1.2 长度和单位向量

在几何学中,向量的大小等于有向线段的长度。我们用双竖线来表示向量的大小(例如,‖u‖表示u的大小)。现在,给出一个向量u=(x,y,z),我们希望以代数方式计算它的大小。通过运用两次毕达哥拉斯定理可以计算出3D向量的大小(译者注:毕达哥拉斯定理和勾股定理的概念相同,换言之,毕达哥拉斯定理就是勾股定理);参见图1.8。

图1.8
图1.8 通过运用两次毕达哥拉斯定理计算3D向量的长度。

首先,我们来看xz平面上的三角形边xz及斜边a。由毕达哥拉斯定理可知a=x2+z2 。现在来看三角形边ay及斜边‖u‖。通过再次使用毕达哥拉斯定理,可以得到如下求模公式:

u=y2+a2=y2+(x2+z2)2=x2+y2+z2    (1.1)

在某些应用中,我们不关心向量的长度, 只希望用向量来表示一个单纯的方向。对于这种只表示方向、不表示大小的向量,我们希望将其长度精确地设定为1。当我们想要让一个向量具有单位长度时,我们说要对该向量进行规范化。我们将向量的每个分量除以该向量的模,得到规范化向量:

u^=uu=(xu,yu,zu)    (1.2)

要验证这个公式的正确性,只需计算u^的长度即可:

u^=(xu)2+(yu)2+(zu)2=x2+y2+z2u2=uu=1

因此, u^确实是一个单位向量。

例1.3

对向量v= (−1,3,4) 进行规范化。我们计算v=(1)2+32+42=26 。则, v^=vv=(126,326426)

要验证v^是否为单位向量,只需计算它的长度:

v^=(126)2+(326)2+(426)2=126+926+1626=1=1

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发布时间:2014/9/7 下午8:57:55  阅读次数:5422

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