六、克拉珀龙方程

摩尔气体恒量      上一节讲的气体状态方程

\(\frac{{pV}}{T}\)＝恒量

是一定质量的理想气体状态方程，其中的恒量跟气体的质量有关系。在体积和温度相同的情况下，气体的质量越多，气体的压强就越大，因而上式中的恒量就越大。自行车车胎里打进的空气越多，车胎胀得越硬，这是大家都知道的。

实验表明，上式中的恒量还跟气体的种类有关系。在体积和温度相同的情况下，质量相同的不同种类气体，它们的压强并不相同，因而上式中的恒量也不相同。

那么，怎样在一般情况下应用上式呢？我们先把上式用于一定量的各种气体，而且就限定为1摩尔。这是因为，在标准状态下，即p₀＝1标准大气压，T₀＝273K，1摩的任何气体的体积都是V₀＝22.4L，由此我们可以求得一个适用于l摩尔任何气体的恒量，叫做摩尔气体恒量，它通常用R来表示，即

\[R = \frac{{{p_0}{V_0}}}{{{T_0}}}\]

R的数值跟p，V，T的单位有关，在国际单位制中，p₀＝1.013×10⁵Pa = 1.013×10⁵N/m²，V₀＝22.4×10^-3m³/mol，T₀＝273K，代入上式得到

\[R = \frac{{1.013 \times {{10}^5} \times 22.4 \times {{10}^{ - 3}}}}{{273}} = 8.31{\rm{J/(mol}} \cdot {\rm{K)}}\]

对于1摩的理想气体，因为pV/T＝p₀V₀/T₀＝R，所以

pV＝RT。

这就是1摩的理想气体的状态方程，它对任何气体都适用。

摩尔气体恒量是热学中又一个重要常数。不仅在研究气体的热学性质中，而且在研究其他热现象中，它与阿伏伽德罗常数共同起着重要作用。

克拉珀龙方程      知道了1摩的理想气体的状态方程，我们不难得到任意质量的理想气体的状态方程。设有质量为m千克的某种理想气体，它的摩尔质量为M千克/摩，它的摩尔数n＝m/M摩，既然1摩的理想气体在标准状态下占有体积V₀（＝22.4升），那么n摩的理想气体在标准状态下占有的体积应为V₀ʹ＝nV₀。由理想气体的状态方程可得：

\[\begin{array}{l}\frac{{pV}}{T} = \frac{{{p_0}{V_0}^\prime }}{{{T_0}}}\\ = n\frac{{{p_0}{V_0}}}{{{T_0}}}\\ = nR\end{array}\]

由此得到                            pV＝nRT，

或                                       pV＝\(\frac{m}{M}\)RT。

这就是任意质量的理想气体的状态方程，又叫做克拉珀龙方程。只要温度不太低，压强不太大，这个方程对一切气体都适用。这个方程在实际中有广泛的应用，可以用来解决有关气体的各种问题。

【例题】容积为30L的瓶内装有氢气。假定在气焊过程中，温度保持27℃不变，当瓶内压强由4.9×10⁶Pa降为9.8×10⁵Pa时，共用去多少氢气？

用国际单位制来计算，把已知各个量的数值用相应的单位表示出来。p₁＝4.9×10⁶Pa；V＝30L＝30×10^-3m³；p₂＝9.8×10⁵Pa；T＝（27＋273）K＝300K；M＝2×10^-3kg/mol。

这个例题可以这样来解：根据克拉珀龙方程先计算瓶内原有氢气的质量m₁，再计算气体状态改变后瓶内氢气的质量m₂，二者之差m₁－m₂就是用去的氢气的质量。

气体的初状态和末状态的体积V和温度T保持不变，压强p和质量m发生了变化，压强由p₁变到p₂，质量由m₁变到m₂。

由p₁V＝\(\frac{{{m_1}}}{M}\)RT得到     m₁＝\(\frac{{{p_1}VM}}{{RT}}\)，

由p₂V＝\(\frac{{{m_2}}}{M}\)RT得到     m₂＝\(\frac{{{p_2}VM}}{{RT}}\)，

所以

m₁－m₂＝\(\frac{{VM}}{{RT}}\)（p₁－p₂）。

代入数值得到

m₁－m₂＝\(\frac{{30 \times {{10}^{ - 3}} \times 2 \times {{10}^{ - 3}}}}{{8.31 \times 300}}\)（4.9×10⁶－9.8×10⁵）kg＝9.4×10^-2kg。

如果就一定质量的气体来考虑气体的状态变化，即压强由p₁降低到p₂，而体积由V₁胀到V₂，能不能解出这个题目？你来试一下，并把两种解法加以比较。

利用理想气体状态方程解题，首先要明确我们所研究的对象是哪部分气体，以及气体状态发生变化时它的初状态和末状态，然后才能用状态方程来求解。计算时要注意物理量的单位。T必须采用热力学温度。根据p₁V₁/T₁＝p₂V₂/T₂解题时，公式两边的p和V的单位必须统一。根据pV＝mRT/M解题时，R的单位必须与p、V的单位相适应。

练习五

（1）如果压强用标准大气压作单位，体积用升作单位，试通过计算证明：R＝0.082标准大气压·升/（摩·开）。

（2）一个容器内装有氧气100g，压强为10标准大气压，温度为47℃，容器的容积是多少米³？

（3）1g的气体，温度为27℃、压强为600mmHg时，体积为5L。2g的同种气体，温度为127℃、压强为400mmHg时，体积是多少升？

（4）容积是10L的钢筒里盛有90标准大气压、－13℃的氧气，求钢筒中氧气的质量。巳知氧气在标准状态下的密度ρ₀＝1.43kg/m³。

（5）有0.612g的某种氮氧化合物，在293K和1标准大气压时体积为480cm³。这是一种什么气体？写出它的分子式。

（6）给汽车轮胎打气，使胎内空气达到所需的压强，冬天和夏天打入胎内的空气质量是否相同？冬天还是夏天打入的空气质量多？

（7）有两种不同种类的气体，它们的温度和体积都相同。如果它们的质量也相同，气体的压强是否相同？如果它们的质量不同，但摩尔数相同，气体的压强是否相同？

（8）理想气体的状态方程可写成pV/T＝C（恒量）。对于这个恒量C，下面哪种说法正确，哪种说法错误，并说明理由。

①对质量相同的任何气体，C都相同。

②对质量不同的同种气体，C都相同。

③对摩尔数不同的同种气体，C都相同。

④对摩尔数相同的任何气体，C都相同。

发布时间：2015/8/24 下午3:57:48  阅读次数：1700