2.2 矩阵乘法
本节讲解矩阵乘法。我们将在第3章中看到,矩阵乘法用于实现点和向量的变换,并通过矩阵乘法将一系列的变换组合在一起。
2.2.1 定义
假设A是一个m×n矩阵,B是一个n×p矩阵,乘积AB由C表示,则C是一个m×p矩阵,其中结果C的第ij个元素的值等于A的第i个行向量和B的第j个列向量的点积,也就是,
Cij=Ai,* ∙B*,j (2.1)
注意,矩阵A的列数必须与矩阵B的行数相同,只有这样才能计算矩阵乘积C,也就是说,A中的行向量的维数必须与B中的列向量的维数相同。如果维数不同,那么公式2.1中的点积就没有意义。
例2.3
设
则,无法计算乘积AB,因为A中的行向量的维数是2,而B中的列向量的维数是3。我们无法计算A的第1个行向量与B的第1个列向量的点积,因为一个2D向量是无法与一个3D向量计算点积的。
例2.4
设
首先我们要指出的是可以计算乘积AB(是一个2×3矩阵),因为A的列数与B的行数相等。运用公式2.1可得:
注意,在个例子中我们无法计算BA的乘积,因为B的列数与A的行数不相等。这说明矩阵乘法通常不满足交换律;也就是AB≠BA。
2.2.2 向量-矩阵乘法
考虑下面的向量-矩阵乘法:
注意,这里uA的计算结果是一个1×3行向量。运用公式2.1可得:
因此,
公式2.2是一个常用的线性组合,它说明向量-矩阵的乘积uA等于向量u给出的标量系数x、y、z与矩阵A的每个行向量的线性组合。注意,虽然我们这里给出的例子是一个1×3行向量和一个3×3矩阵,但是这个计算方法是通用的。也就是,对于一个1×n行向量u和一个n×m矩阵A,乘积uA等于u给出的标量系数与A中的每个行向量的线性组合:
2.2.3 结合律
矩阵乘法具有一些有用的代数特性。例如,可以将矩阵乘法分配给每个加法分量:A(B+C)=AB+AC、(A+B)C=AC+BC。有时我们会使用矩阵乘法的结合律来改变相乘矩阵的计算顺序:
(AB)C=A(BC)
文件下载(已下载 580 次)发布时间:2014/9/14 下午3:11:29 阅读次数:4718