九、力的合成的计算
合力的大小和方向,还可以利用公式来计算。图1-24中的OA和OB分别表示两个力F1和F2,OC表示它们的合力F,力F1和F2的夹角为θ。
在三角形OAC中,根据余弦定理得到
F2=F12+F22-2F1F2cos(180°-θ)=F12+F22+2F1F2cosθ。
所以合力的大小
合力的方向可以用合力跟原来任一个力的夹角表示出来。图中用F跟F1的夹角φ来表示,利用直角三角形ODC,可以求出角φ的正切:


根据(1)(2)两式,可以算出两个共点力的合力的大小和方向。例如在运河两岸拉着一艘货船前进,两条绳对货船的拉力都是2×103N,两绳互成45°角(图1-25)。合力的大小是:
φ=22°30ʹ。
由于F1=F2,利用力的平行四边形,由几何方法容易证明合力F的方向沿着力F1和F2的夹角平分线的方向,这跟应用公式(2)算出夹角φ来表示合力的方向是一致的。
现在我们来讨论,力F1和F2的大小一定的时候,合力F的大小跟两个力的夹角θ的关系。
当两个力的方向相同时(图1-26甲),θ=0°,cos0°=1,所以F=F1+F2,合力的大小等于两个力的大小之和,合力的方向跟两个力的方向相同。

当两个力的方向相反时(图1-26乙),θ=180°,cos180°=-1,所以F=F1-F2,合力的大小等于两个力的大小之差,方向跟两个力中较大的那个力的方向相同,如果力F1和F2的大小相等,合力就等于零。
当F1和F2的夹角θ在0°到180°之间时,θ越大,cosθ的值越小,合力就越小,而且合力的方向也随着夹角θ的变化而变化。
练习六
(1)两个力的合力总大于原来的每一个力,这话对吗?为什么?
(2)有两个力F1和F2,用作图法求出当它们之间的夹角θ=30°,60°,90°,120°,150°,180°时的合力。研究你所作的图,能不能得到结论:夹角θ在0°到180°之间时,θ越大,合力就越小。
(3)两个力的合力什么情况下最大,什么情况下最小?设有两个力,一个是20N,一个是5N。合力的最大值是多大,最小值是多大?
(4)2N和10N的两个力,它们的合力能够等于5N、10N、15N吗?
(5)两个力互成30°角,大小分别是90N和120N。用作图法求出合力的大小和方向,然后再用公式来求。
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