轴的物体平衡时受力作用的规律性，跷跷板、门、砂轮以及电动机转子、光盘等，从力学上来说都可看成有固定转动轴的物体，当它们工作时，这些物体上的各点都将做圆周运动，其圆心落在同一根固定的转动轴上。

一、力对物体的转动作用

为了改变物体的转动状态，例如从静止开始转动，要施加力。那么所施加的力对物体转动的作用效果与哪些因素有关呢？

日常经验告诉我们，往离门轴不远处推门，要用较大的力；在离门轴较远处推门，只要用较小的力。同样，如果用手直接拧螺帽，很难将它拧紧；用扳手来拧，就容易拧紧。可见，力对物体转动的作用效果不仅与力的大小有关，还与力的方向和作用点（相对于转动轴）的位置有关。因此，为了描述力对物体转动的作用效果，需要引进一个新的物理量，这个物理量能够综合反映力的大小、方向、作用点这三个要素对物体转动的作用效果。

大家谈

用大小不同的力，沿不同方向，在不同的地方推门。谈谈你的感受，以及由此所引起的思考。

二、力矩

为了反映力对物体转动的作用效果所要引进的新的物理量是什么呢？

这种新的物理量有两个：力臂和力矩。力的作用线与转动轴之间的距离称为力对转动轴的力臂。所谓力的作用线，是指作用力方向上的一条假想的直线。我们这里只研究力的作用线都是在同一个与转动轴相垂直的平面内的情况。如图2-4所示，杆AB可绕通过O点且垂直于纸面的轴自由转动。有两个力F₁和F₂作用在这根杆上，它们的作用线均在纸面内。力F₁与AB相垂直；F₂与AB间有一夹角。因此根据力臂的定义，F₁对转动轴O的力臂AO的长度为L₁；F₂对转动轴O的力臂OC的长度为L₂，可以看出，力臂实际上是一个取决于力的方向和作用点位置的物理量，与力的大小无关。

自主活动

指出图2-5中每个力（用带有箭头的有向线段表示）对转动轴O的力臂。

如果进一步考虑力的大小要素，便可引进一个能综合反映力的大小、方向、作用点这三个要素对物体转动作用效果的物理量——力矩。力F和力臂L的乘积称为力对转动轴的力矩。用M表示力矩，则有

M＝FL

力矩的单位由力的单位和力臂的单位决定。在国际单位制中，力的单位是牛（N），力臂的单位是米（m），因此力矩的单位是牛·米，符号是N·m。

力对改变物体转动状态的作用效果决定于它的力矩，力愈大，力臂愈大，力矩就愈大，因此它对物体转动作用的效果也就愈显著，力为零，力矩为零，当然不会使物体转动；力不为零，力臂为零，则力矩也为零，这个力也不会对物体产生转动作用。

大家谈

是否存在力不为零，但力矩为零的情况？试举例说明。

根据力臂的定义，在图2-6中力F对转动轴O的力臂为

L＝lsinθ，

其中θ为O与F的夹角；l为OB的长度，即转动轴O与力的作用点之间的距离，将此式代入上述力矩的定义式，可以发现力F对转动轴O的力矩也了表示为

M＝Fsinθ·l＝F₁l，

其中F₁是力F在垂直于OB方向上的分量。这个结果所包含的物理意义是，在一般情况下当力F的方向不与OB垂直，而成一任意夹角θ时，只有垂直于OB方向上的分力F₁＝Fsinθ才对杠杆的转动起作用。该分力对于转动轴O的力臂就是力的作用点与转动轴之间的距离OB，力矩就是F₁l，这正是上式结果；而平行于OB方向上的分力F₂＝Fcosθ对物体的转动不起作用，因为该分力的作用线通过转动轴O，它对于转动轴的力臂为零。因此在计算力矩时可采用两条途径：先求出力臂，再计算力矩；或者先对力进行正交分解（其中一个分力的作用线通过转动轴），再计算力矩。这两种计算力矩的方法是等价的。

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在力矩的定义中，关于力臂L的含义应当特别注意，物理学中常用“距离”二字，但应注意两点之间的距离、一个点与一条直线之间的距离，以及两条直线间的距离这三种距离含义的区别。

示例1

图2-7显示了用扳手拧螺帽的几种情景。在这些情景中，力的大小相同，均为30N。力的方向分别与板手柄垂直[图2 -7（a）、（b）]或成一夹角θ＝60°[图2-7（c）]。力的作用点与螺帽中心的距离O分别为12cm[图2-7（a）、（c）]和20cm[图27（c）]。求这些情况下F的力矩各是多少?

解答       设OA的长度为l，则图2-7（a）中F对O的力矩为

M₁＝FL＝Fl＝30×0.12N·m＝3.6N·m

图（b）中F对O的力矩为

M₂＝FL＝Fl＝30×0.20N·m＝6.0N·m

图（c）中F对O的力矩为

M₃＝FL＝Flsinθ＝30×0.12×sin60°N·m＝3.1N·m

讨论       已知力计算力矩的关键是求力臂，这里要注意的是，一般来说，力臂并不简单地等于转动轴上的O点与力的作用点之间的距离。从本例的结果中可以看出，当力的大小恒定时，力的作用效果取决于力臂，而力臂的大小则取决于力的方向（sinθ）和作用点相对于转动轴的位置（OA）。

示例2

汽缸中的高压燃气对活塞产生的推力通过曲柄连杆机构将活塞的平动转换为曲轴的转动，如图2-8（a）所示。为了能对曲轴产生60N·m的转动力矩，问：当曲柄处在如图所示的水平位置时，汽缸中的高温高压燃气对活塞的推力F应多大？假定该装置中，各部分的质量和摩擦力均可忽略不计。

分析       先根据题意和部件尺寸，作出受力分析图；找出对曲轴转动有用的分力；然后根据力矩定义求解。

如图2-8（b）所示，汽缸中的高温高压燃气对活塞的推力F可分解为F₁和F₂两个分力；而F₁在B点处又可分解为F₃和F₄，其中只有F₃才对曲轴绕O的转动起作用。

解答       考虑A点处力的分解，有F₁＝\(\frac{F}{{\cos \theta }}\)；考虑B点处力的分解，有F₃＝F₁cosθ，因此在本例所讨论的特殊情况下，简单地有F₃＝F。

F₃对于转动轴O的力矩为

M＝F₃l＝Fl

其中l为OB的长度。于是，可得

F＝\(\frac{M}{l}\)＝\(\frac{{60}}{{0.06}}\)N＝1000N

讨论       当OB与AB相垂直时，为了产生同样力矩，所需的推力比本例的结果大还是小？

本例中应用了力的分解方法计算力矩。关于力的分解可参考基础型物理课程的教材[见基础型课程《物理》高中一年级第一学期（试用本）第二章C节“力的分解”]。还可对图2-8（b）中A点处的力为什么如此分解进行讨论。

发布时间：2015/9/13 下午2:25:28  阅读次数：3573