1.4 叉积

叉积（cross product）是向量数学定义的第二种乘法形式。它与点积不同，点积的计算结果是一个标量，而叉积的计算结果是一个向量；另外，叉积只能用于3D向量（2D向量没有叉积）。通过对两个3D向量u和v计算叉积，可以得到第3个向量w，该向量同时垂直于u和v。也就是说，w既垂直于u，w也垂直于v（参见图1.13）。设u=（u_x,u_y,u_z），v=（v_x,v_y,v_z），则叉积为：

\({\bf{w}} = {\bf{u}} \times {\bf{v}} = ({u_y}{v_z} - {u_z}{v_y},{u_z}{v_x} - {u_x}{v_z},{u_x}{v_y} - {u_y}{v_x})\)   （1.5）

注意：如果你处理的是一个右手坐标系，则需要使用右手拇指定则（right-hand-thumb rule）：如果抬起右手，将拇指之外的其他4个手指指向第一个向量u的方向，然后朝着v的方向沿角度0≤θ≤π弯曲手指，此时拇指所指的方向即为w=u×v的方向。

【例1.6】

设u= (2, 1,3)、v= (2, 0,0)。计算w=u×v和z=v×u，并验证w既垂直于u，也垂直于v。由公式1.5可得，

w=u×v

= (2, 1,3)×(2, 0,0)

= (1 ∙ 0 − 3 ∙ 0,3 ∙ 2 − 2 ∙ 0,2 ∙ 0 − 1 ∙ 2)

= (0, 6, −2)

和

z=v×u

= (2, 0,0) × (2, 1,3)

= (0 ∙ 3 − 0 ∙ 1,0 ∙ 2 − 2 ∙ 3,2 ∙ 1 − 0 ∙ 2)

= (0, −6,2)

该结果说明u×v≠v×u。也就是，叉积不支持交换律。实际上，它可以表达为u×v= −v×u。读者可以通过左手拇指定则来判断由这个叉积得出的向量。如果你从第1个向量朝着第2个向量的方向卷曲手指时（通常选择角度最小的路径），你的拇指会指向最终得到的向量的方向，如图1.13所示。为了说明w既垂直于u，也垂直于v，我们回顾1.3节的内容：如果u∙v=0，则u⊥v（即，向量相互垂直）。因为

w∙u= (0, 6, −2) ∙ (2, 1,3) =0 ∙ 2 +6 ∙ 1+ (−2) ∙ 3 =0

和

w∙v= (0, 6, −2) ∙ (2, 0,0) =0 ∙ 2 +6 ∙ 0+ (−2) ∙ 0 =0

我们得出结论：w既垂直于u，也垂直于v。

1.4.1 2D伪叉积

叉积可以计算垂直于给定两个3D向量的向量。在2D的情况中，并不存在这种情况，但我们常常要求出垂直于给定2D向量u = (u_x,u_y)的向量v。图1.14展示了这种操作的几何图景，从图中可以看出v = (-u_y, u_x)。数学证明很简单：

u•v= (u_x,u_y)•(-u_y,u_x)= -u_xu_y+ u_yu_x= 0

所以u⊥v。而u•-v=u_xu_y+ u_y(-u_x) =0，也为零，所以还能得出结论：u⊥-v。

1.4.2 使用叉积进行正交规范化

在1.3.1节中，我们介绍了一种正交化一组向量的处理方法。对3D的情况来说，还可以使用叉积对一组向量（这些向量近似正交，但由于数值累积精度的误差，会变得不再正交）进行正交规范化操作。可参见图1.15理解这个过程的几何图景：

1．令\({{\bf{w}}_0} = \frac{{{{\bf{v}}_0}}}{{\left\| {{{\bf{v}}_0}} \right\|}}\)

2．令\({{\bf{w}}_2} = \frac{{{{\bf{w}}_0} \times {{\bf{v}}_1}}}{{\left\| {{{\bf{w}}_0} \times {{\bf{v}}_1}} \right\|}}\)

3．令\({{\bf{w}}_1} = {{\bf{w}}_2} \times {{\bf{w}}_0}\)。由后面的练习14可知，因为w₂⊥w₀且||w₂||=||w₀||=1，所以||w₂×w₀||=1，这样我们就无需进行规范化操作了。

至此，完成了向量集{w₀,w₁,w₂}的正交规范化处理。

注意：在前面的示例中，我们首先令\({{\bf{w}}_0} = \frac{{{{\bf{v}}_0}}}{{\left\| {{{\bf{v}}_0}} \right\|}}\)，表示从v₀变化到w₀并没有改变向量的方向，只是改变了大小。但是，w₁和w₂的方向与v₁和v₂的方向并不相同。根据应用程序的需要，选择哪个向量不改变方向可能会很重要。例如，本书的后面我们将会使用三个正交向量{v₀,v₁,v₂}代表相机的朝向，其中第三个向量v₂表示相机的观察方向。当正交规范化这三个向量时，我们常常不想改变观察的方向，因此，我们会首先使用上面的算法处理v₂，然后修改v₀和v₁生成正交向量。

发布时间：2014/9/10 下午8:59:53  阅读次数：4843