第三章第四节共点力的平衡

第三章相互作用与力的平衡

图 3–41 平衡木运动员的高难度支撑动作

平衡木运动是生活中众多平衡问题实例之一，为研究共点力的平衡提供了真实情境。结合本节共点力平衡条件及“示例”的讨论，可更好地理解共点力平衡的条件。

本节以此引出共点力平衡的问题。

第四节 共点力的平衡

本节编写思路

本节内容以二力平衡条件为基础，根据力的合成方法得到共点力平衡的条件。通过“自主活动”验证共点力平衡的条件。通过“示例”了解解决共点力平衡问题的一般方法与步骤。

设置“大家谈”是为了引导学生思考通过计算所得结果的意义，培养对结论进行总结、反思的习惯。“拓展视野”的内容将开拓学生眼界，理解对实际问题的科学认识是逐步深入的。

学习中经历的科学推理、实验验证等过程有助于培养良好的学习和思维习惯，形成正确的科学观。

平衡木运动正像它的名字那样，需要运动员具备卓越的平衡能力。她们往往要在一根离地 1.2 m、宽度仅为10 cm的横木上做出一连串的动态翻腾动作后突然静态支撑。支撑动作必须保持2 s以上才被认为完成了动作。

如果一个物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。图 3–41中做静态支撑的运动员就处于平衡状态。

生活中，平衡随处可见。房间中摆放的各种物品、大型建筑物、沿平直轨道匀速行驶的列车……都可以认为它们处于平衡状态。

图 3–42 用网兜将球倚挂在墙上

图 3–43 球和网兜受到的力F_N、F_T的合力为F

物体在共点力作用下保持平衡的条件是什么？

在初中时，我们已经研究过物体在两个力作用下的平衡条件：两个力大小相等、方向相反，作用在同一直线上。这两个力的合力为零，即 F_合＝0。

如图3–42所示，用轻质网兜将球静止倚挂在光滑墙壁上。将球与网兜看作一个物

第四节共点力的平衡

体，它会受到重力 G、垂直墙壁向左的弹力 F_N 和沿绳子方向斜向上的拉力 F_T 的作用，并在这三个共点力的作用下处于平衡状态。

以球和网兜为研究对象，通过联系初中所学二力平衡条件，求其所受三力的合力，得出三力平衡条件为 F_合 = 0，以促进科学推理能力的发展。

如图3–43所示，先从作用在该物体上的三个力中选取其中的两个力 F_N 和 F _T，求出这两个力的合力 F，以 F 来替代 F_N 和 F_T 的作用效果；这时重力 G 与 F 构成二力平衡。因此，G 与 F_N 和 F_T 的合力为零。

在三个共点力平衡的情况中，其中两个力的合力必然与第三个力的大小相等，沿着第三个力相反的方向。这个结果表明，三力平衡同样满足合力为零（即 F_合 = 0）的条件。

图 3–44 用三个弹簧测力计验证三个共点力平衡的条件

如图3–44所示，用三个平行于桌面的弹簧测力计拉一个小环 O，使环静止。记录三个力的大小和方向，过 O 点画出力的图示。验证这三个力的合力是否为零。

这个“自主活动”是一个验证性实验。实验前需要校准弹簧测力计的零刻度。实验中小组成员要相互合作，使小环在三个水平拉力作用下保持静止；尽可能准确地记录三个拉力的大小和相互间夹角的数据；在白纸上按统一标度，用直尺、三角板和量角器等工具，画出三个力的图示，并用作图法求出其中任意两个力 F₁、F₂ 的合力 F₁₂；然后比较该合力 F₁₂ 与第三个力F₃的大小是否相等，并用量角器测量 F₁₂ 与 F₃ 的方向是否成 180°，进而验证三力平衡条件 F_合 = 0 是否成立。

通过实验，增强证据的意识、团队合作的观念、严遵认真的作风，促进科学推理和科学论证能力的发展。

大量实验表明，物体在共点力作用下处于平衡状态的条件是合力为零。

示例1 如图3–45所示，重为 5 N 的木块由弹簧测力计沿着光滑斜面向上拉动。如果木块做匀速直线运动，弹簧测力计的示数为 1.4 N，求斜面对木块的弹力。

从示例 1、示例 2 的分析求解中，可以归纳求解物体平衡问题的一般思路和方法：

1．明确分析对象，将其从周围环境中“隔离”出来；

2．分析研究对象的受力情况，画出其受力示意图。受力分析的方法是：

（1）先分析重力、已知力及引起研究对象运动状态改变的趋势；

（2）再分析研究对象与周围接触物之间是否产生挤压、拉伸等形变，从而确定是否受到弹力作用及其方向；

（3）最后分析接触面是否粗糙，以及研究对象在与周围物体有挤压的接触面上是否有相对滑动或相对滑动趋势，从而判断是否存在摩擦力及其方向。

3．根据合力为零的平衡条件列式求解：

（1）如果研究对象只受三个力作用而平衡，可运用合成法，画出研究对象所受任意两个力合成与第三个力大小相等、方向相反的合力的平行四边形。解三角形，即可求得未知力的大小和方向。

（2）如果研究对象受到三个及以上平面力系的作用而平衡，可按照使尽可能多的力在坐标轴上的原则，建立平面直角坐标系 xOy，运用正交分解法把不在坐标轴上的力分解到坐标轴上；再分别列出 x 轴、y 轴上合力为零的方程（F_x = 0、F_y = 0），求解未知力的大小和方向。

通过归纳上述思路和方法，提高运用共点力平衡条件和相关方法、分析推理解决实际问题的技能。

图 3–45 木块在斜面上的受力分析

分析：木块受到重力 G、弹簧测力计的拉力F和斜面的弹力 F_N 的作用，三个力的作用线交于一点，即木块的重心；这三个力可视为作用在木块重心上的共点力。已知木块做匀速直线运动，处于平衡状态。由共点力平衡的条件可知 G、F 和 F_N 的合力为 0，即 G、F 的合力 F_合与 F_N 大小相等、方向相反。

解：以木块为研究对象，其受力情况如图 3–45 所示；作出以 G 和 F 为邻边的平行四边形，标明合力 F_合；由木块的受力分析图可知，∠COA是直角；根据共点力平衡的条件得

\[{F_{\rm{N}}} = {F_{\rm{合}}}\]

由 \({F_{\rm{合}}} = \sqrt {{G^2} - {F^2}} = \sqrt {{{(5{\rm{N}})}^2} - {{(1.4{\rm{N}})}^2}} = 4.8{\rm{N}}\)

得 \({F_{\rm{N}}} = 4.8{\rm{N}}\)

斜面对木块的弹力大小是 4.8 N，方向垂直斜面向上。

第三章相互作用与力的平衡

若斜面的倾角增大，依旧拉木块沿斜面向上匀速运动，平行于斜面的弹簧测力计的示数将会如何变化？

平衡状态的物体受到同一平面内多个力的共同作用时，还可以通过建立直角坐标系，将每一个不在坐标轴方向上的力分解为沿 x 轴、 y 轴方向的两个分力。根据物体平衡合力为零的条件，沿 x、y 方向上的合力，即分力的代数和都应为零，可得

\[\begin{array}{l}{F_{{\rm{合}}x}} = 0\\{F_{{\rm{合}}y}} = 0\end{array}\]

这样的方法称为正交分解法。

图 3–46 风力作用下的小球

图 3–47 风力作用下小球的受力分析

示例2 如图 3–46 所示，用一根质量可以忽略的细绳悬挂一个空心金属球。无风时细绳竖直下垂；当受到电扇吹出的水平风时，细绳将偏离竖直方向一定角度。风越大，偏离的角度也越大。通过测量细绳偏离竖直方向的角度即可测定水平风力的大小。推导风对球的水平作用力 F 的大小与球的重力 G、偏角 θ 的关系。

分析：有风时，球受到三个力的作用：竖直向下的重力 G、沿细绳向上的拉力 F_T 和水平向左的风力 F。当风力保持一定时，球处于平衡状态，偏角 θ 保持恒定。可以运用物体平衡条件 F_合 = 0 建立表达式，获得F与θ的关系。

解：以球为研究对象，其受力情况如图 3–47 所示；以水平方向为 x 轴、竖直方向为 y 轴建立直角坐标系；沿坐标轴分解拉力 F_T，则有

\[\begin{array}{l}{F_{{\rm{T}}x}} = {F_{\rm{T}}}\sin \theta \\{F_{{\rm{T}}y}} = {F_{\rm{T}}}\cos \theta \end{array}\]

根据共点为平衡条件得

在x方向：\({F_{\rm{T}}}\sin \theta - F = 0\)

在y方向：\({F_{\rm{T}}}\cos \theta - G = 0\)

由上述两式消去 F_T 得风对小球水平作用力 F 与重力 G、偏角 θ 的关系为

\[F = G\tan \theta \]

根据示例2的结果，如何制作一个可以直接读出水平风力大小的简易装置？

通过“大家谈”，运用示例2中风力的表达式，设计可以直接通过角度读出水平风力大小的简易装置，可以感悟间接测量的方法，体会科学与技术的关系。

第四节共点力的平衡

图 3–48 教室里的日光灯

本节讨论的是物体在共点力作用下的平衡问题。图3–48为安装在教室里的日光灯，它同时受到了三个竖直方向的力，这三个力的作用线并不交于一点，这样的力称为非共点力。非共点力作用下物体的平衡不仅要考虑合力为零，还要考虑初中学过的杠杆平衡效应。

“拓展视野”栏目介绍了非共点力作用下的平衡问题。力沿作用线移动时其作用效果不变，但力不能平移。因此对于非共点力作用的问题，通常做如下处理。

设物体受到两个作用线相互平行的力作用。其中一个力 F₁ 的作用线通过物体质心 C，如图（a）所示。

为将作用于 O 点的力 F₂ 平移到 C 点，可在 C 点同时加上两个大小均为 F₂ 的力 F、Fʹ，其中 F 的方向与 F₂ 相同，Fʹ 的方向与F₂相反[图（b）]。由于在 C 点加上的两个力大小相等、方向相反、合力为零，因此并不改变原来物体的受力情况，但此时可以把 F₁ 和 F 合成为一个力 F_合 = F₁ − F，而 Fʹ 和 F₂ 构成了一对力偶。这样处理后，作用在物体上的外力作用效果可以等效为作用在质心上的一个合力和一对力偶，其中合力的作用效果是使物体质心做满足牛顿运动定律的平动，力偶的作用是提供一个力矩，使物体绕质心转动。

可见在非共点力作用情况下，可以认为合力作用于物体质心，决定了物体整体运动的规律，同时还存在一个力矩，使物体绕质心发生转动。

假如章导图中的运动员处于静止状态。以运动员为对象，岩壁对运动员手、足部均有作用力，确定这些作用力的合力的大小与方向。
一个重 4 N 的易拉罐在两根细绳的悬挂下处于静止状态。分析说明以下三种情况是否可能实现：（1）两根细绳上的拉力大小分别为 3 N 和 6 N；（2）两根细绳上的拉力大小分别为 1 N 和 2 N；（3）两根细绳上的拉力大小分别为2 N和7 N。
如图3–49所示，七只狗拉雪橇在雪地上匀速前行。一只头狗Q在中间引领方向，其余六只狗对称地分布在头狗两侧。可将图中的情形简化为如图3–50所示的示意图，连接雪橇的绳子OP沿y轴负方向，六只狗的分布关于y轴对称，绳子OB、OD、OF与x轴的夹角分别为30°、45°、60°。已知与狗相连的每根绳上的拉力均为F，与雪橇相连的绳子OP上的拉力是否等于7F？说明理由。