2.1 矩阵定义

在3D计算机绘图中，我们用矩阵（matrix）来紧凑地描述几何变换，比如缩放、旋转和平移，并将点或向量的坐标从一种坐标系转换到另一种坐标系。本章探讨了矩阵代数。

学习目标：

1．了解矩阵及矩阵运算。

2．了解如何将向量-矩阵乘法视为一个线性组合。

3．学习单位矩阵、转置矩阵、行列式和逆矩阵。

4．熟悉XNA库中的用于矩阵代数的类和函数。

一个m×n矩阵M是一个m行、n列的矩形实数数组。行和列的数量指定了矩阵的维数。矩阵中的数值称为元素。我们使用行和列组成的双下标M_ij来标识矩阵元素，其中，第1个下标指定了元素的所在的行，第2个下标指定了元素所在的列。

例2.1

考虑如下矩阵：

$A=\left[\begin{array}{cccc}3.5& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0.5& 0\\ 2& -5& \sqrt{2}& 1\end{array}\right]$，$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{B}_{11}\\ B_{21}\\ B_{31}\end{array}\begin{array}{c}{B}_{12}\\ B_{22}\\ B_{32}\end{array}\right]$，$\mathbf{u}=\left[u_1,u_2,u_3\right]$，$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ \sqrt{3}\\ \pi \end{array}\right]$

1．矩阵A是一个4×4矩阵；矩阵B是一个3×2矩阵；矩阵u是一个1×3矩阵；矩阵v是一个4×1矩阵。

2．A₄₂=-5表示矩阵A的第4行、第2列的元素。B₂₁表示矩阵B的第2行、第1列的元素。

3．矩阵u和v是特殊矩阵，因为它们只包含一行或一列。我们有时将这种矩阵称为行向量或列向量，因为它们可以用矩阵的形式表示一个向量（例如，可以随意地将(x,y,z)和[x,y,z]互换使用，这两种记法都可用于表示向量）。注意，对于行向量和列向量，不必使用双下标表示矩阵元素——只用一个下标即可。

有时，我们希望将矩阵的每一行视为一个向量。例如，我们可以这样写：

$$\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\leftarrow {\mathbf{A}}_{1,\ast }\to \\ \leftarrow {\mathbf{A}}_{2,\ast }\to \\ \leftarrow {\mathbf{A}}_{3,\ast }\to \end{array}\right]$$

其中，A_1,∗= [A₁₁,A₁₂,A₁₃]、A_2,∗= [A₂₁,A₂₂,A₂₃ ]、A_3,∗= [A₃₁,A₃₂,A₃₃]。在这种记法中，第1个索引指定行标，第2个索引以星号（*）表示我们引用的是整个行向量。

同样，我们也可以用这种方法来表示矩阵的列：

$$\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\uparrow & \uparrow & \uparrow \\ A_{\ast ,1}& A_{\ast ,2}& A_{\ast ,3}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \end{array}\right]$$

其中

$${\mathbf{A}}_{\ast ,1}=\left[\begin{array}{c}{A}_{11}\\ A_{21}\\ A_{31}\end{array}\right],{\mathbf{A}}_{\ast ,2}=\left[\begin{array}{c}{A}_{12}\\ A_{22}\\ A_{32}\end{array}\right],{\mathbf{A}}_{\ast ,3}=\left[\begin{array}{c}{A}_{13}\\ A_{23}\\ A_{33}\end{array}\right]$$

在这种记法中，第2个索引指定列标，第1个索引以星号（*）表示我们引用的是整个列向量。

我们现在对矩阵上的判等运算、加法运算、标量乘法运算和减法运算做以定义：

1．当且仅当两个矩阵的对应元素相等时，这两个矩阵相等；这两个矩阵必须具有相同的行数和列数，才能进行比较。

2．矩阵加法是对两个矩阵的对应元素相加；只有在两个矩阵的行数和列数相同的情况下，矩阵加法才有意义。

3．矩阵的标量乘法是将一个标量和矩阵中的每个元素相乘。

4．矩阵减法可以由矩阵加法和标量乘法表示。也就是，A – B = A + (−1 • B) = A + (−B )。

例 2.2

设

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ -2& 3\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}6& 2\\ 5& -8\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ -2& 3\end{array}\right],\mathbf{D}=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}2\\ -6\end{array}& \begin{array}{l}1\\ 3\end{array}& \begin{array}{l}-3\\ 0\end{array}\end{array}\right]$$

则，

（ⅰ）$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ -2& 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}6& 2\\ 5& -8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+6& 5+2\\ -2+5& 3+(-8)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 7\\ 3& -5\end{array}\right]$

（ⅱ）A = C

（ⅲ） $3\mathbf{D}=3\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}2\\ -6\end{array}& \begin{array}{l}1\\ 3\end{array}& \begin{array}{l}-3\\ 0\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}3(2)\\ 3(-6)\end{array}& \begin{array}{l}3(1)\\ 3(3)\end{array}& \begin{array}{l}3(-3)\\ 3(0)\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\begin{array}{l}6\\ -18\end{array}& \begin{array}{l}3\\ 9\end{array}& \begin{array}{l}-9\\ 0\end{array}\end{array}\right]$

（ⅳ）$\mathbf{A}-\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ -2& 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}6& 2\\ 5& -8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1-6& 5-2\\ -2-5& 3-(-8)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5& 3\\ -7& 11\end{array}\right]$

因为矩阵加法和标量乘法是逐元素进行的，所以矩阵也继承了实数的加法和标量乘法的性质：

1．A + B = B + A

2．(A + B ) + C = A + ( B + C)

3．r(A + B ) = rA + rB

4．( r + s )A = rA + sA

发布时间：2014/9/12 下午9:05:23  阅读次数：4700