无穷大的启示

蹩脚的物理学家怕无穷大,高明的物理学家爱无穷大。

1÷0=?按照四则运算规则这不好办,因为零乘以任何数都不可能等于1,所以上述算式的答案根本不存在。但不存在的东两可以创造出来,为此数学家创造了无穷大:任何非零数除以零都等于无穷大。所以无穷大生下来就不同凡响,它使四则运算得以自洽。

无穷大比任何数都大,任你说出什么大数来,无穷大就变得比它更大。所以无穷大不是固定的,而是动态的。数而能动,是为异数。

无穷大记为∞,犹如横放之8,故昵称为“横八”。

无穷大具有丰富的内涵,先看几个例子:考虑1÷x=\(\frac{1}{x}\),当x趋向零时,\(\frac{1}{x}\)趋向无穷大;再考虑\(\frac{1}{{{x^2}}}\),当x趋向零时,它也趋向无穷大。但两者并不一样,例如当x=0.1时:\(\frac{1}{x}\)=10,\(\frac{1}{{{x^2}}}\)=100。显然,后者比前者要大得多,趋向无穷大的速度也快得多。当然还有\(\frac{1}{{{x^3}}}\),\(\frac{1}{{{x^4}}}\)等,当x趋向零时,它们所代表的无穷大都不一样。所以无穷大不止一个,而是一大族。

无穷大是数学概念,在现实世界中,再大的东西也不可能是无穷大。宇宙包罗万象、涵盖一切,最近观测所得的宇宙尺度大约是140亿光年,约合1325万亿亿公卑,够大了吧?但并不是无穷大。至大如宇宙尚且如此,更遑论其余。数学中有各种各样的无穷大,而现实世界中却不存在无穷大,这是矛盾。对这一矛盾的探究,揭开了现代物理学的新篇章。

19世纪末,物理学家在对热辐射理论的研究中,遇到所谓“紫外发散”危机,发散就是趋向于无穷大。事情是这样的:按照麦克斯韦电磁理论,热辐射(包括光在内)其实就是不同频率的电磁波。物理学家据此计算热辐射的频谱——能量按频率之分布,他们惊讶地发现热辐射的能量在高频率处竟趋向于无穷大!可见光中紫光的频率最高,更高的是肉眼看不见的紫外线,所以称为紫外发散。能量怎么可能是无穷大?物理学家们百思不解,紫外发散成为19世纪末物理学晴空中著名的“两朵乌云”之一。德国物理学家普朗克(Max Plank,1858-1947)为了消除紫外发散,于1900年提出了量子假说,认为电磁波的能量是不连续的,具有最小单位——量子。将辐射量子化的结果,原先紫外发散的无穷大消失了,计算出的热辐射频谱与实验一致。热辐射量子化揭开了量子理论之序幕,无穷大是契机。

量子理论的建立是20世纪物理学的一件大事,先是量子力学,尔后又发展出量子场论。后者是关于基本粒子的理论,其基本假设是:每一种粒子对应于一种延伸到空间的场,粒子本身则是无穷小的几何点——点粒子。量子场论是量子力学的自然推广,但当物理学家利用它计算基本粒子的质量和能量时,发现全都是无穷大!这当然是荒谬的。问题出在点粒子假设,就像\(\frac{1}{x}\)那样,在x=0处是无穷大。治本之道当然是应该放弃点粒子假设,但这涉及到基本粒子的内部结构,绝非易事。不得已退而求其次,美国物理学家费米和日本物理学家朝永振一郎等发展出“重整化”理论,绕过了无穷大困难。其实问题并未从根本上解决,有位物理学家不认同,讥讽说:“重整化是耍赖皮。”但按重整化量子场论算出的结果与实验符合得非常好,不得不承认它包含着部分真理。事实是:先有无穷大,才有重整化。

20世纪物理学的另一件大事是相对论的建立,它包括狭义相对论和广义相对论。后者是关于引力与时空性质的理论,根据它提出了“黑洞”假说:比太阳重若干倍的恒星在核燃料耗尽时,会在引力作用下塌缩成黑洞。在黑洞的中心有一个“奇点”,其质量密度和能量密度都成为无穷大,物理定律在奇点处全都失效。天体物理学家为黑洞的奇点所困惑已经几十年了,至今尚未找到出路,看来还有待于量子引力理论的建立。你看!无穷大正在为新理论催生。

为什么物理学总是在遇到无穷大时酝酿突破呢?我想这是因为在极端条件下事物内在的矛盾激化了,充分暴露了出来。科学家遇到“山重水复疑无路”,才下决心去探寻“柳暗花明又一村”。科学家的这种“无穷而后突破”与文人的“穷而后工”有异曲同工之妙。

至此,读者可能会想:“既然现实世界中根本不存在无穷大,在数学中引入无穷大是否多此一举呢?”这个问题很深刻,可以这样来认识:在现有数学体系内没有无穷大是不行的,因为除零的困难无法克服,连四则运算都不能自洽,更遑论其余。但最近有人别出心裁,想建立没有无穷大的数学体系,一种办法是假设自然数具有最大值,超过这个最大值的数根本不存在。这样一来就用不着无穷大了。但是这种有限的数学体系能否建立起来?有无实用价值?尚待继续观察。

回过头来再考虑\(\frac{1}{x}\),当x从正数趋向零或从负数趋向零时,结果是不一样的,前者得正无穷大而后者得负无穷大。有趣的是:x=0时,\(\frac{1}{x}\)=?它可以是正无穷大也可以是负无穷大。至大至小竟会合于一点,你说怪不怪?

仔细想想其实并不奇怪。至大至小是两个极端,无非是从一个极端跳到另一个极端——两极相通而已,现实世界中不乏这样的例子。至大莫过于宇宙。至小莫过于基本粒子,天体物理学的研究表明,在大爆炸的那一刹那两者是相通的。先哲有言:真理再向前走一小步就变为谬误。可见,真理谬误两极相通。老子的“祸兮福之所倚,福兮祸之所伏”,不也是祸、福两极相通吗?心理学中也有类似的情形:日空一切的自大狂遭受挫折后,往往会跳到另一个极端,变为完全丧失自信心的极端自卑者;“爱极恨生”的变态心理虐待狂,不也是从一个极端跳到另一个极端吗?兵家常言:骄兵必败,哀兵必胜,置之死地而后生,如此等等,不都证明了两极相通吗?所以无穷大这个异数已经给了我们许多重要的启示。

意犹未尽,戏作打油:

无穷大

你比谁都大

千万别自夸

小心两极通

变成负横八

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发布时间:2015/2/17 21:21:27  阅读次数:2953

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