第一章 B 竖直上抛运动

被称为“空中芭蕾”的蹦床运动在物理学上可简化抽象为一种“竖直上抛运动”，如图1-7所示，在一张5.05m长，2.91m宽的蹦床上，运动员高高跃起，在空中表演各种高难动作，看上去优美又惊险。

蹦床运动起源于中世纪的法国，在相当长的一段时间里蹦床一直作为杂技演员的训练器材和表演道具。大约在20世纪30年代，一对美国师徒发现这是一项可以赚钱的买卖，于是就开始了批量生产，并且在全球范围内进行宣传和推广，使之成为一项体育运动。1964年，首届世界蹦床锦标赛在伦敦举行。2000年悉尼奥运会首次将蹦床列为正式比赛项目，我国的蹦床运动起步较晚，但进步很快。

在忽略空气阻力的情况下，以一定初速度竖直向上抛出物体的运动称为竖直上抛运动。这是一类典型的初速度不为零的匀变速直线运动。在这类运动中，物体的加速度就是重力加速度g，一般情况下g为常量。

大家谈

将粉笔头竖直向上抛出。

1．描述一下该粉笔头的运动过程。

2．作出该粉笔头运动过程的v-t图（以竖直向上的方向为正方向）。

一、竖直上抛运动的规律

竖直上抛物体运动有怎样的特点？它的速度和位移随时间的变化有怎样的规律性呢？

首先。经验告诉我们，要将物体向上抛出，必须使物体有一个向上的初速度v₀。其次，上抛运动中物体始终有一个方向向下、大小恒定的加速度，即重力加速度g。由于重力加速度g的方向与初速度v₀的方向相反，因此，竖直上抛运动是一种初速不为零的匀减速直线运动。知道了竖直上抛物体运动的特点。那么只要将一般描写初速不为零的匀变速直线运动规律的三个关系式中的加速度a改成－g，就可得到它的速度和位移随时间变化的关系式：

$$\begin{array}{l}v=v_0-gt,\\ s=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$$

以及速度与位移的关系式：

$$v^2-v_0^2=-2gs$$

在研究竖直上抛运动中，人们常常感兴趣的一个问题是：物体能达到的“最大高度”，以及达到最大高度所需的时间，那么我们怎样确定这两个量呢？

竖直上抛运动是一种匀减速运动，当上抛物体的速度v由v₀减小到0时，它便达到了最大高度h_m。因此，竖直上抛物体能达到的最大高度可由上面的速度与位移的关系式和条件v＝0得到，即

$$h_m=\frac{v_0^2}{2g}$$

竖直上抛物体达到最大高度所需时间t_m，可由速度公式和条件v＝0得到，即

$$t_m=\frac{v_0}{g}$$

可见，竖直上抛物体能达到的最大高度和所需时间仅取决于它的初速度。

自主活动

将一个物体向上抛出，你能立即估计出访物体出手时的速度吗？做一做。

当上抛物体到达最高点后，一般要自由落下，因此，竖直上抛物体运动的全过程一般可分为两段：上升段与下落段，前者是初速不为零的匀减速直线运动，后者是初速为零的自由落体运动，上抛物体到达的最高点就是这两个运动过程之间的转折点。

二、竖直上抛运动实例分析

下面几个例子有助于进一步理解竖直上抛物体运动的规律，了解求解竖直上抛运动问题的一些思路和方法。

示例1     将蹦床运动抽象为竖直上抛运动。运动员为了达到8m的高度，弹跳后刚脱离蹦床时的速度应多大？跳起后达到最大高度需多少时间？（取g＝10m/s²）

解答       由竖直上抛物体能达到的最大高度计算式h_m＝可得，弹跳后刚脱离蹦床时的速度为

$$v_0=\sqrt{2g{h}_m}=\sqrt{2\times 10\times 8}\mathrm{m}/\mathrm{s}=12.6\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

跳起后达到最大高度所需时间为

$$t_m=\frac{v_0}{g}=\frac{12.6}{10}\mathrm{s}=1.26\mathrm{s}$$

示例2    气球常用于科学探测和观光旅游。如图1-8所示，在高度100rn处有两只气球（气球甲和气球乙），以相同速度5m/s分别匀速上升和匀速下降，此时，在这两只气球上各掉出一物体，问：这两个物体落到地面时它们的速度差、时间差，以及所经过的路程差各是多少？（取g＝10m/s²） 

点击

以一定速度v₀竖直向下抛出物体的运动称为“竖直下抛运动”。竖直下抛运动是一种初速不为零的匀加速直线运动，其加速度就是重力加速度g。

分析       由于惯性，物体脱离气球时有与气球速度相同的初速度。因此如图1- 9所示，从气球甲掉出的物体A先做竖直上抛运动，其初速度v_0A是气球甲的上升速度；然后，当上升到最高点P后，便做自由落体运动。从气球乙上掉落的物体B做竖直下抛运动，其初速度v_0B是气球乙的下降速度。

解答       （1）物体A：

以脱离点（高度h₀＝100m）为参考点，物体A上抛的最大高度及所需时间分别为

$$\begin{array}{l}{h}_m=\frac{v_{0A}^2}{2g}=\frac{5^2}{2\times 10}\mathrm{m}=1.25\mathrm{m},\\ t_m=\frac{v_{0A}}{g}=\frac{5}{10}\mathrm{s}=0.5\mathrm{s}\end{array}$$

因此，物体A落到地面时所经过的路程为

s_A＝2h_m＋h₀＝（2×1.25＋100）m＝102.5m。

物体A从最高点P落到地面时的速度为

$$\begin{array}{l}{v}_A=\sqrt{2g(h_m+h_0)}\\ =\sqrt{2\times 10\times (1.25+100)}\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ =45\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

物体A从离开气球甲直至落到地面所需的时间为

$$\begin{array}{l}{t}_A=\sqrt{\frac{2(h_m+h_0)}{g}}+t_m\\ =(\sqrt{\frac{2\times (1.25+100)}{10}}+0.5)\mathrm{s}\\ =5\mathrm{s}\end{array}$$

（2）物体B：

物体B做竖直下抛运动，初速度为v_0B＝5m/s。它到达地面时所经过的路程为

s_B＝h₀＝100m；

速度为

$$\begin{array}{l}{v}_B=\sqrt{v_{0B}^2+2g{h}_0}\\ =\sqrt{5^2+2\times 10\times 100}\mathrm{m}/\mathrm{s}=45\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

时间为

$$t_B=\frac{v_B-v_{0B}}{g}=\frac{45-5}{10}\mathrm{s}=4\mathrm{s}$$

因此，物体A和B落到地面时，它们的路程差、速度差、时间差分别为

Δs＝s_A－s_B＝2.5m，

Δv＝v_A－v_B＝0，

Δt＝t_A－t_B＝1s。

讨论       （1）上述结果中，物体A和B落到地面时的速度差为零并非偶然，上抛物体的初速度与该物体到达最高点后自由落下，回至原上抛点处时的速度大小相等。因此回落至上抛点后，物体A同B物体一样做竖直下抛运动，且初速度相同，它们到达地面时的末速度当然也相同。

（2）上抛物体到达最高点所需时问，与其后自由落下回到原上抛点处的时间相等，因此物体A和B落到地面所需时间之差也可计算如下：

Δt＝2t_m＝2×0.5s＝1s。

自主活动

在地面上竖直向上抛出的物体达到最大高度后。便做自由落体运动。试证明：（1）上升过程与下落过程所需时间相等；（2）物体上抛时的初速度与下落到地面时的末速度数值相等。

这显示了力学现象中的一种“对称性”。

发布时间：2015/6/24 下午1:03:05  阅读次数：3450