3.7 小结

1．基本变换矩阵——缩放、旋转和平移——如下：

\[{\bf{S}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{s_x}}&0&0&0\\0&{{s_y}}&0&0\\0&0&{{s_z}}&0\\0&0&0&1\end{array}} \right]\]

\[{\bf{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\{{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}}&1\end{array}} \right]\]

\[{{\bf{R}}_n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{c + (1 - c){x^2}}&{(1 - c)xy + sz}&{(1 - c)xz - sy}&0\\{(1 - c)xy - sz}&{c + (1 - c){y^2}}&{(1 - c)yz + sx}&0\\{(1 - c)xz + sy}&{(1 - c)yz - sx}&{c + (1 - c){z^2}}&0\\0&0&0&1\end{array}} \right]\]

2．我们用4×4矩阵来描述变换，用1×4齐次坐标来描述点和向量，其中第4个分量w设为1时表示点，w设为0时表示向量。通过这一方式，平移只会应用于点，而不会应用于向量。

3．如果一个矩阵的所有行向量都是单位向量且相互垂直，则该矩阵为正交矩阵。正交矩阵有一个特殊的性质，它的逆矩阵与转置矩阵相等，因此我们可以很容易地计算出它的逆矩阵。所有的旋转矩阵都是正交矩阵。

4．由矩阵乘法的结合律可知，我们可以将多个变换矩阵组合为一个净变换矩阵，最终得到的变换结果与执行多次单个矩阵乘法的变换结果相同。

5．设Q_B、u_B、v_B、w_B分别表示参考系A相对于参考系B的原点位置及x、y、z坐标轴方向。如果向量或点p相对于参考系A的坐标为p_A= (x,y,z)，那该向量相对于参考系B的坐标为：

p_B= (xʹ,yʹ,zʹ) =xu_B + yv_B +zw_B 用于向量（方向和大小）

p_B= (xʹ,yʹ,zʹ) = Q_B +xu_B + yv_B +zw_B 用于位置向量（点）

使用齐次坐标可以将些坐标转换变换改写为矩阵的形式。

6．假设我们现在有3个参考系F、G、H，并且，设A为从F到G的参考系转换矩阵，设B为从G到H的参考系转换矩阵。使用矩阵-矩阵乘法，矩阵C=AB可以被视为从F直接到H的参考系变换矩阵；也就是，矩阵-矩阵乘法将A和B所产生的变换结果组合成了一个净矩阵，记作：p_F(AB) = p_H。

7．如果矩阵M将参考系A的坐标映射为参考系B的坐标，那么矩阵M^-1可以将参考系B的坐标映射为参考系A的坐标。

8．一个active变换也可以理解为一个坐标系转换变换，反之亦然。在某些情况下，使用多个坐标系统更符合思维习惯，我们可以让物体自身保持不变，只是从一个参考系转换到另一个参考系，由于参考系发生了改变，因此物体的坐标也会随之改变。在另一些情况中，我们不想改变参考系，而只想在同一个参考系中对物体进行变换。

发布时间：2014/10/9 下午6:58:45  阅读次数：3734