1.2 长度和单位向量

在几何学中，向量的大小等于有向线段的长度。我们用双竖线来表示向量的大小（例如，‖u‖表示u的大小）。现在，给出一个向量u=(x,y,z)，我们希望以代数方式计算它的大小。通过运用两次毕达哥拉斯定理可以计算出3D向量的大小（译者注：毕达哥拉斯定理和勾股定理的概念相同，换言之，毕达哥拉斯定理就是勾股定理）；参见图1.8。

首先，我们来看xz平面上的三角形边x、z及斜边a。由毕达哥拉斯定理可知$a=\sqrt{x^2+z^2}$ 。现在来看三角形边a、y及斜边‖u‖。通过再次使用毕达哥拉斯定理，可以得到如下求模公式：

$\parallel \mathbf{u}\parallel =\sqrt{y^2+a^2}=\sqrt{y^2+{(\sqrt{x^2+z^2})}^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$    （1.1）

在某些应用中，我们不关心向量的长度， 只希望用向量来表示一个单纯的方向。对于这种只表示方向、不表示大小的向量，我们希望将其长度精确地设定为1。当我们想要让一个向量具有单位长度时，我们说要对该向量进行规范化。我们将向量的每个分量除以该向量的模，得到规范化向量：

$\hat{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{u}}{\parallel \mathbf{u}\parallel }=\left(\frac{x}{\parallel \mathbf{u}\parallel },\frac{y}{\parallel \mathbf{u}\parallel },\frac{z}{\parallel \mathbf{u}\parallel }\right)$    (1.2)

要验证这个公式的正确性，只需计算$\hat{\mathbf{u}}$的长度即可：

$$\parallel \hat{\mathbf{u}}\parallel =\sqrt{{\left(\frac{x}{\parallel \mathbf{u}\parallel }\right)}^2+{\left(\frac{y}{\parallel \mathbf{u}\parallel }\right)}^2+{\left(\frac{z}{\parallel \mathbf{u}\parallel }\right)}^2}=\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{{\parallel \mathbf{u}\parallel }^2}}=\frac{\mathbf{u}}{\parallel \mathbf{u}\parallel }=1$$

因此， $\hat{\mathbf{u}}$确实是一个单位向量。

例1.3

对向量v= (−1,3,4) 进行规范化。我们计算$\parallel \mathbf{v}\parallel =\sqrt{{(-1)}^2+3^2+4^2}=\sqrt{26}$ 。则， $\hat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}}{\parallel \mathbf{v}\parallel }=\left(-\frac{1}{\sqrt{26}},\frac{3}{\sqrt{26}}\frac{4}{\sqrt{26}}\right)$

要验证$\hat{\mathbf{v}}$是否为单位向量，只需计算它的长度：

$$\parallel \hat{\mathbf{v}}\parallel =\sqrt{{\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)}^2+{\left(\frac{3}{\sqrt{26}}\right)}^2+{\left(\frac{4}{\sqrt{26}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{26}+\frac{9}{26}+\frac{16}{26}}=\sqrt{1}=1$$

发布时间：2014/9/7 下午8:57:55  阅读次数：5439