2.4 单位矩阵

有一种特殊的矩阵称为单位矩阵（identity matrix）。单位矩阵是一个正方形矩阵，它除了对角线上的元素为1外，其他元素均为0。例如，下面是2×2、3×3和4×4单位矩阵。

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}} \right]\]

单位矩阵的作用相当于一个乘法单位；也就是，如果A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，I是n×n单位矩阵，那么

AI=A且IB=B

换句话说，将一个矩阵与单位矩阵相乘，得到结果不会发生改变。单位矩阵可以被看成是矩阵中的数字1。如果M是一个正方形矩阵，那么M与单位矩阵之间的相乘次序可以交换：

MI=IM=M

例2.6

设\({\bf{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right]\)，\({\bf{I}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]\) 。证明MI=IM=M。

运用公式2.1可得：

 \[{\bf{MI}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(1,2) \cdot (1,0)}&{(1,2) \cdot (0,1)}\\{(0,4) \cdot (1,0)}&{(0,4) \cdot (0,1)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right]\]

和

\[{\bf{IM}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(1,0) \cdot (1,0)}&{(1,0) \cdot (2,4)}\\{(0,1) \cdot (1,0)}&{(0,1) \cdot (2,4)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right]\]

因此，MI=IM=M为真。

例2.7

设u=[−1,2]，\({\bf{I}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]\) 。证明uI=u。运用公式2.1可得：

\[{\bf{uI}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = \left[ {(\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1,2) \cdot (1,0)}&{( - 1,2) \cdot (0,1)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\end{array}} \right]\]

注意，我们无法计算Iu的乘积，因为它在矩阵乘法中没有意义。

发布时间：2014/9/16 下午7:26:04  阅读次数：5200