第四章 5 牛顿定律的应用

问题

为了尽量缩短停车时间,旅客按照站台上标注的车门位置候车。列车进站时总能准确地停靠在对应车门的位置。这是如何做到的呢?

问题插图

牛顿第二定律确定了运动和力的关系,使我们能够把物体的运动情况与受力情况联系起来。因此,它在许多基础科学和工程技术中都有广泛的应用。中学物理中我们只研究一些简单的实例。

从受力确定运动情况

如果已知物体的受力情况,可以由牛顿第二定律求出物体的加速度,再通过运动学的规律确定物体的运动情况。

【例题1】

运动员把冰壶沿水平冰面投出,让冰壶在冰面上自由滑行,在不与其他冰壶碰撞的情况下,最终停在远处的某个位置。按比赛规则,投掷冰壶运动员的队友,可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面,减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。

图4.5-1
图4.5-1

(1)运动员以 3.4 m/s 的速度投掷冰壶,若冰壶和冰面的动摩擦因数为 0.02,冰壶能在冰面上滑行多远?g 取 10 m/s2

(2)若运动员仍以 3.4 m/s 的速度将冰壶投出,其队友在冰壶自由滑行 10 m 后开始在其滑行前方摩擦冰面,冰壶和冰面的动摩擦因数变为原来的 90%,冰壶多滑行了多少距离?

分析 (1)对物体进行受力分析后,根据牛顿第二定律可以求得冰壶滑行时的加速度,再结合冰壶做匀减速直线运动的规律求得冰壶滑行的距离。

(2)冰壶在滑行 10 m 后进入冰刷摩擦后的冰面,动摩擦因数变化了,所受的摩擦力发生了变化,加速度也会变化。前一段滑行 10 m 的末速度等于后一段运动的初速度(图4.5-2)。根据牛顿第二定律求出后一段运动的加速度,并通过运动学规律求出冰壶在后一段过程的滑行距离,就能求得比第一次多滑行的距离。

图4.5-2
图4.5-2

(1)选择滑行的冰壶为研究对象。冰壶所受的合力等于滑动摩擦力 Ff(图4.5-3)。设冰壶的质量为 m,以冰壶运动方向为正方向建立一维坐标系,滑动摩擦力 Ff 的方向与运动方向相反,则

图4.5-3
图4.5-3

\[{F_{\rm{f}}} = - {\mu _1}{F_{\rm{N}}} = - {\mu _1}mg\]

根据牛顿第二定律,冰壶的加速度为

\[{a_1} = \frac{{{F_{\rm{f}}}}}{m} = - \frac{{{\mu _1}mg}}{m} = - {\mu _1}g = - 0.02 \times 10{\rm{ m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{ = }} - 0.2{\rm{ m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

加速度为负值,方向跟x轴正方向相反。

将 v0=3.4 m/s,v = 0 代入 v2 - v02 = 2a1x1,得冰壶的滑行距离为

\[{x_1} = - \frac{{v_0^2}}{{2{a_1}}} = - \frac{{{{3.4}^2}}}{{2 \times ( - 0.2)}}{\rm{m}} = 29.8{\rm{m}}\]

冰壶滑行了 28.9 m。

(2)设冰壶滑行 10 m 后的速度为 v10,则对冰壶的前一段运动有

v102 = v02 + 2a1x10

冰壶后一段运动的加速度为

a2 = -µ2g = -0.02×0.9×10 m/s2 = -0.18 m/s2

滑行 10 m 后为匀减速直线运动,由 v2 - v102 = 2a2x2v = 0,得

\[{x_2} = - \frac{{v_{10}^2}}{{2{a_2}}} = - \frac{{v_0^2 + 2{a_1}{x_{10}}}}{{2{a_2}}} = - \frac{{{{3.4}^2} + 2 \times ( - 0.2 \times 10)}}{{2 \times ( - 0.18)}}{\rm{m}} = 21{\rm{m}}\]

第二次比第一次多滑行了

(10+21-28.9)m = 2.1 m

第二次比第一次多滑行了 2.1 m。

从运动情况确定受力

如果已知物体的运动情况,根据运动学规律求出物体的加速度,结合受力分析,再根据牛顿第二定律求出力。这是力学所要解决的又一方面的问题。

【例题2】

如图 4.5-4,一位滑雪者,人与装备的总质量为 75 kg,以 2 m/s 的初速度沿山坡匀加速直线滑下,山坡倾角为 30°,在 5 s 的时间内滑下的路程为 60 m。求滑雪者对雪面的压力及滑雪者受到的阻力(包括摩擦和空气阻力),g  取 10 m/s2

图4.5-4
图4.5-4

分析 由于不知道动摩擦因数及空气阻力与速度的关系,不能直接求滑雪者受到的阻力。应根据匀变速直线运动的位移和时间的关系式求出滑雪者的加速度,然后,对滑雪者进行受力分析。滑雪者在下滑过程中,受到重力 mg、山坡的支持力 FN 以及阻力 Ff 的共同作用。通过牛顿第二定律可以求得滑雪者受到的阻力。

以滑雪者为研究对象。建立如图 4.5-5 所示的直角坐标系。滑雪者沿山坡向下做匀加速直线运动。根据匀变速直线运动规律,有

图4.5-5
图4.5-5

\[x = {v_0}t + \frac{1}{2}a{t^2}\]

其中 v0 = 2 m/s,t = 5 s,x = 60 m,则有

\[a = \frac{{2({x_0} - {v_0}t)}}{{{t^2}}} = \frac{{2(60 - 2 \times 5)}}{{{5^2}}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}} = 4{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

根据牛顿第二定律,有

y 方向            FN - mgcosθ = 0

x 方向            mgsinθ - Ff = ma

FN = mgcosθ

Ff = mgsinθ - a

其中,= 75 kg,θ = 30°,则有

Ff = 75 N,FN = 650 N

根据牛顿第三定律,滑雪者对雪面的压力大小等于雪面对滑雪者的支持力大小,为 650 N,方向垂直斜面向下。滑雪者受到的阻力大小为 75 N,方向沿山坡向上。

练习与应用

本节共4道习题。第1题练习运用牛顿第二定律解决简单的实际问题,形成从受力情况可以确定运动情况的观点。第2题练习将实际问题中的对象和过程转换成所学的物理模型,即将人员沿气囊下滑的问题抽象为质点沿斜面匀加速下滑,从受力确定运动情况。第3题将汽车刹车后的运动抽象为质点沿水平方向的匀减速运动,从运动情况确定受力。第4题练习在正交坐标系中,沿加速度方向建立 x 轴,根据牛顿第二定律得出函数表达式,进而分析物理量的变化规律和变化趋势,培养应用数学解决物理问题的能力。

 

1.质量为 20 kg 的物体静止在光滑水平面上。如果给这个物体施加两个大小都是 50 N 且互成 60° 角的水平力(图 4.5-6),那么,3 s 末它的速度是多大? 3 s内它的位移是多少?

图4.5-6
图4.5-6

参考解答:13 m/s:19.5 m

 

2.民航客机都有紧急出口,发生意外情况的飞机紧急着陆后,打开紧急出口,狭长的气囊会自动充气,生成一条连接出口与地面的斜面,人员可沿斜面滑行到地面(图4.5-7)。若机舱口下沿距地面 3.2 m,气囊所构成的斜面长度为 6.5 m,一个质量为 60 kg 的人沿气囊滑下时所受的阻力是 240 N,那么,人滑至气囊底端时的速度是多少?g 取 10 m/s2

图4.5-7
图4.5-7

参考解答:3.5 m/s

设斜面的倾角为 θ,则 sinθ = \(\frac{{3.2}}{{6.5}}\) = 0.49。根据牛顿第二定律有 mgsinθFf = ma。代入数据得 a = 0.92 m/s2。人滑至气囊底端的速度 v2 = 2ax。代入数据解得 v =3.5 m/s。

 

3.汽车轮胎与公路路面之间必须要有足够大的动摩擦因数,才能保证汽车安全行驶。为检测某公路路面与汽车轮胎之间的动摩擦因数,需要测试刹车的车痕。测试汽车在该公路水平直道上以 54 km/h 的速度行驶时,突然紧急刹车,车轮被抱死后在路面上滑动,直至停下来。量得车轮在公路上摩擦的痕迹长度是 17.2 m,则路面和轮胎之间的动摩擦因数是多少?g 取 10 m/s2

参考解答:0.65

 

4.一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。在车厢底,一层油桶平整排列,相互紧贴并被牢牢固定,上一层只有一只桶 C,自由地摆放在桶 A、B 之间,没有用绳索固定。桶 C 受到桶 A 和桶 B 的支持,和汽车一起保持静止,如图 4.5-8 所示。

图4.5-8
图4.5-8

(1)当汽车向以某一加速度向左加速时,A 对 C 和 B 对 C 的支持力大小,会增大还是减小?请说明理由。

(2)当汽车向左运动的加速度增大到一定值时,桶 C 就脱离 A 而运动到B的右边,这个加速度有多大?

参考解答:(1)A 对 C 的支持力减少;B 对 C 的支持力增大。

(2)\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)g

提示:(1)以 C 为研究对象,受力分析如图所示,货车静止时 FA = FB = \(\frac{{mg}}{{2\cos 30^\circ }}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)mg

当货车以加速度 a 向左加速时 Fy = FB′cos30° + FA′cos30° − mg = 0,Fx = FBsin30° − FA′sin30° = ma。解得 FA′ = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)mgmaFB′ = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)mg + ma

与静止时相比,A对C的支持力减小,B对C的支持力增大。

(2)由 FA′ = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)mgma 可知,加速度 a 增大,A 对 C 的支持力减小。当 A 对 C 的支持力减小到 0 时,C 就脱离 A,解得 a = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)g

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发布时间:2019/12/21 11:19:13  阅读次数:3833

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