2.2 矩阵乘法

本节讲解矩阵乘法。我们将在第3章中看到，矩阵乘法用于实现点和向量的变换，并通过矩阵乘法将一系列的变换组合在一起。

2.2.1 定义

假设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，乘积AB由C表示，则C是一个m×p矩阵，其中结果C的第ij个元素的值等于A的第i个行向量和B的第j个列向量的点积，也就是，

C_ij=A_i,* ∙B_*,j （2.1）

注意，矩阵A的列数必须与矩阵B的行数相同，只有这样才能计算矩阵乘积C，也就是说，A中的行向量的维数必须与B中的列向量的维数相同。如果维数不同，那么公式2.1中的点积就没有意义。

例2.3

设

$A = [\begin{matrix} 1 & 5 \\ - 2 & 3 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix} \begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}]$

则，无法计算乘积AB，因为A中的行向量的维数是2，而B中的列向量的维数是3。我们无法计算A的第1个行向量与B的第1个列向量的点积，因为一个2D向量是无法与一个3D向量计算点积的。

例2.4

设

$A = [\begin{matrix} - 1 & 5 & - 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{matrix}]$

首先我们要指出的是可以计算乘积AB（是一个2×3矩阵），因为A的列数与B的行数相等。运用公式2.1可得：

$\begin{array}{l} A B = [\begin{array}{c} - 1 & 5 & - 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} (- 1, 5, - 4) \cdot (2, 0, - 1) & (- 1, 5, - 4) \cdot (1, - 2, 2) & (- 1, 5, - 4) \cdot (0, 1, 3) \\ (3, 2, 1) \cdot (2, 0, - 1) & (3, 2, 1) \cdot (1, - 2, 2) & (3, 2, 1) \cdot (0, 1, 3) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 & - 19 & - 7 \\ 5 & 1 & 5 \end{array}] \end{array}$

注意，在个例子中我们无法计算BA的乘积，因为B的列数与A的行数不相等。这说明矩阵乘法通常不满足交换律；也就是AB≠BA。

2.2.2 向量-矩阵乘法

考虑下面的向量-矩阵乘法：

$u A = [x, y, z] [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}] = [x, y, z] [\begin{matrix} ↑ & ↑ & ↑ \\ A_{*, 1} & A_{*, 2} & A_{*, 3} \\ ↓ & ↓ & ↓ \end{matrix}]$

注意，这里uA的计算结果是一个1×3行向量。运用公式2.1可得：

$\begin{array}{l} u A = [\begin{array}{c} u \cdot A_{*, 1} & u \cdot A_{*, 2} & u \cdot A_{*, 3} \end{array}] \\ = [x A_{11} + y A_{21} + z A_{31}, x A_{12} + y A_{22} + z A_{32}, x A_{13} + y A_{23} + z A_{33}] \\ = [x A_{11}, x A_{12}, x A_{13}] + [y A_{21}, y A_{22}, y A_{23}] + [z A_{31}, z A_{32}, z A_{33}] \\ = x [A_{11}, A_{12}, A_{13}] + y [A_{21}, A_{22}, A_{23}] + z [A_{31}, A_{32}, A_{33}] \\ = x A_{1, *} + y A_{2, *} + z A_{3, *} \end{array}$

因此，

$u A = x A_{1, *} + y A_{2, *} + z A_{3, *}$ （2.2）

公式2.2是一个常用的线性组合，它说明向量-矩阵的乘积uA等于向量u给出的标量系数x、y、z与矩阵A的每个行向量的线性组合。注意，虽然我们这里给出的例子是一个1×3行向量和一个3×3矩阵，但是这个计算方法是通用的。也就是，对于一个1×n行向量u和一个n×m矩阵A，乘积uA等于u给出的标量系数与A中的每个行向量的线性组合：

$[u_{1}, \dots, u_{n}] [\begin{matrix} A_{11} & \dots & A_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & \dots & A_{n m} \end{matrix}] = u_{1} A_{1, *} + \dots + u_{n} A_{n, *}$ （2.3）

2.2.3 结合律

矩阵乘法具有一些有用的代数特性。例如，可以将矩阵乘法分配给每个加法分量：A(B+C)=AB+AC、(A+B)C=AC+BC。有时我们会使用矩阵乘法的结合律来改变相乘矩阵的计算顺序：

(AB)C=A(BC)

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发布时间：2014/9/14 下午3:11:29 阅读次数：4725