第二章 第三节 匀变速直线运动的规律

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第二章 匀变速直线运动

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图2–15   列车过站不停

在站台候车时会遇见列车过站不停的情况,考虑到线路条件、安全等因素,列车通常会先减速后加速经过站台。匀变速直线运动是最简单的变速运动,是理解其他更复杂的变速运动的基础,生活中熟悉的很多运动都可以近似视为匀变速直线运动。经历匀变速直线运动规律的探究过程将提升概括、抽象、推理等思维能力。

 

第三节 匀变速直线运动的规律

本节编写思路

本节在学习了自由落体运动规律的基础上,通过演示实验类比得出初速度为零的匀加速直线运动规律。

通过分析、演绎和“自主活动”得到匀变速直线运动的规律。

通过“STSE”和“示例”感受利用物理规律解决实际问题的过程与方法。

通过本节学习,加深对描述运动的基本物理量如位移、速度、加速度间相互关系的理解,形成较为完整的运动观念。经历用数学手段和语言描述实际运动的思维过程,体验分析和演绎的重要作用,这将有助于提高模型建构和科学推理的能力。

自由落体运动是一种匀加速直线运动。在日常生活中,我们还会遇到各种加速度不同的直线运动,譬如,飞机、汽车和高层建筑观光电梯由静止启动后的加速度就各不相同。即便是同一辆汽车,在不同状态下的加速度也可能不同。除了匀加速直线运动,还有速度随时间均匀减小的匀减速直线运动。图2-15所示的列车驶过无需停靠的车站时会先做一段匀减速直线运动以降低车速;过站以后,再做一段匀加速直线运动以恢复原先的正常车速。匀加速直线运动和匀减速直线运动统称为匀变速直线运动。为了研究匀变速直线运动的规律,可以从初速度为零的匀加速直线运动开始。

 初速度为零的匀加速直线运动满足何种运动规律?

小车由静止起从斜面上向下运动(图 2–16 )。小车运动的v-t图像如图 2–17 所示,也是一条过原点的直线。该直线表示小车在做初速度为零的匀加速直线运动;直线的斜率

利用位移传感器演示小车从斜面由静止向下运动的vt图像。其目的是与上一节自主活动中获得的自由落体的vt图像做比较,得出两者运动规律类似的结论。

图2–16  小车从斜面上向下运动

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第三节 匀变速直线运动的规律

 

图2–17  小车运动的 v-t 图像

 

表示速度随时间增加的快慢程度,即加速度的大小。因此,初速度为零的匀加速直线运动与自由落体运动类似,只要把自由落体运动公式中的重力加速度 g 换成物体的加速度 a,把竖直方向的位移 h 换成物体沿直线运动的位移 x ,即可由描述自由落体运动规律的关系式得到初速度为零的匀加速直线运动的规律,即

通过观察、比较得出小车的运动规律与自由落体运动的规律类似,从而认识自由落体运动规律就是初速度为零的匀加速直线运动规律的一个特例。感受基于实验证据、进行类比推理的研究方法。

\[ \color{#035C87}{v = at}\]

\[\color{#035C87}{x = \frac{1}{2}a{t^2}}\]

由上述两式可得到初速度为零的匀加速直线运动的速度与位移的关系

\[\color{#035C87}{{v^2} = 2ax}\]

 

伽利略在做小球沿斜面向下运动的实验时,观察到小球从静止开始运动后,经过相等时间通过的距离具有1∶3∶5∶7∶…的关系。他认为这一现象很好地说明了小球在斜面上的运动是匀加速直线运动。与同学讨论、交流,判断此论断是否正确。

“大家谈”的讨论过程中,通过理论推导,感受科学推理的过程,为后续通过分析推导初速度不为零的匀加速直线运动规律做铺垫。

 

示例   某机场起飞跑道长度为 l,我国自行研制的大型客机 C919 将在该跑道起飞,飞机起飞速度为 v。假设飞机从静止开始加速到起飞速度 v,飞机正常起飞所需的加速度 a至少应多大?

需强调这里把起飞过程视为匀加速直线运动过程是一种模型的简化近似处理方法。

分析在飞机起飞速度确定的条件下,飞机起飞的加速度受到跑道长度的限制。由初速度、末速度和最大位移,根据匀变速直线运动的规律可分析飞机起飞的最小加速度大小 a

:已知飞机的初速度大小 v0 = 0,末速度大小为 v,设起飞阶段飞机的位移为 x,由 v2=2ax可得飞机的加速度大小为

\[a = \frac{{{v^2}}}{{2x}}\]

可见,飞机起飞阶段位移x越大,正常起飞所需的加速度a越小。x最大也只能为机场跑道的全长,即 x = l时,飞机所需的加速度最小,为\(\frac{{{v^2}}}{{2l}}\)。

即飞机正常起飞所需的加速度大小至少为\(\frac{{{v^2}}}{{2l}}\)。

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第二章 匀变速直线运动

 

初速度为零的匀加速直线运动的 vt 图像是一条过原点的斜直线,这个结果是把物体开始运动的瞬间作为计时起点得到的。如果把计时起点取在物体运动一段时间之后, vt 图像如图2–18所示,此图反映了物体做初速度为 v0的匀加速直线运动的规律。物体在初始时刻的速度为 v0t1时刻的速度为 v1,图像的斜率为物体的加速度大小 a,图像中直线与时间轴所围“面积”就是物体在 0~t1 时间内位移 x 的大小。

这里要求学生在上一节建立的概念、方法和数学知识的基础上,利用数形结合的方法进行分析和演绎。

改变计时起点涉及数学上坐标轴平移问题;应用上一节无限细分与逼近以及微元累加的思想得出速度–时间图像与时间轴之间的“面积”表示位移的结论。

这对学生是一次全新的体验。

图2–18  初速度不为零的匀加速直线运动的 vt 图像

利用初速度不为零的匀加速直线运动的 vt 图像(图2–18),分别推导速度 v与时间 t 的关系、位移 x 与时间 t 的关系。

“自主活动”中,推导的要点:初速度为零的匀加速直线运动规律、时间起点平移、“面积”即为经过的位移大小。

t0时速度为v0,经过t1,速度为v1。由图2–18,得v1 = v0 + at1,再由x = \(\frac{1}{2}\)(v0 + vt)t1,得x = v0t + \(\frac{1}{2}\)at2;。

由初速度不为零的匀加速直线运动的 vt 图像可推得:

三个运动学公式表明:位移、速度、时间三者间具有一定的相互关系,运动的描述依赖于时间和空间。

初速度为v0的匀加速直线运动可看作初速度为零的匀加速直线运动与速度为v0的匀速直线运动的合成。

物体速度 v 与时间 t 的关系为

\[\color{#035C87}{v = {v_0} + at}\]

位移 x 与时间 t 的关系为

\[\color{#035C87}{x = {v_0}t + \frac{1}{2}a{t^2}}\]

在上述两式中消去时间 t ,即可得到速度 v 与位移 x 的关系为

\[\color{#035C87}{{v^2} = v_0^2 + 2ax}\]

做匀加速直线运动的物体,加速度保持不变。但是,我们不能简单地认为,物体具有恒定加速度时其速度一定增加。加速度是矢量,如果加速度的方向与初速度的方向相同,物体的速度大小随时间均匀增加,做匀加速直线运动;反之,如果加速度的方向与初速度的方向相反,则物体的速度大小将随时间均匀减小,做匀减速直线运动。

由于匀加速直线运动和匀减速直线运动的加速度都保持不变,所以又被统称为匀变速直线运动。

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第三节 匀变速直线运动的规律

 

在确定正方向后,我们便可用“正”“负”号表示位移、速度、加速度的方向。这样,匀减速直线运动就与匀加速直线运动的规律相同了,它们统称为匀变速直线运动的规律。

高速公路上,每经过一定路程,就会看到路面上画有车距确认辅助线,路旁竖立

 

图2–19  高速公路上的车距确认辅助线和提示牌

着车距确认提示牌(图2–19)。它们不时地提醒驾驶员注意车距,确保行驶安全。根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》,机动车在高速公路上行驶,车速超过100 km/h时,应当与同车道前车保持100 m以上的距离;车速低于100 km/h时,与同车道前车的距离可以适当缩短,但最小距离不得少于50 m。这样的规定背后,就蕴含着匀变速直线运动的规律。

此处设置“STSE”栏目,目的是引导学生认识科学原理对交通法规制定的指导意义。后续的示例及相关讨论对本栏目做了呼应。

示例  汽车以100 km/h的速度行驶于高速公路上的平直车道内。驾驶员突然发现前方100 m处发生了交通事故,在不宜变换车道的情况下随即紧急制动。若汽车刹车性能良好,可在5 s内刹停。试分析该汽车是否会发生交通事故。

“示例”示范了运用匀变速直线运动的规律解决实陈问题的思路,包括:建立物理模型;恰当应用物理规律;确定物理量的方向或符号;求解方程,代入数据,得出结果。

目的是帮助学生提高模型建构和分析推理能力。

本示例还可以由速度–时间图像的截距、斜率和面积的物理意义,通过分析计算得到结果。这有助于引导学生运用数形结合的方法促进其分析推理能力的提升。

分析可将驾驶员紧急制动后汽车的运动视为匀减速直线运动。先根据速度随时间变化的规律求得汽车制动的加速度a,再根据位移随时间变化的规律求出制动距离。通过比较制动距离与紧急制动时汽车到事故地点的距离即可判断该车是否会发生交通事故。

:将驾驶员紧急制动后汽车的运动视为匀减速直线运动。以车前进的方向为正方向,已知汽车的初速度v0 = 100 km/h ≈ 27.8 m/s,刹停时汽车的末速度v = 0 m/s,运动时间t = 5 s,由v = v0at可得汽车制动的加速度

\[a = \frac{{v - {v_0}}}{t} = \frac{{0{\rm{m/s}} - 27.8{\rm{m/s}}}}{{5{\rm{s}}}} \approx - 5.6{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

加速度a<0是因为其方向与车前进的方向相反。

由位移与时间的关系可得汽车的刹车距离

\[x = {v_0}t + \frac{1}{2}a{t^2} = 27.8{\rm{m/s}} \times 5{\rm{s}} + \frac{1}{2} \times ( - 5.6{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}) \times {(5{\rm{s}})^2} = 69{\rm{m}}\]

因为x = 69 m < 100 m,所以该汽车不会发生交通事故。

 

利用汽车从开始刹车到静止过程的v-t图像也可求出汽车的制动距离,从而判断汽车是否会发生交通事故。你可以试一试。

示例中求得的制动距离与交通法规中要求的车距相差比较大,其原因是没有考虑驾驶员的反应时间。反应时间是指从驾驶员发现突发情况到采取措施间的短暂间隙时间,在这

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第二章 匀变速直线运动

 

段时间内车辆依旧以原车速行驶。驾驶员的反应时间往往因人而异,顶级赛车运动员的最短反应时间可达 0.104 s,一般人的反应时间在 0.7 s左右,且反应时间与驾驶员的年龄、注意力集中程度、驾驶经验和体力状态等因素均有关。人在饮酒后的反应时间会成倍增加,所以规定严禁酒驾,违者将承担相应的法律责任!

如果考虑到驾驶员的反应时间,示例中汽车的制动距离还会增加。因此,在高速公路上车速超过 100 km/h的汽车应当与同车道前车保持 100 m以上的距离是具有科学依据的。

  1. 一质点从静止开始做匀加速直线运动,若质点在第3 s内的位移为15 m,求:

(1)质点运动的加速度大小。

(2)质点在前6 s内的位移大小。

(3)质点在第6 s内的位移大小。

(4)质点由第3 s末继续运动21 m时的速度大小。

  1. 竖直向上发射的火箭刚开始升空时的加速度约为 20 m/s2。若在最初的 5 s 内火箭做匀加速直线运动,则加速 3 s 后火箭的速度为多大?此火箭离发射处多高?
  2. 舰载机在航母甲板上允许滑行的最大距离为200 m,起飞时需要的最小速度为50 m/s,最大加速度为6 m/s2。根据上述信息,解释舰载机在航母上起飞为何必须借助航母获得一定的初速度,舰载机需要借助航母获得的最小速度为多大?
  3. 某卡车在危急情况下紧急刹车制动,制动过程中车轮在地面上留下的擦痕长为4 m。查阅有关参数得知该车制动加速度的大小为8 m/s2。判断该车制动前的车速。
  4. 表2–3为某小车沿斜面向下运动时的时间和位移数据,其相对应的 x-t 图像如图 2–20 所示。请在图2–21中画出小车在该运动过程中的v-t图像。从v-t图像上分析小车的运动性质,并求出小车运动的加速度。

表2–3

t/s

x/m

t/s

x/m

0

0.00

0.28

0.52

0.04

0.04

0.32

0.63

0.08

0.10

0.36

0.75

0.12

0.16

0.40

0.88

0.16

0.24

0.44

1.02

0.20

0.32

0.48

1.17

0.24

0.41

0.52

1.33

 
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第三节 匀变速直线运动的规律

 

图2–20

图2–21

 

图2–22

 

  1. 试将做匀加速直线运动的物体在第 6 s内和第5 s内的位移之差,与第8 s内和第7 s内的位移之差进行比较。
  2. 变色龙捕食时,以闪电般的速度伸出长舌头,准确捕捉猎物(图2–22)。变色龙的舌头每秒可移动约6 m,伸长距离可达身长的1.5倍。变色龙在某次捕食时,其舌头伸出30 cm,且在 0.1 s内就粘住猎物。估算该变色龙舌尖弹射的加速度大小。你认为你的估算与实际情况有哪些差异?

相对运动

为了比较形象地理解初速度不为零的匀加速直线运动规律,我们可以考虑如下场景。

输送带保持恒定的速度 v0 运行。如图4所示,两位旅客 A、B 并排站在输送带上随带一起匀速运动,另一旅客C静止站在输送带外。从 A、B 二人同时随输送带到达 C 所在位置 Ⅰ 开始计时,此后B在输送带上做加速度为 a 的匀加速运动,A 依旧随输送带一起运动。

经过一段时间 t 后,A 到达位置 Ⅱ,B 到达位置 Ⅲ,C 依旧在位置 Ⅰ 。对于随输送带匀速运动的 A 而言,当 B 到达位置 Ⅲ 时,自己已经到达位置 Ⅱ,因此 A 看到 B 相对自己做初速度为零的匀加速直线运动,位移为 x2 = \(\frac{1}{2}\)at2。对于地面上的 C 而言,A 相对 C 做匀速直线运动,位移为 x1 = v0t;B 相对 C 做初速度不为零的匀加速直线运动,位移为x。由图可知,xx1x2之间满足 x = x1 + x2,因此,B 相对于地面的位移的表达式为 x = v0t + \(\frac{1}{2}\)at2,即为初速度不为零的匀加速直线运动位移与时间的关系。

在旅客 C 看来,旅客 B 在0~t这段时间做初速度为v0,末速度为 vt 的匀加速直线运动,根据加速度的定义可得 a = \(\frac{{{v_t} - {v_0}}}{{t - 0}}\),经过简单的运算即可得到物体初速度不为零的匀加速直线运动速度与时间的关系式:vt = v0 + at,在上述二式中消去时间 t,即可得到速度 v 与位移 x 的关系式:vt2 = v02 + 2ax

1.参考解答:(1)6 m/s2。提示:第3 s的位移为3 s末的位移减去2 s末的位移。(2)108 m。(3)33 m。提示:第6 s的位移为6 s末的位移减去5 s末的位移。(4)24 m/s。提示:以第3 s末的速度为这 21 m 运动的初速度。

命题意图:相关运动规律的应用需要关注符号与运动过程及运动状态的对应关系。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);科学推理(Ⅱ)。

 

2.参考解答:60 m/s,90 m。提示:在实际情况中,火箭上升的过程为变加速运动。此题仅研究最初5 s火箭的运动,将这段运动视为匀变速直线运动。应用相应的关系式即可获得结果。

命题意图:从文字表述中提取有用的信息,转化为物理问题。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);科学推理(Ⅱ)。

 

3.参考解答:以舰载机为对象,将其视为质点。设空气静止(无风)。若航母静止,舰载机在航母上由静止开始加速起飞,以最大加速度通过 x =200 m 距离的末速度增大为 vʹ =\(\sqrt {2ax} \)≈49 m/s,该速度小于起飞的最小速度50 m/s。因此舰载机必须借助航母获得一定的初速度。航母匀速行驶,舰载机相对航母静止起飞,其借助航母获得 1 m/s 的速度,即可获得相对空气 50 m/s 的起飞速度。

命题意图:从文字表述中提取有用的信息,把文字转化为物理条件,再将物理条件转化为数学公式。

主要素养与水平:模型建构(Ⅱ);科学推理(Ⅱ)。

 

4.参考解答:将卡车的制动过程视为末速度为零的匀减速直线运动,经计算得卡车制动前车速为8 m/s。

命题意图:用匀变速直线运动的规律解决刹车制动的真实问题。

主要素养与水平:模型建构(Ⅱ);社会责任(Ⅰ)。

 

5.参考解答vt 图像如图所示。根据 vt 图像近似为一条直线可知,小车的运动可视为匀加速直线运动,由图像可知小车的初速度为 1 m/s,加速度约为 6.25 m/s2

命题意图:通过建立数据表格、运动图像与真实运动之间的联系,判断物体的运动性质及运动状态。

主要素养与水平:解释(Ⅲ);科学态度(Ⅰ)。

 

6.参考解答:设两段时间长度均为 T,第一段时间的初速度为 v1,末速度为 v2,第二段时间的末速度为 v3。第一段时间内的位移 x1 = \(\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2}\)T,第二段时间内的位移 x2 = \(\frac{{{v_2} + {v_3}}}{2}\)T,两段位移之差 Δx = x2x1 = \(\frac{1}{2}\)(v3v1T,将 v3 = v1 + 2aT 代入得 Δx = aT2,即在相继两个相同时间段内的位移之差仅与加速度及时间间隔长短有关。

命题意图:通过计算认识匀变速运动相邻相等时间位移差相等的普遍规律。

主要素养与水平:运动与相互作用(Ⅱ);科学推理(Ⅱ)。

 

7.参考解答:题中变色龙的舌头每秒移动 6 m 可理解为最大速度,即 vmax = 6 m/s,捕食时舌头 0.1 s 伸出 30 cm,可以将变色龙舌头的运动简化为初速度为零的匀加速直线运动。由 x =\(\frac{1}{2}\)at2 得 a = \(\frac{{2x}}{{{t^2}}}\) = \(\frac{{2 \times 0.3{\rm{m}}}}{{{{0.1}^2}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) = 60 m/s2。或由 vmax = at 得 a = \(\frac{{{v_{\max }}}}{t}\) = \(\frac{{6{\rm{m/s}}}}{{0.1{\rm{s}}}}\) = 60 m/s2。与实际情况的差异是变色龙的舌头在伸出去的过程中可能是先加速后匀速的,因此加速度的估算值小于实际值。

命题意图:将一个比较复杂的运动抽象为匀变速直线运动,体会模型建构的思想。在此基础上,对科学推理的过程进行反思和评价,从不同的角度思考问题,培养科学的态度。

主要素养与水平:模型建构(Ⅱ);质疑创新(Ⅰ)。

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发布时间:2021/7/9 17:22:37  阅读次数:2649

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