六、克拉珀龙方程
摩尔气体恒量 上一节讲的气体状态方程
\(\frac{{pV}}{T}\)＝恒量
是一定质量的理想气体状态方程，其中的恒量跟气体的质量有关系。在体积和温度相同的情况下，气体的质量越多，气体的压强就越大，因而上式中的恒量就越大。自行车车胎里打进的空气越多，车胎胀得越硬，这是大家都知道的。
实验表明，上式中的恒量还跟气体的种类有关系。在体积和温度相同的情况下，质量相同的不同种类气体，它们的压强并不相同，因而上式中的恒量也不相同。
那么，怎样在一般情况下应用上式呢？我们先把上式用于一定量的各种气体，而且就限定为1摩尔。这是因为，在标准状态下，即p0＝1标准大气压，T0＝273K，1摩的任何气体的体积都是V0＝22.4L，由此我们可以求得一个适用于l摩尔任何气体的恒量，叫做摩尔气体恒量，它通常用R来表示，即
\[R = \frac{{{p_0}{V_0}}}{{{T_0}}}\]
R的数值跟p，V，T的单位有关，在国际单位制中，p0＝1.013×105Pa = 1.013×105N/m2，V0＝22.4×10-3m3/mol，T0＝273K，代入上式得到
\[R = \frac{{1.013 \times {{10}^5} \times 22.4 \times {{10}^{ - 3}}}}{{273}} = 8.31{\rm{J/(mol}} \cdot {\rm{K)}}\]
对于1摩的理想气体，因为pV/T＝p0V0/T0＝R，所以
pV＝RT。
这就是1摩的理想气体的状态方程，它对任何气体都适用。
摩尔气体恒量是热学中又一个重要常数。不仅在研究气体的热学性质中，而且在研究其他热现象中，它与阿伏伽德罗常数共同起着重要作用。
克拉珀龙方程 知道了1摩的理想气体的状态方程，我们不难得到任意质量的理想气体的状态方程。设有质量为m千克的某种理想气体，它的摩尔质量为M千克/摩，它的摩尔数n＝m/M摩，既然1摩的理想气体在标准状态下占有体积V0（＝22.4升），那么n摩的理想气体在标准状态下占有的体积应为V0ʹ＝nV0。由理想气体的状态方程可得：
\[\begin{array}{l}\frac{{pV}}{T} = \frac{{{p_0}{V_0}^\prime }}{{{T_0}}}\\ = n\frac{{{p_0}{V_0}}}{{{T_0}}}\\ = nR\end{array}\]
由此得到 pV＝nRT，
或 pV＝\(\frac{m}{M}\)RT。
这就是任意质量的理想气体的状态方程，又叫做克拉珀龙方程。只要温度不太低，压强不太大，这个方程对一切气体都适用。这个方程在实际中有广泛的应用，可以用来解决有关气体的各种问题。
【例题】容积为30L的瓶内装有氢气。假定在气焊过程中，温度保持27℃不变，当瓶内压强由4.9×106Pa降为9.8×105Pa时，共用去多少氢气？
用国际单位制来计算，把已知各个量的数值用相应的单位表示出来。p1＝4.9×106Pa；V＝30L＝30×10-3m3；p2＝9.8×105Pa；T＝（27＋273）K＝300K；M＝2×10-3kg/mol。
这个例题可以这样来解：根据克拉珀龙方程先计算瓶内原有氢气的质量m1，再计算气体状态改变后瓶内氢气的质量m2，二者之差m1－m2就是用去的氢气的质量。
气体的初状态和末状态的体积V和温度T保持不变，压强p和质量m发生了变化，压强由p1变到p2，质量由m1变到m2。
由p1V＝\(\frac{{{m_1}}}{M}\)RT得到 m1＝\(\frac{{{p_1}VM}}{{RT}}\)，
由p2V＝\(\frac{{{m_2}}}{M}\)RT得到 m2＝\(\frac{{{p_2}VM}}{{RT}}\)，
所以
m1－m2＝\(\frac{{VM}}{{RT}}\)（p1－p2）。
代入数值得到
m1－m2＝\(\frac{{30 \times {{10}^{ - 3}} \times 2 \times {{10}^{ - 3}}}}{{8.31 \times 300}}\)（4.9×106－9.8×105）kg＝9.4×10-2kg。
如果就一定质量的气体来考虑气体的状态变化，即压强由p1降低到p2，而体积由V1胀到V2，能不能解出这个题目？你来试一下，并把两种解法加以比较。
利用理想气体状态方程解题，首先要明确我们所研究的对象是哪部分气体，以及气体状态发生变化时它的初状态和末状态，然后才能用状态方程来求解。计算时要注意物理量的单位。T必须采用热力学温度。根据p1V1/T1＝p2V2/T2解题时，公式两边的p和V的单位必须统一。根据pV＝mRT/M解题时，R的单位必须与p、V的单位相适应。
练习五
（1）如果压强用标准大气压作单位，体积用升作单位，试通过计算证明：R＝0.082标准大气压·升/（摩·开）。
（2）一个容器内装有氧气100g，压强为10标准大气压，温度为47℃，容器的容积是多少米3？
（3）1g的气体，温度为27℃、压强为600mmHg时，体积为5L。2g的同种气体，温度为127℃、压强为400mmHg时，体积是多少升？
（4）容积是10L的钢筒里盛有90标准大气压、－13℃的氧气，求钢筒中氧气的质量。巳知氧气在标准状态下的密度ρ0＝1.43kg/m3。
（5）有0.612g的某种氮氧化合物，在293K和1标准大气压时体积为480cm3。这是一种什么气体？写出它的分子式。
（6）给汽车轮胎打气，使胎内空气达到所需的压强，冬天和夏天打入胎内的空气质量是否相同？冬天还是夏天打入的空气质量多？
（7）有两种不同种类的气体，它们的温度和体积都相同。如果它们的质量也相同，气体的压强是否相同？如果它们的质量不同，但摩尔数相同，气体的压强是否相同？
（8）理想气体的状态方程可写成pV/T＝C（恒量）。对于这个恒量C，下面哪种说法正确，哪种说法错误，并说明理由。
①对质量相同的任何气体，C都相同。
②对质量不同的同种气体，C都相同。
③对摩尔数不同的同种气体，C都相同。
④对摩尔数相同的任何气体，C都相同。
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