2.4 单位矩阵

有一种特殊的矩阵称为单位矩阵（identity matrix）。单位矩阵是一个正方形矩阵，它除了对角线上的元素为1外，其他元素均为0。例如，下面是2×2、3×3和4×4单位矩阵。

$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

单位矩阵的作用相当于一个乘法单位；也就是，如果A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，I是n×n单位矩阵，那么

AI=A且IB=B

换句话说，将一个矩阵与单位矩阵相乘，得到结果不会发生改变。单位矩阵可以被看成是矩阵中的数字1。如果M是一个正方形矩阵，那么M与单位矩阵之间的相乘次序可以交换：

MI=IM=M

例2.6

设$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 4\end{array}\right]$，$\mathbf{I}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 。证明MI=IM=M。

运用公式2.1可得：

 $$\mathbf{M}\mathbf{I}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(1,2)\cdot (1,0)& (1,2)\cdot (0,1)\\ (0,4)\cdot (1,0)& (0,4)\cdot (0,1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 4\end{array}\right]$$

和

$$\mathbf{I}\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(1,0)\cdot (1,0)& (1,0)\cdot (2,4)\\ (0,1)\cdot (1,0)& (0,1)\cdot (2,4)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 4\end{array}\right]$$

因此，MI=IM=M为真。

例2.7

设u=[−1,2]，$\mathbf{I}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 。证明uI=u。运用公式2.1可得：

$$\mathbf{u}\mathbf{I}=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[(\begin{array}{cc}-1,2)\cdot (1,0)& (-1,2)\cdot (0,1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\end{array}\right]$$

注意，我们无法计算Iu的乘积，因为它在矩阵乘法中没有意义。

发布时间：2014/9/16 下午7:26:04  阅读次数：5867