2.7 逆矩阵

矩阵代数没定义除法运算，但是它定义了一种乘法的逆（inverse）运算。下面的列表总结了有关逆运算的要点：

1．只有正方形矩阵能做逆运算；所以，当我们说求逆矩阵时是假设我们正在处理的是一个正方形矩阵。

2．一个n×n矩阵M的逆矩阵仍然是一个n×n矩阵，记作M^-1。

3．不是所有的正方形矩阵都有逆矩阵。有逆矩阵的正方形矩阵称为可逆（invertible）矩阵，没有逆矩阵的称为单调（singular）矩阵。

4．如果存在逆矩阵，则该逆矩阵是唯一的。

5．将一个矩阵与它的逆矩阵相乘，其结果必定为单位矩阵：MM^-1=M^-1M=I。注意，矩阵与它的逆矩阵的相乘次序可以互换，这是矩阵乘法中的一个特例。

逆矩阵在求解矩阵方程时非常有用。例如，我们给出矩阵方程pʹ=pM，已知pʹ和M的值，求解p。假设M是可逆矩阵（即，M^-1存在），那么我们可以按照如下步骤求解：

下面的这个方程可以用来求逆矩阵，本书不会给出证明过程，但是读者可以在任何一本大学线性代数的书籍中找到证明过程，这个方程是用伴随矩阵和行列式的形式给出的：

${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{det\mathbf{A}}$     （公式2.6）

例2.10

找到一个求2×2矩阵$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]$的逆矩阵的通用公式，并使用这个公式求出$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ -1& 2\end{array}\right]$的逆矩阵。我们已经知道：

$$det\mathbf{A}=A_{11}{A}_{22}-A_{12}{A}_{21}$$

$${\mathbf{C}}_A=\left[\begin{array}{cc}{(-1)}^{1+1}det{\overline{\mathbf{A}}}_{11}& {(-1)}^{1+2}det{\overline{\mathbf{A}}}_{12}\\ {(-1)}^{2+1}det{\overline{\mathbf{A}}}_{21}& {(-1)}^{2+2}det{\overline{\mathbf{A}}}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{22}& -A_{21}\\ -A_{12}& A_{11}\end{array}\right]$$

所以，

$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{det\mathbf{A}}=\frac{{\mathbf{C}}_A^T}{det\mathbf{A}}=\frac{1}{A_{11}{A}_{22}-A_{12}{A}_{21}}\left[\begin{array}{cc}{A}_{22}& -A_{12}\\ -A_{21}& A_{11}\end{array}\right]$$

现在用这个公式求$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ -1& 2\end{array}\right]$的逆矩阵：

$${\mathbf{M}}^{-1}=\frac{1}{3\cdot 2-0\cdot (-1)}\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1/3& 0\\ 1/6& 1/2\end{array}\right]$$

我们只需检验MM^-1=M^-1M=I就可以证明结果是否正确：

$$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1/3& 0\\ 1/6& 1/2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1/3& 0\\ 1/6& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ -1& 2\end{array}\right]$$

注意：对于小矩阵（4×4矩阵或更小）来说，使用伴随矩阵的方法更有效率。对于更大的矩阵来说，我们可以使用诸如高斯消元法(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95)之类的其他方法求逆矩阵。但是，在3D计算机图形中，我们要处理的矩阵具有特定的形式，因此可以事先确定求逆矩阵的方程，这样我们就无需浪费CPU资源去求一般矩阵的逆矩阵了。这样，在代码中我们往往很少用到公式2.6。

在本节结束之前，我们要介绍一个与逆矩阵相乘时非常有用的代数特性：

(AB)^-1=B^-1A^-1

这个特性假设A和B都是可逆的，它们都是维数相同的正方形矩阵。要证明B^-1A^-1是AB的逆矩阵，我们只需要证明(AB)(B^-1A^-1)=I和(B^-1A^-1)(AB)=I。推导过程如下：

(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AIA^-1=AA^-1=I

(B^-1A^-1)(AB)=B^-1(A^-1A)B=B^-1IB=B^-1B=I

发布时间：2014/9/23 下午8:36:56  阅读次数：5421