天体质量的估算

早在80年代初,我国的物理学界就发现,在美国的研究生考题中,需要作不同程度近似处理的题目占相当比重。这类题目涉及面较广,需要考生在考场里迅速作出判断,抓住问题实质,采取有效的近似方法一针见血地加以解决。如果企图严格求解,往往劳神费时,不得要领。只有在平时学习中概念清楚、基本功扎实、善于作物理性思考的学生,才能较有把握地对付这类问题。本节我们研究如何估算太阳、地球、月亮的质量问题。

1.太阳质量的估算

我们已经测得地球绕太阳运行的平均周期为T=3.156×107秒,地球绕太阳公转半径R=1.5×1011米,于是,根据太阳对地球的引力就是地球绕太阳公转的向心力观点,可求出太阳的质量。即:

GMm/R2 =mv2/R     (1)

式中G=6.67×10-11牛顿•米2/千克2为万有引力常数,M日为太阳的质量待求,m为地球质量,R=1.5×10-11米为太阳与地球间的平均距离,v为地球绕太阳运行的线速度。因为地球绕太阳运行的平均周期T已知,故地球绕太阳运行的线速度v可用T来表示,即:

v=2πR/T         (2)

把(2)式代入(1)式,可得太阳质量为:

M=4π2R3/GT2                   (3)

把以上G、R、T和π的数值同时代入(3)式可得: M≈2.00×1030(千克)请读者注意,以上我们所求得的太阳质量只是一种粗略估计值,之所以是估计值,是因为:第一,实际上太阳和地球均不是一个质量均匀分布的球体;第二,地球绕太阳公转轨道并不是圆周,而是以太阳为焦点的椭圆;第三,在考察地球绕太阳的运动时,把太阳看作固定力心也有一定的近似性。实际上,研究地球绕太阳的运动是属于近似孤立两体问题,若把太阳作为固定力心,则(1)式中右边的m要用所谓的折合质量(或称为约化质量):

μ=Mm/(M+m)          (4)

代替。

2.地球质量的估算

在地球表面上的物体受到地球的引力大小是:

F=GMm/R2          (1)

式中G是万有引力常数,M是地球质量,m是物体的质量,R是地球的半径。由于这个力物体将得到的加速度正是重力加速度g,所以根据牛顿第二定律F=mg,我们可以得到:

GM/R2 =g           (2)

式中G最早可从卡文迪许实验中测得,g可以从单摆实验中测得,R可以从地面测量中求得,于是地球的质量M地就可以从(2)式算出。现把目前公认的G=6.67×10-11牛顿•米2/千克2,g=9.80米/秒2,R=6.37×106米,三个数据代入(2)式,可得:

M地=gR2/G ≈5.97×1024(千克)

必须指出,这里所求出的地球质量同样只是一种比较粗略的估计,因为地球不是一个质量均匀分布的圆球体,地球还在转动,重力加速度g的数值在地面上的不同地点也不相同。更精确地测量地球的质量还要加许多修正。

3.月球质量的估算

月球质量的估算可利用地球与月球组成的二体系统运动规律来解决。

图1-21

由牛顿运动定律可知,地球和月球绕它们的质心作椭圆运动,运动的周期为一个月。如图1-21所示,从观察其他行星的天空位置,可以测定地球和月球绕它们质心运动情况,并测得地心到质心的距离r1=4.645×106米,月心到质心的距离r2=3.78×108米。由质心定义可得:

m/m =r2/r1          (1)

于是,可得月球的质量为:

m=r1m/r2=≈7.35×1022(千克)

式中m地我们用了目前公认的数值,即m=5.98×1024千克。

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发布时间:2009/5/11 10:10:11  阅读次数:10504

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