第六章 小结

1．参考解答：某行星运行时万有引力提供向心力，G\(\frac{{{m_日}m}}{{{r^2}}}\) =  m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r，得 \(\frac{{{r^3}}}{{{T^2}}}\) = \(\frac{{G{m_日}}}{{4{\pi ^2}}}\)，为常量，所以得证。

命题意图：了解万有引力定律是关于宏观物体运动及相互作用的一条基本的定律。

主要素养与水平：模型建构（Ⅰ）；科学推理（Ⅰ）。

2．参考解答：根据向心加速度 a = ω²r = \(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r 和 r³ ∝ T²，得 a ∝ \(\frac{1}{{\sqrt[3]{{{T^4}}}}}\)，所以“火卫一”的向心加速度大于“火卫二”的向心加速度。

命题意图：了解天体运动规律中周期、轨道半径、向心加速度等物理量之间的正确关系。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学推理（Ⅱ）。

3．参考解答：由 G\(\frac{{{m_地}m}}{{{r^2}}}\) = m\(\frac{{{v^2}}}{r}\)，可知 v² ∝ \(\frac{1}{r}\)，所以最小轨道半径 r = R_地 时，人造卫星有最大运行速度。

命题意图：了解人造卫星运行速度与第一宇宙速度的关系。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

4．参考解答：否。万有引力定律告诉我们，万有引力的大小与两个物体质量的乘积成正比，是两物体间的相互作用，所以地球对月球的吸引力与月球对地球的吸引力大小相等，方向相反。

命题意图：通过辨析，进一步领会万有引力定律的内涵。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅰ）；科学本质（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

5．参考解答：（1）卫星的向心力由万有引力提供，F = \(\frac{{G{m_地}m}}{{{{(R + h)}^2}}}\)，因为 g = \(\frac{{G{m_地}}}{{{{R}^2}}}\)，所以 得 F = \(\frac{{mg{R^2}}}{{{{(R + h)}^2}}}\)

（2）由 F = \(\frac{{mg{R^2}}}{{{{(R + h)}^2}}}\) = m\(\frac{{{v^2}}}{{R + h}}\)，得卫星运行的速率 v = R\(\sqrt {\frac{g}{{R + h}}} \)

（3）卫星的周期 T = \(\frac{{2\pi (R{\rm{ + }}h)}}{v}\) = \(\frac{{2\pi }}{R}\sqrt {\frac{{{{(R + h)}^3}}}{g}} \)

命题意图：运用万有引力定律研究人造地球卫星在轨运行时力和运动的规律。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

6．参考解答：1 AU = 1.5×10¹¹ m，由题意，小行星轨道半径范围是 2.5～3 AU，即3.75×10¹¹～4.5×10¹¹ m，太阳质量 m_日 = 1.96×10³⁰ kg，根据 G\(\frac{{{m_日}m}}{{{r^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r，得 T = 2π\(\sqrt {\frac{{{r^3}}}{{G{m_日}}}} \)，代入数据得小行星运行周期范围是 1.3×10⁸～1.7×10⁸ s。

命题意图：学习了万有引力定律后，通过计算了解太阳系中小行星的一些常识性知识。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学本质（Ⅱ）。

7．参考解答：根据 \(\frac{{G{m_木}m}}{{{r^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r，得 r = \(\sqrt {\frac{{G{m_木}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \)，其中 m_木 = 320m_地 = 320×5.97×10²⁴ kg，木星的同步卫星周期与木星自转周期相同 T = T_木 = 9.8 h = 3.53×10⁴ s，代入数据，计算可得此同步卫星轨道半径 r ≈ 1.6×10⁸ m。由题意，木星半径 R = 11R_地 ≈ 7.0×10⁷ m，所以 r ≈ 2.3R。

命题意图：运用万有引力定律计算并了解木星同步卫星的规律，提升分析和解决较复杂问题的能力。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）。

8．参考解答：设行星质量为 m₁，半径为 R，则其密度 ρ = \(\frac{m_1}{V}\) = \(\frac{{3{m_1}}}{{4\pi {R^3}}}\)。某天体在该行星表面附近绕行星运行，可认为轨道半径等于此行星半径，有 \(\frac{{G{m_1}{m_2}}}{{{R^2}}}\) = m₂\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)R，得 \(\frac{{{m_1}}}{{{R^3}}}\) = \(\frac{{4{\pi ^2}}}{{G{T^2}}}\)，所以该行星的密度 ρ = \(\frac{{3\pi }}{{G{T^2}}}\)。

命题意图：体会通过天体绕行星运动的规律计算该行星的密度，本题与教材第42页“大家谈”呼应。

主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。

9．参考解答：由材料信息可得，“神舟五号”运行周期 T = 5.5×10³ s。根据 \(\frac{{G{m_地}m}}{{{{(R + h)}^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)(R + h) 和 g = G\(\frac{{{m_地}}}{{{R^2}}}\)，得“神舟五号”距地面高度 h = \(\sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\) – R ≈ 3.59×10⁵ m。根据 v = \(\frac{{2\pi (R{\rm{ + }}h)}}{T}\)，得飞船运行速度 v ≈ 7.69×10³ m/s。

命题意图：通过阅读给定的材料，从中提炼出解决问题的有用信息，并用之解决实际问题。培养学生根据问题获取信息、处理信息、解决问题的能力。

主要素养与水平：模型建构（Ⅲ）；科学推理（Ⅲ）；问题（Ⅲ）；解释（Ⅲ）。

10．参考解答：所谓“地球同步卫星”，就是在绕地球运行时相对于地球表面静止不动。首先，因为卫星运行时圆轨道的圆心是地心，要相对于地球表面静止不动，其运行的轨道必须与地球赤道平面共面，所以同步卫星必须在地球赤道上空。其次，卫星运行的周期必须与地球自转的周期相等，所以周期 T = 24 h；根据万有引力提供向心力，\(\frac{{G{m_地}m}}{{{{(R + h)}^2}}}\) = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)(R + h) 和 g = G\(\frac{{{m_地}}}{{{R^2}}}\)，可得 h = \(\sqrt[3]{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\) – R，代入数据可得卫星应在赤道上空约 h ≈ 3.58×10⁷ m高处。其运行的速率为 v = \(\frac{{2\pi (R{\rm{ + }}h)}}{T}\) ≈ 3.07×10³ m/s。

命题意图：通过对卫星相对于地球“同步”的全面讨论，体验对联系实际问题的全面思考，包括建构物理模型，进行科学推理、科学论证并作出合理解释等过程。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）；科学本质（Ⅲ）。

11．参考解答：（1）可运用图像法处理数据，画出 lg R–lg T 图像，并分析它们的关系来验证开普勒第三定律；

（2）因为把表中 R 和 T 的数据转换为 lg R 和 lg T 后，它们的对数函数关系是简单的线性关系，通过图线的斜率即可研究 R 和 T 的函数关系（注：根据画出的图像，得到图线的斜率为 \(\frac{2}{3}\)，即可验证开普勒第三定律）

命题意图：体验科学探究中根据提出的物理问题进行假设，并思考如何运用数学知识进行信息处理的过程（本题可以只要求学生说出方案，不要求具体验证）。

主要素养与水平：问题（Ⅲ）；证据（Ⅲ）；解释（Ⅲ）。