3.7 小结

1.基本变换矩阵——缩放、旋转和平移——如下:

\[{\bf{S}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{s_x}}&0&0&0\\0&{{s_y}}&0&0\\0&0&{{s_z}}&0\\0&0&0&1\end{array}} \right]\]

\[{\bf{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\{{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}}&1\end{array}} \right]\]

\[{{\bf{R}}_n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{c + (1 - c){x^2}}&{(1 - c)xy + sz}&{(1 - c)xz - sy}&0\\{(1 - c)xy - sz}&{c + (1 - c){y^2}}&{(1 - c)yz + sx}&0\\{(1 - c)xz + sy}&{(1 - c)yz - sx}&{c + (1 - c){z^2}}&0\\0&0&0&1\end{array}} \right]\]

2.我们用4×4矩阵来描述变换,用1×4齐次坐标来描述点和向量,其中第4个分量w设为1时表示点,w设为0时表示向量。通过这一方式,平移只会应用于点,而不会应用于向量。

3.如果一个矩阵的所有行向量都是单位向量且相互垂直,则该矩阵为正交矩阵。正交矩阵有一个特殊的性质,它的逆矩阵与转置矩阵相等,因此我们可以很容易地计算出它的逆矩阵。所有的旋转矩阵都是正交矩阵。

4.由矩阵乘法的结合律可知,我们可以将多个变换矩阵组合为一个净变换矩阵,最终得到的变换结果与执行多次单个矩阵乘法的变换结果相同。

5.QBuBvBwB分别表示参考系A相对于参考系B的原点位置及xyz坐标轴方向。如果向量或点p相对于参考系A的坐标为pA= (x,y,z),那该向量相对于参考系B的坐标为:

pB= (xʹ,yʹ,zʹ) =xuB + yvB +zwB 用于向量(方向和大小)

pB= (xʹ,yʹ,zʹ) = QB +xuB + yvB +zwB 用于位置向量(点)

使用齐次坐标可以将些坐标转换变换改写为矩阵的形式。

6.假设我们现在有3个参考系FGH,并且,设A为从FG的参考系转换矩阵,设B为从GH的参考系转换矩阵。使用矩阵-矩阵乘法,矩阵C=AB可以被视为从F直接到H的参考系变换矩阵;也就是,矩阵-矩阵乘法将AB所产生的变换结果组合成了一个净矩阵,记作:pF(AB) = pH

7.如果矩阵M将参考系A的坐标映射为参考系B的坐标,那么矩阵M-1可以将参考系B的坐标映射为参考系A的坐标。

8.一个active变换也可以理解为一个坐标系转换变换,反之亦然。在某些情况下,使用多个坐标系统更符合思维习惯,我们可以让物体自身保持不变,只是从一个参考系转换到另一个参考系,由于参考系发生了改变,因此物体的坐标也会随之改变。在另一些情况中,我们不想改变参考系,而只想在同一个参考系中对物体进行变换。

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发布时间:2014/10/9 下午6:58:45  阅读次数:3282

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