2.1 矩阵定义

在3D计算机绘图中,我们用矩阵(matrix)来紧凑地描述几何变换,比如缩放、旋转和平移,并将点或向量的坐标从一种坐标系转换到另一种坐标系。本章探讨了矩阵代数。

学习目标:

1.了解矩阵及矩阵运算。

2.了解如何将向量-矩阵乘法视为一个线性组合。

3.学习单位矩阵、转置矩阵、行列式和逆矩阵。

4.熟悉XNA库中的用于矩阵代数的类和函数。

 

一个m×n矩阵M是一个m行、n列的矩形实数数组。行和列的数量指定了矩阵的维数。矩阵中的数值称为元素。我们使用行和列组成的双下标Mij来标识矩阵元素,其中,第1个下标指定了元素的所在的行,第2个下标指定了元素所在的列。

例2.1

考虑如下矩阵:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3.5}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&{0.5}&0\\2&{ - 5}&{\sqrt 2 }&1\end{array}} \right]\),\({\bf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{B_{11}}}\\{{B_{21}}}\\{{B_{31}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{{B_{12}}}\\{{B_{22}}}\\{{B_{32}}}\end{array}} \right]\),\({\bf{u}} = \left[ {{u_1},{u_2},{u_3}} \right]\),\({\bf{v}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\\{\sqrt 3 }\\\pi \end{array}} \right]\)

1.矩阵A是一个4×4矩阵;矩阵B是一个3×2矩阵;矩阵u是一个1×3矩阵;矩阵v是一个4×1矩阵。

2.A42=-5表示矩阵A的第4行、第2列的元素。B21表示矩阵B的第2行、第1列的元素。

3.矩阵uv是特殊矩阵,因为它们只包含一行或一列。我们有时将这种矩阵称为行向量或列向量,因为它们可以用矩阵的形式表示一个向量(例如,可以随意地将(x,y,z)和[x,y,z]互换使用,这两种记法都可用于表示向量)。注意,对于行向量和列向量,不必使用双下标表示矩阵元素——只用一个下标即可。

有时,我们希望将矩阵的每一行视为一个向量。例如,我们可以这样写:

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}}&{{A_{12}}}&{{A_{13}}}\\{{A_{21}}}&{{A_{22}}}&{{A_{23}}}\\{{A_{31}}}&{{A_{32}}}&{{A_{33}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ \leftarrow {{\bf{A}}_{1,*}} \to }\\{ \leftarrow {{\bf{A}}_{2,*}} \to }\\{ \leftarrow {{\bf{A}}_{3,*}} \to }\end{array}} \right]\]

其中,A1,∗= [A11,A12,A13]、A2,∗= [A21,A22,A23 ]、A3,∗= [A31,A32,A33]。在这种记法中,第1个索引指定行标,第2个索引以星号(*)表示我们引用的是整个行向量。

同样,我们也可以用这种方法来表示矩阵的列:

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}}&{{A_{12}}}&{{A_{13}}}\\{{A_{21}}}&{{A_{22}}}&{{A_{23}}}\\{{A_{31}}}&{{A_{32}}}&{{A_{33}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\{{A_{*,1}}}&{{A_{*,2}}}&{{A_{*,3}}}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \end{array}} \right]\]

其中

\[{{\bf{A}}_{*,1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}}\\{{A_{21}}}\\{{A_{31}}}\end{array}} \right],{{\bf{A}}_{*,2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{12}}}\\{{A_{22}}}\\{{A_{32}}}\end{array}} \right],{{\bf{A}}_{*,3}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{13}}}\\{{A_{23}}}\\{{A_{33}}}\end{array}} \right]\]

在这种记法中,第2个索引指定列标,第1个索引以星号(*)表示我们引用的是整个列向量。

我们现在对矩阵上的判等运算、加法运算、标量乘法运算和减法运算做以定义:

1.当且仅当两个矩阵的对应元素相等时,这两个矩阵相等;这两个矩阵必须具有相同的行数和列数,才能进行比较。

2.矩阵加法是对两个矩阵的对应元素相加;只有在两个矩阵的行数和列数相同的情况下,矩阵加法才有意义。

3.矩阵的标量乘法是将一个标量和矩阵中的每个元素相乘。

4.矩阵减法可以由矩阵加法和标量乘法表示。也就是,AB = A + (−1 • B) = A + (−B )。

例 2.2

\[{\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\{ - 2}&3\end{array}} \right],{\bf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&2\\5&{ - 8}\end{array}} \right],{\bf{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\{ - 2}&3\end{array}} \right],{\bf{D}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\ - 6\end{array}&\begin{array}{l}1\\3\end{array}&\begin{array}{l} - 3\\0\end{array}\end{array}} \right]\]

则,

(ⅰ)\({\bf{A}} + {\bf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\{ - 2}&3\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&2\\5&{ - 8}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 6}&{5 + 2}\\{ - 2 + 5}&{3 + ( - 8)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&7\\3&{ - 5}\end{array}} \right]\)

(ⅱ)A = C

(ⅲ) \(3{\bf{D}} = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\ - 6\end{array}&\begin{array}{l}1\\3\end{array}&\begin{array}{l} - 3\\0\end{array}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3(2)\\3( - 6)\end{array}&\begin{array}{l}3(1)\\3(3)\end{array}&\begin{array}{l}3( - 3)\\3(0)\end{array}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}6\\ - 18\end{array}&\begin{array}{l}3\\9\end{array}&\begin{array}{l} - 9\\0\end{array}\end{array}} \right]\)

(ⅳ)\({\bf{A}} - {\bf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\{ - 2}&3\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&2\\5&{ - 8}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 6}&{5 - 2}\\{ - 2 - 5}&{3 - ( - 8)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&3\\{ - 7}&{11}\end{array}} \right]\)

因为矩阵加法和标量乘法是逐元素进行的,所以矩阵也继承了实数的加法和标量乘法的性质:

1.A + B = B + A

2.(A + B ) + C = A + ( B + C)

3.r(A + B ) = rA + rB

4.( r + s )A = rA + sA

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发布时间:2014/9/12 21:05:23  阅读次数:3688

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