第23届全国物理预赛

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1.如图所示,弹簧S1的上端固定在天花板上,下端连一小球A,球A与球B之间用线相连。球B与球C之间用弹簧S2相连。A、B、C的质量分别为mAmBmC,弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在静止状态。现将A、B间的线突然剪断,求线刚剪断时A、B、C的加速度。

【答案】

\(\frac{{({m_{\rm{B}}} + {m_{\rm{C}}})g}}{{{m_{\rm{A}}}}}\);\(\frac{{({m_{\rm{B}}} + {m_{\rm{C}}})g}}{{{m_{\rm{B}}}}}\);零

 

1.两个相同的条形磁铁,放在平板AB上,磁铁的N、S极如图所示,开始时平板及磁铁皆处于水平位置,且静止不动。

(1)现将AB突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触),并使之停在AʹBʹ处,结果发现两个条形磁铁碰在一起。

(2)如果将AB从原来位置突然竖直向上平移(磁铁与平板间始终相互接触),并使之停在AʺBʺ处,结果发现两个条形磁铁也碰在一起。

试定性地解释上述现象。

【答案】

开始时每一磁铁受到另一磁铁的磁吸引力与板对它的静摩擦力平衡,所以静止不动。

(1)从板突然向下平移到停下是先向下加速后向下减速运动,板向下加速时,磁铁对板的弹力减小,最大静摩擦力也减小,当最大静摩擦力小于磁吸引力时,磁铁就沿板相向运动并吸在一起。

(2)从板突然向上平移到停下是先向上加速后向上减速运动,板向上减速时,磁铁对板的弹力减小,最大静摩擦力也减小,当最大静摩擦力小于磁吸引力时,磁铁就沿板相向运动并吸在一起。

 

2.老爷爷的眼睛是老花眼。

(1)一物体P放在明视距离处,老爷爷看不清楚。试在示意图1中画出此时P通过眼睛成像的光路示意图。

(2)戴了一副300度的老花镜后,老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P,试在示意图2中画出P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。

(3)300度的老花镜的焦距f=_________m。

【答案】

(3)\(\frac{1}{3}\)

 

2.有两个凸透镜,它们的焦距分别为f1f2,还有两个凹透镜,它们的焦距分别为f3f4。已知f1f2>|f3|>|f4|。如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒望远镜,要求能看到放大倍数尽可能大的正立像,则应选取焦距为_____的透镜作物镜,应选取焦距为_____的透镜为目镜。

【答案】

f1f4

 

3.如图所示,电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处,电荷量为q2的正点电荷固定在x轴上,两电荷相距l,已知q2=2q1

(1)求在x轴上场强为零的P点的坐标。

(2)若把一电荷量为q0的点电荷放在P点,试讨论它的稳定性(只考虑被限制在沿x轴运动和被限制在垂直于x轴方向运动这两种情况)。

【答案】

(1)x0=(\(\sqrt 2 \)-1)l

(2)点电荷被限制在沿x轴运动的情况:

P点合场强为零,所以是平衡位置。在x轴上P点右侧处,q1产生的场强变小,q2产生的场强增大,合场强沿x轴负方向,在x轴上P点左侧处,q1产生的场强变大,q2产生的场强减小,合场强沿x轴正方向。

q0>0时,它在P点附近所受电场力是指向的P点,所以P点是稳定平衡位置;当q0<0时,它在P点附近所受电场力是背离的P点,所以P点是不稳定平衡位置。

点电荷被限制在沿垂直于x轴方向运动的情况:

在P点两侧附近,点电荷q1q2产生的合场强沿垂直于x轴分量的方向都背离P点,所以,当q0>0时,P点是不稳定平衡位置;当q0<0时,P点是稳定平衡位置。

 

3.有一个静电场,其电势U随坐标x的改变而变化,变化的图线如图1所示,试在图2中画出该静电场的场强Ex变化的图线(设场强沿x轴正方向时取正值,场强沿x轴负方向时取负值)。

 

【答案】

第23届全国预赛3(2)

 

4.一根长为L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管,一端封闭,一端开口,处于大气中。大气压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等,已知管长LH。现把细管弯成L形,如图所示。假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气泄出。当细管弯成L形时,以l表示其竖直段的长度,问l取值满足什么条件时,注入细管的水银量为最大值?给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示)

【答案】

lLH时,x有最大值xmLH

 

5.一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负电子都以速率v绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素,电子的质量m、速率v和正、负电子间的距离r的乘积也满足量子化条件,即

mrvnh/2π

式中n称为量子数,可取整数值1,2,3,…;h为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差。

【答案】

rn=\(\frac{{{n^2}{h^2}}}{{2{\pi ^2}k{e^2}m}}\),n=1,2,3,…

ΔE=\(\frac{{3{\pi ^2}{k^2}{e^4}m}}{{4{h^2}}}\)

 

6.如图所示,两个金属轮A1、A2,可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和O2转动,O1和O2相互平行,水平放置,每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成,A1轮的辐条长为a1、电阻为R1,A2轮的辐条长为a2、电阻为R2,连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起。一轻绳的一端固定在D边缘上的某点,绳在D上绕足够匝数后,悬挂一质量为m的重物P,当P下落时,通过细绳带动D和A1绕O1轴转动。转动过程中,A1、A2保持接触,无相对滑动;两轮与各自细轴之间保持良好的电接触,两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连,除R和两轮A1、A2中辐条的电阻外,所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向与转轴平行。现将P释放,试求P匀速下落时的速度。

【答案】

v=\(\frac{{mg(4R + {R_1} + {R_2})a_0^2}}{{{B^2}a_1^2{{({a_1} + {a_2})}^2}}}\)

 

7.图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为R,圆筒的轴线在O处,圆筒内有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感应强度为B。筒壁的H处开有小孔,整个装置处在真空中。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒,经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设:筒壁是光滑的,P与筒壁碰撞是弹性的,P与筒壁碰撞时其电量是不变的。若要使P与筒壁碰撞的次数最少,问:

(1)P的速率应为多少?

(2)P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?

【答案】

(1)v=\(\frac{{\sqrt 3 qBR}}{m}\)

(2)t=\(\frac{{\pi m}}{{qB}}\)

 

8.图中正方形ABCD是水平放置的固定的横梁的横截面,AB是水平的,截面的边长为l,一根长为2l的柔软的轻细绳,一端固定在A点,另一端系一质量为m的小球,初始时,手持小球,将绳拉直,绕过B点使小球处于C点。现给小球一竖直向下的初速度v0,使小球与CB边无接触地向下运动,当v02分别取下列两值时,小球将打到梁上的何处?

(1)v02=2(6\(\sqrt 2 \)+3\(\sqrt 3 \)-1)gl

(2)v02=2(3\(\sqrt 3 \)+11)gl

设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。

【答案】

(1)x=0.335l

(2)C点

 

9.从赤道上的C点发射州际导弹,使之精确地击中北极点N,要求发射所用的能量最少,假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体,R=6400 km。已知质量为m的物体在地球引力作用下做椭圆运动时,其能量E与椭圆半长轴a的关系是E=-G\(\frac{{Mm}}{{2a}}\)。式中M为地球质量,G为引力常量。

(1)假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与地心O到发射点C的连线的夹角表示)。

(2)若考虑地球自转,则最小发射速度的大小为多少?

(3)试导出E=-G\(\frac{{Mm}}{{2a}}\)。

【答案】

(1)v=7.2km/s,θ=67.5°。

(2)vʹ=7.4 km/s

(3)由\(\frac{1}{2}\)mv12G\(\frac{{Mm}}{{{r_1}}}\)=\(\frac{1}{2}\)mv22G\(\frac{{Mm}}{{{r_2}}}\)、\(\frac{1}{2}\)r1v1=\(\frac{1}{2}\)r2v2r1r2=2a

可解得:\(\frac{1}{2}\)mv22G\(\frac{{Mm{r_1}}}{{2a{r_2}}}\),

所以E=\(\frac{1}{2}\)mv22G\(\frac{{Mm}}{{{r_2}}}\)=-G\(\frac{{Mm}}{{2a}}\)

 

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