蝉与数论

数论是数学之女王。【德】高斯

蝉就是盛夏时在树上不停地鸣叫的昆虫,俗称“知了”、数论研究整数的性质,是数论中最基本的也是最难懂的。乍看,蝉和数论似乎风马牛不相及,其实两者确实有关系,本文的题目并非故弄玄虚。

大约七八年前(记不得是哪一年了),那年夏天美国的蝉特别多,不仅鸣声如雷,昼夜不停,扰人清梦,而且由于过多的蝉吸食树的汁液,树木也显得比往年枯萎。大家都感到奇怪,为什么突然冒出这么多蝉来呢?据报道:昆虫学家作过仔细的研究,和其他许多昆虫一样,蝉的一生分为四个阶段:从卵开始,卵孵化为幼虫,幼虫再变为蛹,蛹最后蜕化为成虫——蝉。在蝉生命周期的四个阶段中,前三个阶段都是蛰伏在地下。只有到最后的成虫阶段才钻出地面,吸食树的汁液,寻找配偶进行交配,然后产卵在地下。到秋风起、寒露降时,这一代的蝉就在完成了内己的生命周期后死去。有一种美国蝉的生命周期是17年,那年恰好是这种蝉生命周期的最后一年,成虫从地下爆发出来,形成所谓“大年”。还有另一种美国蝉的生命周期是13年。即每隔13年爆发一次。

细心的科学家注意到17和13两个数都是所谓的“质数”。质数是数论中的一个概念,它是整数中的一类,除了1和本身以外没有其他整数因了。换言之,除了1和本身以外,质数不可能被任何其他整数所整除。科学家心想:蝉的生命周期为什么偏偏是质数呢?在常人看来,这个问题似乎荒唐可笑,生命周期是什么数难道还值得研究吗?但真正的科学家是不会轻易放过任何可疑线索的,一定要寻根究底,不水落石出决不罢休。

科学家经过仔细研究,终于弄清楚了,原来这是蝉生存及种族繁衍的需要。蝉的生命周期长达十几年,在这漫长的岁月中,除了最后一年的夏天以外,都是在地下蛰伏,好不容易钻出地而见到天日,蝉希望能好好利用这个一生只有一次的短暂机会。俗语说:“不是冤家不碰头”,蝉当然希望碰到“冤家”越少越好。蝉的“冤家”——天敌和与之竞争的昆虫都具有不同的生命周期:1年、2年、3年、4年……各种年份的都有。蝉以质数为生命周期是最佳选择,因为这样出土时可能碰到的“冤家”最少。以17年生命周期为例:蝉的第一代出土时是上一代产卵后的第17年,因为17是质数,除了1和本身以外没有别的整数因子。它碰到的只有以1年为周期的一种“冤家”,所以对蝉来说这是很聪明的选择,不妨称之为“聪明”蝉。这也可以从反面来分析:假如有另一种以18年为生命周期的“笨”蝉,第一代在18年后出土,因为18不是质数,具有许多整数因子:1、2、3、6、9以及18。所以就会碰到许多“冤家”,包括:1年、2年、3年、6年和9年为周期的,一共五种“冤家”,这要比17年为周期的“聪明”蝉的多得多了。不仅第一代出土的蝉是如此,其后代子孙也是如此。仍以17年周期的“聪明”蝉为例:第二代出土时是第34年,这时它碰到的“冤家”只有周期为1年、2年和17年三种。以18年为周期的“笨”蝉的运气就差得多了,它的第二代出土时是第36年,碰到的“冤家”很多,包括:1年、2年、3年、4年、6年、9年、12年和18年为周期的,共有八种之多。依此类推,第三代出土的“聪明”蝉与“笨”蝉碰到的冤家数目也有很大的差别。至于以13年为生命周期的蝉的命运如何,相信读者们能自己算出来。

至此,聪明的读者心中一定已经有很多疑问:一、难道蝉真有“聪明”与“笨”之分吗?二、难道蝉真的懂数论吗?三、难道蝉对自己的生命周期真有选择的自由吗?四、科学家是否在自作聪明?……下面就这些问题加以讨论:先讨论第一个问题,蝉并无大脑,不会思考,它的本领大多是来自先天遗传的本能,所以如果真有“聪明”蝉与“笨”蝉之分的话,也其不过是遗传的优劣而已。

第二和第三两个问题可以合并讨论:数论之难是出了名的,就连数学家都感到头痛。常人中懂数论的更是少之又少,蝉当然不可能懂数论。聪明如人尚且无法选择自己的生命周期,更遑论蝉矣。但既然如此,蝉的生命周期为什么会与数论的原理相符合呢?原来答案在于“进化论”中“物竞天择,适者生存”的自然选择规律。太古时,蝉的祖先可能具有各种不同的生命周期:1年、2年、3年……以至17年、18年都有,它们之间互相竞争,经过亿万年的进化过程,自然选择规律在起作用。在前面的讨论中我们已清楚地看到,生命周期为质数的蝉由于“冤家”少,在生存竞争上占显著的优势,因而存活率高。而生命周期力非质数的蝉,由于“冤家”太多,在生存竞争上处于劣势。优胜劣败,劣种被淘汰了。所以剩下的是以质数为生命周期的现有品种,就不足为奇了。因此答案是:蝉本身并不懂数论,也无法自己选择生命周期,而是由于自然选择规律,蝉不自觉地“利用”了质数的特性而已。

再来讨论第四个问题:科学研究结论的正确性是由实践来检验的,生命周期为质数的蝉之竞争优势至少已由美国的两种蝉证明了。以后如在世界各地再发现类似的例子,就可以证明科学家的结论是正确的。但如发现反例,就需要研究其原因,然后再修正理论。

我们从蝉的这个小故事中或许可以学到一点东西:其一:数论规律是对进化所赋予的蝉生命周期的确切描述,从一个侧面折射出“数学之女王”——数论的普适性。其二,我们已看到蝉要生存,种族要繁衍,就必须服从自然规律。其实,一切生物都是如此,万物之灵的人也不例外。但有一点不同,人可以通过认识规律自觉地顺应。孙中山先生说:“世界潮流,浩浩荡荡,顺之者昌,逆之者亡。”证诸生物进化以及人类社会发展,确为至理名言。

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发布时间:2015/2/20 下午2:40:07  阅读次数:3780

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