第五章 第四节 向心力 向心加速度
图 5－32 链球运动
链球是田径运动中的一种投掷项目。球体用铁或铜制成，装有链子和把手。运动员两手握着把手，人和球同时旋转，经加速旋转后，运动员猛然松手使链球飞出。
本节编写思路
本节中创设情境时，可以先介绍链球运动的世界纪录、中国女子链球运动员在奥运赛场上的战绩等，然后再介绍链球投掷的过程，很自然地引入向心力的概念。
本节内容主要研究做匀速圆周运动物体的受力特点，教学中要引导学生将牛顿运动定律用于研究匀速圆周运动，进一步体会力是改变物体运动状态的原因，丰富知识的结构，深化运动与相互作用的观念。向心力概念的建立和理解是本节的重点和难点。教材第一部分内容围绕向心力概念的建立，从对赛场上链球运动的分析到自主活动中的操作、感受，逐步形成对向心力的认识；第二部分内容在定性实验的基础上，通过定量实验探究向心力公式；第三部分内容根据牛顿第二定律通过理论演绎建立向心加速度概念，并得出向心加速度公式。
在链球比赛中，为了使链球飞得更远，运动员会拉着链条的一端旋转，使系在链条另一端的链球跟着做圆周运动，如图 5–32 所示。经过 3～ 4 圈加速旋转，运动员猛然松手使链球飞出。
图 5–33 转圈的小球
如图 5–33 所示，在细绳的一端系一个小球，用手捏住绳子另一端，使小球在水平放置的玻璃平板上绕被捏住的绳子一端转圈。
细绳对小球拉力的方向与小球的速度方向有什么关系？将手松开，观察小球是否能继续转圈。
此处设置“自主活动”是为了让学生体验向心力的存在：先让学生感受小球做圆周运动时手上受到的力，然后观察现象——松手后小球就不再做圆周运动，帮助学生认识到做圆周运动的物体必须受到指向圆心的力。
上述活动中，当手松开后，小球不再受拉力作用，脱离圆周，沿切线方向飞出。
研究表明，物体做匀速圆周运动的条件是受到与物体的速度方向垂直、始终指向圆心的合力作用，这个力叫做向心力（centripetal force）。
示例1 游乐场里有一种旋转飞椅，当飞椅以一定的速度旋转时，坐在飞椅上的游客在水平面内做匀速圆周运动，如图5–34所示。找出此时游客受到的向心力的来源。
示例 1 的教学目的在于：① 认识向心力是物体做圆周运动的必要条件；② 体会向心力可以由一个或几个施力物体提供；③ 理解向心力是一个以效果命名的力，它可以是我们熟悉的弹力、摩擦力、重力中的任何一种力，也可以是它们的合力或分力；④ 理解向心力始终指向圆心，它只改变速度方向，不改变速度大小。
分析：以某一坐在飞椅上的游客为研究对象，将其视为质点，某一时刻的情景可抽象成如图 5–35 所示的示意图。根据游客做匀速圆周运动的轨迹，可确定他运动所在圆周的圆心，进而可确定他所受向心力的方向。对游客进行受力分析，他所受力的合力就是他做匀速圆周运动的向心力。
图 5–34 旋转飞椅
图 5–35 游客的受力示意图
解：如图 5–35 所示，以游客为研究对象，游客在水平面内做匀速圆周运动，其受到的向心力一定指向轨迹的圆心 O。根据受力分析，游客受到重力 G 和沿吊绳向上的弹力 FN 的作用，它们的合力 F 就是游客所受的向心力，该合力一定在水平面内，并且指向 O 点。
向心力是根据作用效果命名的力，重力、弹力、摩擦力或者这些力的合力都可以作为向心力。
在前面的自主活动中，改变小球运动的快慢、细绳的长度与小球的质量，感受手上拉力大小的变化，猜测向心力的大小可能与哪些因素有关。
通过“大家谈”让学生猜测影响向心力大小的可能因素，引出定量实验研究的方向。
我们猜想：向心为的大小可能与做匀速圆周运动物体的圆周半径、运动快慢和质量都有关，它们有什么定量关系呢？这需要通过定量的实验来研究。
该实验是一个学生实验，建议先引导学生猜想，然后采用控制变量的方法，逐个得出向心力与物体质量、角速度、圆周半径的关系。
探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
本实验涉及的物理量较多，数据测量较为复杂，教材中已给出明确的实验装置和测量步骤。
实验装置及操作说明：
（1）为了便于测量运动中物体受到的力和运动速度的大小，本实验使用无线力传感器和无线光电门传感器，它们测得的数据通过无线接收器传送至计算机。
（2）实验中，光电门传感器测得的是每次悬臂顶端经过挡光装置时的线速度，该速度与悬臂半径的比就是砝码的角速度，角速度乘以砝码运动的半径可得到砝码运动的线速度。相比较而言，砝码运动的角速度比其线速度容易测量，而且更容易控制，因此本装置适宜研究向心力的大小与物体运动的半径、角速度、质量的关系。
（3）实验中，砝码固定在水平连杆上，所需向心力由连杆提供。为了消除连杆本身对实验的影响，在悬臂的另一侧也安装有一根同样的水平连杆。
提出问题
物体做匀速圆周运动时所受向心力的大小与物体运动的圆周半径、运动快慢及质量有关，向心力大小与这些因素之间有何定量关系？
实验原理与方案
向心力大小 F 与半径 r、角速度 ω、质量 m 都有关，本实验需要采用控制变量法。分别研究：（1）ω 与 m 一定时，F 与 r 的关系；（2）r 与 m 一定时，F 与 ω 的关系；（3）r 与 ω 一定时，F 与 m 的关系。
综合三个实验研究的结论，探究向心力大小 F 与半径 r、角速度 ω、质量 m 的关系。
实验装置与方法
图 5–36 所示的实验装置可供本实验选用。在电动机控制下，悬臂可绕轴在水平面内匀速转动，在悬臂的转轴上固定一个无线力传感器；水平连杆的一端与无线力传感器相连，连杆上可固定砝码；无线光电门传感器安装在悬臂的一端，挡光片固定在支架上。当悬臂匀速转动时，砝码随之做匀速圆周运动。实验中力传感器测出对连杆的拉力大小等于砝码受到的向心力大小；砝码的运动半径可由悬臂上的刻度读出；测出光电门通过挡光片的瞬时速度，进而可得到悬臂旋转的角速度，即砝码的角速度。
本实验采用作图的方法分析数据，研究物理量间的函数关系。
图 5–36 研究向心力的实验装置
①悬臂
②无线力传感器
③砝码
④水平连杆
⑤无线光电门传感器
⑥挡光片
⑦电动机控制器
⑧电动机
实验操作与数据收集
根据实验原理与方案的要求，使悬臂带动砝码做匀速圆周运动，测量并记录相关实验数据，填入表 5–3、表 5–4 和表 5–5。
表 5–3 实验数据记录表（ω、m 一定）
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实验序号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|---|---|---|---|---|---|
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r/m |
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F/N |
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表 5–4 实验数据记录表（r、m 一定）
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实验序号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|---|---|---|---|---|---|
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ω/(rad·s−1) |
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F/N |
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表 5–5 实验数据记录表（ω、r 一定）
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实验序号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|---|---|---|---|---|---|
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m/kg |
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F/N |
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数据分析
根据实验数据，选择合适的坐标系描点作图，研究相关物理量间的关系。
实验结论
做匀速圆周运动的物体，当：
（1）ω 与 m 一定时，___________________________________________________；
（2）r 与 m 一定时，___________________________________________________；
（3）ω 与 r 一定时，___________________________________________________。
向心力 F 与 r 、ω 、m 的关系是：__________________________________________。
交流与讨论
（1）各组就实验数据进行交流，比较、分析实验结果的异同及其原因，探讨实验的改进方法。
本实验的重点在于培养学生参照实验方法实施操作、记录数据、处理分析数据、发现特点、形成结论等诸方面的实验素养，引导学生学会用物理术语、图表等交流探究的过程和结果等。
（2）线速度、角速度都可以描述物体做匀速圆周运动的快慢，用本实验装置能否直接研究向心力大小与半径、线速度、质量的关系？
大量的研究表明，做匀速圆周运动物体受到的向心力 F 的大小等于物体的质量 m、圆周半径 r 和角速度 ω 的二次方的乘积，即
\[\color{#357A4A}{F = m{\omega ^2}r}\]
将 v = ωr 代入上式，即可得
\[\color{#357A4A}{F = m\frac{{{v^2}}}{r}}\]
图 5–37 向心加速度
物体做匀速圆周运动时受到的合力始终指向圆心，根据牛顿第二定律，它的加速度也始终指向圆心，与线速度的方向垂直，如图 5–37 所示。因此，匀速圆周运动的加速度叫做向心加速度（centripetal acceleration），向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
通过实验得出向心力公式后，可由牛顿第二定律方便地得出向心加速度公式，培养学生的推演能力。
教师可根据学生的情况，给学生介绍“向心加速度公式的理论推导”（见节后资料链接），提高学生演绎推理的能力。
向心加速度 a 和线速度 v、角速度 ω 的矢量关系式为
a = ω×v
由向心力公式和牛顿第二定律可以得出向心加速度的表达式为
\(\color{#357A4A}{a = {\omega ^2}r}\) 或 \(\color{#357A4A}{a = \frac{{{v^2}}}{r}}\)
在匀速圆周运动中，由于 r、v 和 ω 的大小是不变的，所以向心加速度的大小不变，但向心加速度的方向始终指向圆心，一直在变化，因此，匀速圆周运动是变加速运动。
图 5–38 物体随转盘匀速转动
示例 2 如图 5–38 所示，质量 m = 3 kg 的物体放在水平的转盘上，在半径 r = 2 m 的圆周上以 v = 4 m/s 的速度随转盘做匀速圆周运动。求：
（1）物体的向心加速度大小；
（2）物体受到的静摩擦力。
分析：由匀速圆周运动的线速度和半径，可直接求出向心加速度。对物体进行受力分析，根据运动状态可确定物体受到的重力和支持力在竖直方向平衡，平台对物体的静摩擦力提供物体做匀速圆周运动所需的向心力。根据牛顿第二定律可求出物体受到的向心力，即静摩擦力。
解：（1）由于物体随转盘一起做匀速圆周运动，其向心加速度的大小
\[a = \frac{{{v^2}}}{r} = \frac{{{4^2}}}{2}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}} = 8{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]
图 5–39 物体的受力分析
（2）如图 5–39 所示，物体受到三个力的作用，其中重力 G 和支持力 FN 平衡，转盘对物体的静摩擦力 Ff 指向圆心，作为物体受到的向心力。
因此，由牛顿第二运动定律，物体受到的静摩擦力
\[{F_f} = ma = 3 \times 8{\rm{N}} = 24{\rm{N}}\]
静摩擦力的方向始终指向圆心。
图 5–40 曲线运动中合力的分解
一般情况下，做曲线运动的物体，其速度的大小和方向都在改变，它受到的合力可以沿切线方向和法线方向分解，如图 5–40 所示。切线方向的力改变速度的大小，法线方向的力改变速度的方向。
此处设置“拓展视野”是为了帮助学生将对向心力的认识推广到一般曲线运动，知道圆周运动中的向心力就是法向力。教师可根据学生的认知程度和课时情况选用。
- 试根据力、质量、速度和半径的单位，判断向心力公式 F = m\(\frac{{{v^2}}}{r}\) 是否合理。
- 关于向心加速度与半径的关系，甲同学认为，根据公式 a = ω2r 得 a 与 r 成正比；乙同学认为，根据公式 a = \(\frac{{{v^2}}}{r}\) 可得 a 与 r 成反比。试对这两种截然不同的说法做出评价。
- 由于地球的自转，地球上的物体都有向心加速度，试回答：
（1）“在地球表面各处的向心加速度的方向都是指向地心的”，这种说法是否正确？为什么？
（2）在赤道和极地附近的向心加速度哪个大？为什么？
（3）在上海的物体由于地球自转而产生的向心加速度为多大？
图5–41
- 有一种游乐项目，游客进入一个大型圆筒状容器后，紧靠竖直筒壁站立（图5–41）。当圆筒开始转动后，转速逐渐增大，游客会感到自己被紧紧地压在筒壁上，当转速增大到一定数值时，底板突然下落了几厘米，游客们惊奇地发现自己己竟然没有跟着底板一起下落！解释这一现象？
- 若旋转餐厅转动一周的时间约为 1 h，某顾客坐在离转轴距离约为 20 m 的座位上。计算该顾客受到的向心力与重力的比值。
- 线的一端系一个重物，手执线的另一端使重物在光滑水平桌面上做匀速圆周运动。在使重物运动周期相同的条件下，使用长线易断还是短线易断？为什么？
图5–42
- 在如图 5–42 所示的装置中，A、B 两个小球穿在光滑杆上并可沿杆滑动，两球之间用一根细线连接。甲、乙两位同学就“装置绕轴匀速转动时，如何能使两球相对光滑杆静止”这一问题展开讨论。甲认为，两个小球放置在任意位置都可以。乙则认为，两个小球只有放置在特定位置才可以。你赞同哪个观点？试为这个观点作进一步论证。
向心加速度公式的理论推导
我们可以根据向心加速度的定义确定其方向，并从理论上推导其表达式。
如图 8（a）所示，质点沿半径为 r 的圆周做匀速圆周运动，质点在 A 点时的速度为 vA，经过很短的时间 Δt 运动到 B 点，速度变为 vB，圆弧 AB 的圆心角为 Δφ。如图 8（b）所示，根据矢量和的三角形法则，图中 Δv 是质点从 A 运动到 B 过程中速度的变化量。比值 \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) 就是质点在 Δt 时间内的平均加速度，方向跟 Δv 的方向相同。当 Δt 趋近于 0 时，Δφ 也趋近于 0，这时 Δv 便趋近于与 vA 垂直，而 vA 的方向在圆周的切线上，所以 Δv 的方向趋近于沿半径指向圆心。因此，质点做匀速圆周运动时在任一点的加速度都是沿着半径指向圆心的，这也是向心加速度一词的由来。
从图 8 可以看出，图（b）中的矢量三角形跟图（a）中的 △OAB是相似的。因为 vA = vB，可用 v 表示 vA、vB 的大小，则有
\[\frac{{\left| {\Delta v} \right|}}{v} = \frac{{AB}}{r}\]
即 | Δv | = AB·\(\frac{v}{r}\)
将上式两边同时除以 Δt，有
\[\frac{{\left| {\Delta v} \right|}}{{\Delta t}} = \frac{{AB}}{{\Delta t}} \cdot \frac{v}{r}\]
当 Δt → 0 时，A、B 间弦长趋近于 A、B 间圆弧长，等式左边 \(\frac{{\left| {\Delta v} \right|}}{{\Delta t}}\) 即为向心加速度 a 的大小，右边的 \(\frac{{AB}}{{\Delta t}}\) 就是匀速圆周运动的线速度大小 v，代入整理得
\[a = \frac{{{v^2}}}{r}\]
这就是匀速圆周运动的向心加速度公式。
1．参考解答：合理，因为 1 \(\frac{{{\rm{kg \times (m/s}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}\) = 1 kg·m/s2 = 1 N
命题意图：从物理量单位推演的角度理解物埋公式和物理量间的关系。
主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）。
2．参考解答：这两种结论都正确，但前提不同，在角速度相同的情况下，a 与 r 成正比；在线速度相同的情况下，a 与 r 成反比。
命题意图：对两种截然不同的结论进行评价，引导学生全面考虑问题，形成在应用物理规律时要注重规律前提的意识，养成全面思考问题的科学态度。
主要素养与水平：质疑创新（Ⅰ）。
3．参考解答：（1）不正确。处于地表不同纬度的物体做圆周运动的圆心位于地轴上的不同位置，随地球自转的物体的向心加速度方向在所在纬度平面内指向地轴。
（2）在赤道处物体的向心加速度比较大。因为不同位置物体的角速度相同，根据 a = ω2r，赤道处物体的运动半径大，所以向心加速度也大。
（3）上海位于北纬 30°附近，r = R地cos30°，地球自转周期为 24 h，根据 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 和 a = ω2r，可求得 a ≈ 0.03 m/s2。
命题意图：以物体随地球自转为情境，抽象出物理模型，加深对加速度的理解。
主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。
4．参考解答：人受到竖直向下的重力、指向圆心的弹力和竖直向上的摩擦力，向心力由这三个力的合力提供；或者说摩擦力和重力相互平衡，筒壁给人的弹力提供向心力。当转速足够大时，向心力的大小，即筒壁的弹力足够大，导致人和筒壁间的最大静摩擦力大于人受到的重力，人就不会往下掉。
命题意图：综合应用静摩擦力、向心力的知识，解决生活中的实际问题，提高解决综合问题的能力。
主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅱ）。
5．参考解答：设顾客的质量为 50 kg。根据已知条件，他随餐厅做圆周运动的周期 T = 1 h = 3 600 s，运动半径 r = 20 m。由公式 F = mω2r 和 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 可得 F = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r。代入数据可得 F ≈ 3.05×10−3 N。向心力与重力的比值 \(\frac{F}{G}\) ≈ 6.22×10−6，可见这个比值非常小，所以顾客感觉不到。
命题意图：通过建模、估算，巩固向心力知识，讨论生活中的实际问题。
主要素养与水平：运动与相互作用（Ⅱ）；科学推理（Ⅱ）。
6．参考解答：长线易断。由向心力公式 F = mω2r 和 ω = \(\frac{{2\pi }}{T}\) 可得 F = m\(\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\)r。当周期相同时，线越长即重物做圆周运动的半径越大，所需向心力越大，线越容易断。
命题意图：针对问题情境，选择适合的向心力公式解决问题。
主要素养与水平：科学论证（Ⅱ）。
7．参考解答：乙的观点正确。两个小球只有放置在特定位置才可以相对杆静止。两球所受向心力均来自细线的拉力，大小相等；两球的角速度相等，根据公式 F = mω2r 可以得出两球做圆周运动的半径与两球的质量成反比，所以位置由两球的质量之比决定。
命题意图：在真实情境中抽象出物理模型，综合运用圆周运动相关知识，经过分析、推理解决问题。
主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；科学论证（Ⅲ）。
发布时间：2022/2/3 11:04:14 阅读次数：4284
