18.5 在切线空间和物体空间之间变换

现在，我们在网格的每个顶点上都有一个正交TBN基，而且还有相对于网格物体空间的TBN向量坐标。所以，我们现在可以得到一个相对于物体空间坐标系的TBN矩阵，通过该矩阵我们可以将坐标从切线空间变换到物体空间：

$${\mathbf{M}}_{object}=\left[\begin{array}{ccc}{T}_x& T_y& T_z\\ B_x& B_y& B_z\\ N_x& N_y& N_z\end{array}\right]$$

由于该矩阵是正交矩阵，它的逆矩阵和转置矩阵相同。所以，从物体空间到正切空间的坐标转换矩阵为：

$${\mathbf{M}}_{tangent}={\mathbf{M}}_{object}^{-1}={\mathbf{M}}_{object}^T=\left[\begin{array}{ccc}{T}_x& B_x& N_x\\ T_y& B_y& N_y\\ T_z& B_z& N_z\end{array}\right]$$

为了在着色器代码中进行光照计算，我们希望将法线向量从正切空间变换到世界空间。一种实现方式是，先将法线向量从正切空间变换到物体空间，然后再从物体空间变换到世界空间：

 n_world = (n_tangentM_object)M_world

不过，矩阵乘法满足结合律，所以我们可以把它改写为：

n_world = n_tangent(M_objectM_world)

注意

$${\mathbf{M}}_{object}{\mathbf{M}}_{world}=\left[\begin{array}{c}\leftarrow \mathbf{T}\to \\ \leftarrow \mathbf{B}\to \\ \leftarrow \mathbf{N}\to \end{array}\right]{\mathbf{M}}_{world}=\left[\begin{array}{c}\leftarrow {\mathbf{T}}^{\prime }\to \\ \leftarrow {\mathbf{B}}^{\prime }\to \\ \leftarrow {\mathbf{N}}^{\prime }\to \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{T^{\prime }}_x& {T^{\prime }}_y& {T^{\prime }}_z\\ {B^{\prime }}_x& {B^{\prime }}_y& {B^{\prime }}_z\\ {N^{\prime }}_x& {N^{\prime }}_y& {N^{\prime }}_z\end{array}\right]$$

其中，Tʹ = T•M_world、Bʹ = B•M_world、Nʹ = N•M_world。这样，法线向量可以直接从正切空间变换到世界空间。我们只需要描述在世界空间中的TBN基，就可以将法线向量从物体空间变换到世界空间。

注意：我们只对向量进行变换（不考虑点的变换）。所以，我们只需要一个3×3矩阵。前面讲过，仿射矩阵的第4行用于平移，但是我们在这里不需要平移向量。

发布时间：2014/8/23 下午7:51:50  阅读次数：4405