1.8 牛顿以后力学的发展

1.8.1 “运动的量度”之争

牛顿关于“运动的量是运动的度量，可由速度和物质的量共同求出”的定义，在当时不是没有争议的。争论的起因在于“力”的概念一直含混不清。17—18 世纪，有关“运动的量度”问题，在笛卡儿学派和莱布尼茨学派之间发生了一场旷日持久的争论。

牛顿支持笛卡儿的观点，认为从运动量守恒的基本定律出发，应该把物体的质量和速度的乘积作为“力”或物体的“运动量”的量度。他通过运动第二定律揭示出在物体的相互作用中，正是动量这个物理量反映了运动的变化。

1686 年，德国数学家、物理学家和哲学家莱布尼茨（G．W．F．v．Leibniz，1646—1716）在《学术纪事》上发表论文，对笛卡儿学派发起挑战。他认为，使一英磅重的物体下落四英尺和使四英磅重的物体下落一英尺，这两种情况下所得的效果相同，因为它们引起的形变相同。但是这里，两种落体运动得到的动量 mv 却不相等，而是质量与速度平方的乘积 mv² 相等。因此，应该用 mv² 来量度运动量。

后来，科里奥利（G．G．Coriolis，1792—1843）提出以 \(\frac{1}{2}\)mv² 代替 mv²，这就是现在的动能表示式。

莱布尼茨在 1696 年指出，mv 是“死力”的量度，即相对静止的物体之间的力的量度；而 mv² 则是“活力”的量度，宇宙中真正守恒的东西是“活力”的总和。

两派意见针锋相对。许多物理学家和哲学家参加了这场争论，这场争论持续了半个世纪之久。

1743 年，法国科学家达朗贝尔（J．R．d’Alembert，1717—1783）在他的《动力学论》的序言中，指出了两种量度都是有效的，但是用在不同的地方。他认为，当物体平衡时，“运动物体的力”用 mv 来量度；当物体受障碍而停止时，只能用物体克服障碍的能力来表示，这时就要用 mv² 来量度。

达朗贝尔对这场争论所作的这个“最后的判决”，模糊地谈到了动量的变化和力的作用时间有关，活力的变化和力的作用距离有关，但是还没有完全澄清这一争论的混乱，恩格斯在 1880 年或 1881 年所写的《运动的量度——功》一文中，根据当时自然科学的最新成就，揭示了两种量度的本质区别。他指出，在不发生机械运动和其他形式的运动的转化的情况下，运动的传递和变化的情况可以用动量去量度；但当发生了机械运动和其他形式的运动的转化的情况下，则应以动能（或活力）去量度。他说：“一句话，mv 是在机械运动中量度的机械运动；mv² 是在机械运动转化为一定量的其他形式的运动的能力方面来量度的机械运动。”[1]

1738年，D．伯努利在他的《流体动力学》中引进“势函数”概念，并用之于理想流体运动，得到了所谓的伯努利方程。这实际上是运用在流体运动的机械能守恒原理。

1.8.2 从达朗贝尔原理到分析力学理论体系的建立

进入18世纪，以牛顿三定律为基础的力学体系继续发展，目的是要寻找一种比牛顿定律更广泛、更简便的普遍原理。这时相继出现了虚功原理、达朗贝尔原理、最小作用原理和哈密顿原理。能量和功函数被意义更普遍的拉格朗日函数和哈密顿函数取代，引入了广义坐标和代数方法，从而形成了分析力学。分析力学的基本理论体系表现为微分形式和积分形式两种可以相互推证的等价形式。所谓微分形式，就是从虚速度原理和达朗贝尔原理得到拉格朗日的动力学普遍方程，进而推广为拉格朗日方程（自由参数的一般动力学方程）和正则方程。所谓积分形式，就是从最小作用原理发展到哈密顿原理。

虚速度原理是 1715 年由 J．伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）提出的，他认为，如果物体所受诸力平衡，则各力与沿各力的方向上的虚速度之乘积的总和必等于零。

拉格朗日在他的《分析力学》一书（1788年）中，把虚速度原理看成是一个普遍原理，他写道：“如果某一由任意多个物体或质点组成的系统，受到任意力的作用而处于平衡，并且给以任何小的位移，使各点分别进行一无穷小的距离，此即为其虚速度，则在我们把沿力的方向之距离称为正，反之为负时，各力分别乘以沿受力点力的方向所移动之距离的乘积之总和始终等于零。”[2]

在 1829 年科里奥利和彭塞勒（J．V．Poncelet）建立了“功”的概念之后，这一原理被称为“虚功原理”。

首先把积分学应用于运动物体力学的是欧拉（1736 年）。

1743 年达朗贝尔在《动力学论》一书中引进了“惯性力”的概念，提出受约束质点的动力学原理。他把牛顿第二定律表示的运动方程，看成是一个平衡力系，从而把动力学问题化为静力学问题进行处理。这就是“达朗贝尔原理”。

1788 年拉格朗日在《分析力学》一书中，把虚位移原理和达朗贝尔原理结合起来，把质点（质量为 m_i）所受外力 F_i、惯性力（− m_ia_i）和可能的位移 δs_i 列在一个普遍的质点动力学方程中，

\[\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{F_i} + ( - {m_i}{a_i})} \right]}  \cdot \delta {s_i} = 0\]

这个方程概括了整个力学体系，并可由此推出力学的其他定理和方程。

接着，拉格朗日又引入了广义坐标 q_i 和广义速度 \({\dot q_i}\) 以及广义力 Q_i，把上述普遍方程变换成自由参数的普遍动力学方程：

\[\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_i}}}} \right) - \frac{{\partial L}}{{\partial {q_i}}} = {Q_i}\]

其中 L = T − V，称为拉格朗日函数，表示整个力学体系的动能与势能之差。

1782 年拉普拉斯（M．de Laplace，1749—1827）证明引力势函数 V 总是满足微分方程

\[{\nabla ^2}V = \frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {z^2}}} = 0\]

这就是普遍适用于势场的拉普拉斯方程。可以说，这一方程构成了分析力学微分形式的核心。

另一方面，1744 年，莫泊丢（P．L．M．Maupertuis，1698—1759）提出最小作用量原理，由此发展起来的变分原理，构成了分析力学的积分形式。

“最小观念”在近代物理学的发展中占有重要地位。最早的成功范例就是费马原理，是 1658 年费马（P．Fermat，1601—1665）提出的，他曾经指出，光线在媒质中循最短光程传播。牛顿第一运动定律实际上也隐讳地具有物体的匀速直线运动走的距离最短的含义。

1744 年，莫泊丢提出“最小作用原理”，指出体系实际发生的运动，是使某一作用量取最小值的运动。

拉格朗日在 1755 年第一个称这种方法为“变分方法”。5 年后，他把这一原理推广到一切物体的运动，明确规定了“作用量”的定义，即：运动量的空间积分或动能的时间积分的二倍。

真正以积分形式处理分析力学的是哈密顿（William Rowand Hamilton，1805—1865）。他以公设的方式提出了所谓的哈密顿原理。1835 年他把作用量写成

\[\int_{{t_0}}^{{t_1}} {L({q_1}, \ldots ,{q_n};{{\dot q}_1}, \cdots ,{{\dot q}_n};t)} {\rm{d}}t\]

并且得出结论：受有理想约束的保守力学体系从时刻 t₀ 的某一已知位形转移到时刻 t₁ 的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使体系的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取极值。其数学表示式为：

\[\delta \int_{{t_0}}^{{t_1}} L {\rm{d}}t = 0\]

也就是说，实际发生的运动使作用量 \(\int_{{t_0}}^{{t_1}} L {\rm{d}}t\) 的变分等于零。

哈密顿原理更深刻地揭示了客观事物之间的紧密联系，它把力学原理归结为更一般的形式。

此外，哈密顿还提出了所谓的哈密顿函数

\[H = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{q_i} - L(q,\dot q)} \]

和所谓的哈密顿正则方程

\[\frac{{\partial H}}{{\partial {q_i}}} =  - {{\dot p}_i},\frac{{\partial H}}{{\partial {p_i}}} = {{\dot q}_i}\]

其中 H = T + V，i = 1，2，…，n。

在量子力学还未建立之前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。量子力学建立以后，才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。值得指出的是，分析力学对于量子力学的建立，特别是哈密顿函数和哈密顿正则方程对于薛定谔方程的建立，起到了重要的桥梁作用。

[1] 恩格斯著，于光远译．自然辩证法.人民出版社，1984．184

[2] Magie W F．A Source Book in Physics．MeGraw-Hill，1935．61

发布时间：2024/1/27 21:41:43  阅读次数：329