九、力的合成的计算

合力的大小和方向,还可以利用公式来计算。图1-24中的OA和OB分别表示两个力F1F2,OC表示它们的合力F,力F1F2的夹角为θ

在三角形OAC中,根据余弦定理得到

F2F12F22-2F1F2cos(180°-θ)=F12F22+2F1F2cosθ

所以合力的大小

F=F12+F22+2F1F2cosθ                    (1)

合力的方向可以用合力跟原来任一个力的夹角表示出来。图中用FF1的夹角φ来表示,利用直角三角形ODC,可以求出角φ的正切:

tanφ=CDOD=CDOA+AD=F2sinθF1+F2cosθ         (2)

图1-24
图1-24
图1-25
图1-25

根据(1)(2)两式,可以算出两个共点力的合力的大小和方向。例如在运河两岸拉着一艘货船前进,两条绳对货船的拉力都是2×103N,两绳互成45°角(图1-25)。合力的大小是:

F=F12+F22+2F1F2cosθ=(2×103)2+(2×103)2+2(2×103)cos45=3.7×103N

tanφ=F2sinθF1+F2cosθ=2×103×sin452×103+2×103×cos45=0.4142

φ=22°30ʹ。

由于F1F2,利用力的平行四边形,由几何方法容易证明合力F的方向沿着力F1F2的夹角平分线的方向,这跟应用公式(2)算出夹角φ来表示合力的方向是一致的。

现在我们来讨论,力F1F2的大小一定的时候,合力F的大小跟两个力的夹角θ的关系。

当两个力的方向相同时(图1-26甲),θ=0°,cos0°=1,所以FF1F2,合力的大小等于两个力的大小之和,合力的方向跟两个力的方向相同。

图1-26
图1-26

当两个力的方向相反时(图1-26乙),θ=180°,cos180°=-1,所以FF1F2,合力的大小等于两个力的大小之差,方向跟两个力中较大的那个力的方向相同,如果力F1F2的大小相等,合力就等于零。

F1F2的夹角θ在0°到180°之间时,θ越大,cosθ的值越小,合力就越小,而且合力的方向也随着夹角θ的变化而变化。

练习六

(1)两个力的合力总大于原来的每一个力,这话对吗?为什么?

(2)有两个力F1F2,用作图法求出当它们之间的夹角θ=30°,60°,90°,120°,150°,180°时的合力。研究你所作的图,能不能得到结论:夹角θ在0°到180°之间时,θ越大,合力就越小。

(3)两个力的合力什么情况下最大,什么情况下最小?设有两个力,一个是20N,一个是5N。合力的最大值是多大,最小值是多大?

(4)2N和10N的两个力,它们的合力能够等于5N、10N、15N吗?

(5)两个力互成30°角,大小分别是90N和120N。用作图法求出合力的大小和方向,然后再用公式来求。

文件下载(已下载 444 次)

发布时间:2015/6/23 下午3:03:47  阅读次数:2563

2006 - 2025,推荐分辨率 1024*768 以上,推荐浏览器 Chrome、Edge 等现代浏览器,截止 2021 年 12 月 5 日的访问次数:1872 万 9823 站长邮箱

沪 ICP 备 18037240 号-1

沪公网安备 31011002002865 号