第七章 第三节 动能 动能定理

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图 7–18  长江三峡水利枢纽

 

在初中我们已经知道，物体由于运动而具有的能量称为动能（kinetic energy）。运动物体的动能与物体的质量和速度有关。人类活动中，利用动能的实例很多。图7–18所示的长江三峡水利枢纽，主要就是利用水流由高处下落后的巨大动能发电。图7–19所示是明代宋应星所著《天工开物》中记载的我国古代的一种农业机械——水碾，水碾也是利用水的动能做功的装置。

如图 7–20 所示，质量为 m 的物体沿水平面向右做匀加速直线运动。物体在初始位置 A 时的瞬时速度为 v₀，经过位置 B 时的瞬时速度为 v_t。物体的位移为 s。

图 7–20  物体向右做直线运动

 

由于物体做匀加速直线运动，所以物体所受合力 F_合 为恒力，设物体的加速度为 a，根据牛顿第二定律

                          \[{F_合} = ma \tag{1}\label{1}\]

由匀加速直线运动的规律                  \[a = \frac{{v_t^2 - v_0^2}}{{2s}} \tag{2}\label{2}\]

将式（2）代入式（1）可得                             \({F_合} = m\left( {\frac{{v_t^2 - v_0^2}}{{2s}}} \right)\)

整理后得                                              \({F_合}s = \frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2\)

令                                                                  \({E_{kt}} = \frac{1}{2}mv_t^2\)  ，\({E_{k0}} = \frac{1}{2}mv_0^2\)

则\[{F_合}s = {E_{kt}} - {E_{k0}}\tag{3}\label{3}\]

式（3）左边为合力对物体所做的功，E_k0 和 E_kt 与功的单位相同。我们把物体的质量与速度的二次方乘积的一半，称为物体的动能，用符号 E_k 表示，即

\[\color{#357A4A}{{E_k} = \frac{1}{2}m{v^2}}\]

E_k0、E_kt 分别为物体在 A、B 两个位置的动能，E_k0 为初位置的动能，E_kt 为末位置的动能。

动能是标量，动能的单位是千克·米² / 秒²（kg·m²/s²），也就是焦耳（J）。动能和速度一样，是描述物体运动状态的重要物理量。

具有动能的物体可以对其他物体做功。如图 7–21 所示，水电站通过大坝将高处的水流集中后引至低处的水力发电机组，水流对发电机组中水轮机的涡轮（图 7–22）产生冲击作用并使之转动，涡轮则带动与其连接的发电机发电。

 

人们很早就利用空气的动能通过风车来抽水、磨面……现在，人们感兴趣的是如何利用风发电。风力发电就是利用空气流动的动能带动风力发电机（图 7–23）的叶片旋转，再通过齿轮增速箱提升旋转的速度来驱动发电机发电。根据目前的技术，风速约 3 m/s时风力发电机便可以开始发电。风力发电具有廉价、清洁、可再生等优点。

除了发电以外，水切割机利用高速射流的动能进行高效率的冷切割加工，具有对切割材质理化性能无影响、无热变形、切缝窄、精度高、切面光洁、无污染等优点。20世纪80年代提出的动能武器——动能拦截弹能通过直接碰撞的方式，拦截并摧毁诸如卫星或导弹弹头等高速飞行的目标。

 

 

具有动能的物体可以做功，对物体做功也可以改变物体的动能。

F_合s = E_kt − E_k0 反映了合力对物体所做的功与物体动能变化之间的关系，即物体受到的合力所做的功等于物体动能的变化量。这一规律被称为动能定理（theorem of kinetic energy）。动能定理的表达式也可以写成

\[{W_合} = \Delta {E_{\rm{k}}} = {E_{{\rm{k}}t}} - {E_{{\rm{k}}0}}\]

式中，W_合 为合力对物体所做的功或各力对物体做功的代数和，ΔE_k 表示动能变化量，E_kt 为末动能，E_k0 为初动能。

当 W_合 ＞ 0 时，ΔE_k ＞ 0，表示合力做正功，动能增加；当 W_合 ＜ 0 时，ΔE_k ＜ 0，表示合力做负功，动能减小。

我们虽然是从受恒力作用的物体做匀加速直线运动的过程推导得到动能定理，但是进一步的理论推导可以证明，动能定理对于变力做功和物体做曲线运动的过程依然成立。

从牛顿第二定律出发，可以导出动能定理。这表明动能定理是牛顿第二定律的一个推论，由牛顿第二定律还可以推演出其他重要的力学定理，这体现了牛顿力学的简约美。

 

示例  如图 7–25 所示，长为 l 的轻质细绳下端悬挂一质量为 m 的小球，用大小为F 的水平拉力将小球由静止开始从最低点 A 拉至 B 点，∠AOB = θ，在此过程中细绳始终绷直。若不计空气阻力，求小球到达 B 点时的速度大小 v。

分析：小球受到重力、水平拉力和绳子拉力的作用。小球运动过程中，重力做负功，水平拉力做正功，这些都是恒力的功，可以计算。而绳子拉力虽然是变力，但始终与小球的速度垂直，所以绳子拉力不做功。用动能定理可求出小球到达 B 点时的速度大小。

解：以小球为研究对象，小球在水平方向上的位移 s = lsinθ；在竖直方向的位移是

\[h = l - l\cos \theta = l(1 - \cos \theta )\]

小球从 A 点到 B 点的运动过程中，水平拉力做正功，重力做负功。根据动能定理，水平拉力与重力做功的代数和等于动能变化量，可得

\[Fs - mgh = \frac{1}{2}m{v^2} - 0\]

即                                                    \(Fl\sin \theta - mgl(1 - \cos \theta ) = \frac{1}{2}m{v^2}\)

由此可得

\[v = \sqrt {\frac{{2l}}{m}[F\sin \theta - mg(1 - \cos \theta )]} \]

 

用动能定理解决问题的一般步骤为：（1）确定研究对象；（2）根据运动过程确定各力做功的情况；（3）确定物体初状态和末状态的动能；（4）根据已知条件列出表达式求得结果。

与牛顿运动定律一样，动能定理也是解决力与运动变化关系的重要规律。但由于动能定理不涉及加速度、时间等物理量，所以在处理过程较为复杂的运动问题时有明显的优越性。此外，动能定理也被广泛用来处理变力、冲击力等作用过程更为复杂的运动问题。

1．参考解答：（1）不正确。动能与质量和速度大小都有关系，动能大的物体质量可能很大，但速度不一定大。

（2）不正确。动能与速度的方向无关、只与速度大小有关，变速运动可能是速度方向变化而大小不变，动能也可能不变。

命题意图：通过问题辨析，加深对动能概念的理解。

主要素养与水平：科学推理（Ⅰ）；交流（Ⅰ）。

 

2．参考解答：（1）估计乘客质量为 60 kg，高速公路上客车速度 v = 100 km/h ≈ 28 m/s。故其动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\)×60×28² J ≈ 2×10⁴ J。

（2）估计花盆质量为 5 kg，层高约 3 m，花盆的下落高度 h 约为 28 m。忽略花盆落地过程中的阻力，由动能定理知 W_G = ΔE_k = E_k − 0，故E_k =W_G = mgh = 5×10×28 J = 1.4×10³ J。

（3）估计子弹质量为 10 g，即 0.01 kg，速度为 500 m/s。故其动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\)×0.01×500² J ≈ 1.3×10³ J。

（4）估计乒乓球质量为 3 g，即 0.003 kg，速度为 50 km/h，约 14 m/s。故其动能 E_k = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\)×0.003×14² J ≈ 0.3 J。

命题意图：通过估算，认识生活中动能的数量级，形成能量观念，提升安全意识。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

3．参考解答：10 km/h ≈ 2.78 m/s，20 km/h ≈ 5.56 m/s，30 km/h ≈ 8.33 m/s，动能增量 ΔE_k = \(\frac{1}{2}\)mv_t² − \(\frac{1}{2}\)mv₀² = \(\frac{1}{2}\)m(v_t² − v₀²)。

从 10 km/h加速到 20 km/h，ΔE_k1 = \(\frac{1}{2}\)m(v_t² − v₀²) = \(\frac{1}{2}\)×1 500×（5.56² − 2.78²） J ≈ 1.74×10⁴ J；

从 20 km/h 加速到 30 km/h，ΔE_k2 = \(\frac{1}{2}\)m(v_t² − v₀²) = \(\frac{1}{2}\)×1 500×（8.33² − 5.56²） J ≈ 2.89×10⁴ J；

虽然速度的增量都是 10 km/h，但从 20 km/h 加速到 30 km/h 过程的动能增量更大。

命题意图：区分速率变化和动能变化，形成能量观念。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；科学论证（Ⅰ）。

 

4．参考解答：由题意知，碰撞过程中足球速度的增量 Δv = v_t – v₀ = （− 1 − 2）m/s = − 3 m/s（以初速度方向为正方向）；动能增量 ΔE_k2 = \(\frac{1}{2}\)m(v_t² − v₀²) = \(\frac{1}{2}\)×0.4×（1² – 2²） J = − 0.6 J。

命题意图：区分速度变化和动能变化，形成能量观念。

主要素养与水平：能量（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

5．参考解答：由题意知，弓弦对箭做功 W = Fs = 105×0.75 J = 78.75 J。由动能定理 W = ΔE_k = \(\frac{1}{2}\)mv_t² − \(\frac{1}{2}\)mv₀² = \(\frac{1}{2}\)mv_t² – 0 知，v_t = \(\sqrt {\frac{{2W}}{m}} \) = \(\sqrt {\frac{{2 \times 78.75}}{{0.085}}} \) m/s ≈ 43.05 m/s。

命题意图：模型化情境中动能定理的简单应用。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

 

6．参考解答：（1）细绳从最低点 A 由静止开始转过 30° 的过程中，仅有重力 G 和恒力 F 对小球做功。

由 W = Fscosθ 知，W_G = − mgh = − mgl（1 − cosθ） = − 1×10×1×（1 − cos30°） J ≈ − 1.34 J，W_F = Flsinθ = 10×1×sin30° J = 5 J，总功 W = W_G + W_F = − 1.34 + 5 J = 3.66 J。

由动能定理知 W = ΔE_k = \(\frac{1}{2}\)mv_t² − \(\frac{1}{2}\)mv₀² = \(\frac{1}{2}\)mv₁² – 0，故 v₁ = \(\sqrt {\frac{{2W}}{m}} \) = \(\sqrt {\frac{{2 \times 3.66}}{{1}}} \) m/s ≈ 2.71 m/s。

（2）小球从最低点 A 由静止开始转过最大角度 θ_m 的过程中，由动能定理知 W = W_G  + W_F = ΔE_k。又因为最大角度时速度为零，故 W_G + W_F = 0 − 0，即 − mgl（1 − cosθ_m）+ Flsinθ_m = 0，− 10×（1 − cosθ_m） + 10sinθ_m = 0，即 cosθ_m + sinθ_m = 1，解得 θ_m = 90°。

θ_m = 90° 对应细绳处于水平位置，因此全过程重力对小球做负功 − mgl，力 F 对小球做正功 mgl，两者抵消，动能增量为零。

命题意图：模型化情境中功能定理的应用。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。