第六章 A 简谐运动 振动图象

本章在基础型课程关于振动和波的知识基础上，拓展学习简谐运动、单摆和纵波的内容，进一步领会“建立理想模型”这一重要的物理思想方法。单摆是一个典型的物理模型。为什么要建立这样一个模型？建立这样一个模型忽略了哪些次要因素？突出了哪些主要特征？这些问题都将在本章内容中获得答案，我们还将深入讨论波的另一种形式——纵波，以全面巩固和掌握波的特征。同时，本章还拓展了多普勒效应等内容，通过介绍这些知识的广泛应用，扩展大家的科学视野，从而了解现代技术发展的一个侧面，体验物理学与技术、物理学与社会的紧密联系。

喜爱音乐的人都知道，不同乐器即使发出同一个音也是有区别的，我们可以用耳朵进行鉴别。这是因为每种乐器的振动都是复杂的振动，它们是由许多不同频率、不同振幅的简单振动组成，不同的组成就决定了声音的音色。音色又叫做音品。

例如，我们用DIS研究钢琴“中央C”这个音，它的振动比较复杂，如图6-1所示。为了知道这个复杂振动的组成，我们运用“频谱分析”软件，可以得到如图6-2所示的图线，可知“中央C”音至少由四个简单的振动组成，它们的频率分别为250Hz、500Hz、1000Hz、1250Hz，其中频率为250Hz的振动频率最低，振幅最大，叫做基音。

不仅乐器的振动，绝大多数其他的振动也都是由许多最简单的振动组成，这种最简单的振动叫做简谐运动。掌握简谐运动，是研究复杂振动的基础。本节将学习简谐运动及其图象。

一、简谐运动

自然界中简谐运动比较少见，大多数的振动都是由许多简谐运动合成的复杂振动，但是基础型课程中弹簧振子的振动是简谐运动。

什么原因使弹簧振子做简谐运动呢？大家知道，振动是由于作用在质点上的回复力引起的，我们来分析弹簧振子的回复力的特点。图6-3中振子受到的重力和支持力相互平衡，不影响运动，未在图中画出，摩擦力不计。弹簧振子所受的回复力就是弹簧的弹力，当振子处于平衡位置O时回复力为零，振子在O的右侧时回复力向左，振子在O的左侧时回复力向右，始终指向平衡位置。

弹簧弹力的大小与振子偏离平衡位置的位移（弹簧形变）成正比，方向与振子偏离平衡位置的位移方向相反，这个规律叫做胡克定律，其表达式为F＝－kx，式中负号表示回复力与振子位移方向相反。k是一个常数，对弹簧振子来说，就是弹簧的劲度系数。

凡是在大小与振子偏离平衡位置的位移成正比，方向始终指向平衡位置的回复力作用下的振动，都是简谐运动。

除了弹簧振子外，音叉的振动，一端固定的弹簧片的振动，重锤小角度的摆动等都是简谐运动。简谐运动是最简单、最基本的振动。

示例1

小孩在水平地面上拍皮球，皮球上下往复运动是不是简谐运动？

【解答】判断物体是否做简谐运动，只要分析它的回复力遵循什么规律。拍皮球虽然是简单的现象，受力情况却比较复杂。我们以皮球上升的中间高度为中心位置，它也受回复力的作用。当小球在中心位置上方的空中时只受重力作用（空气阻力不计），方向向下；接触到手时，除了重力外还受手掌向下的弹力的作用；接触地面时重力不是回复力，皮球受地面向上的弹力的作用而向上运动。但无论在什么阶段，皮球所受指向中心位置的回复力都不会与皮球的位移成正比。因此皮球的运动不是简谐运动。

二、振动图象

在基础型课程中我们已经学会用振幅、周期、频率等物理量来描述振动，而用图线来描绘振动则更直观和形象。

在学习弹簧振子的振动时，我们曾用实物图（图6-4）表示在9个不同时刻振子所在的位置，并要求用光滑的曲线把球心的位置连接起来，如果把图6-4逆时针旋转90°，使表示时间的坐标轴为横轴，表示小球位移的坐标轴为纵轴，就可以得到图6-5。进一步抽象后就得到反映小球振动的位移和时间关系的x-t图，如图6-6所示，这就是振动图象。通过振动图象可以确定任一时刻振动物体的位移。

弹簧振子的振动是最简单的振动，即简谐运动，它的振动图象是正弦或余弦曲线。但是大多数物体的振动都比较复杂，它们的振动图象也比正弦或余弦曲线复杂得多，请看图6-7，说明其他振动的图象都比弹簧振子的振动图象复杂得多。

但是，无论振动多么复杂，振动物体的位移-时间图象都反映了振动物体的位移和时间的关系，都叫做振动图象。

大家谈

振动图象能不能表示振动的振幅和周期？如果能表示，该如何表示？

示例2

图6-8是某物体的振动图象，a、b、c、d、e、f、g、h、i表示图线上的各点，根据图象解答下列问题：

（1）求出振动周期和振幅；

（2）指出t＝0时，物体的位置；

（3）求出t＝0.5s时，物体的位移；

（4）指出物体速度最大的时刻。

【分析】如果规定了振动图象坐标轴的标度和单位，就可以定量示振动的振幅与周期，由高一下学期基础型教材第15页“自主活动”可知，小球在平衡位置速度最大，在最大位移处速度为零，据此即可解小题（4）。

【解答】（1）a、c、e、g、i各点表示振动物体到平衡位置的距离最大，它们中任一点的纵坐标的绝对值就是振幅，由图得A＝2cm。为求周期先要找出位移和运动状态完全相同，而且相距最近的两点，其中有a和e、b和f、c和g、d和h、e和i等，以上任一对点的横坐标之差就是周期，由图得T＝0.4s。

（2）t＝0时，由图可知，物体不在平衡位置，位于纵坐标轴正方向位移最大处。

（3）由图可知，t＝0.5s时，物体的位移为零。

（4）物体在平衡位置时速度最大，对应的点为b、d、f和h点，对应的时刻为0.1s、0.3s、0.5s和0.7s。

*三、用参考圆研究简谐运动

弹簧振子和下节将学习的小摆角单摆的振动都是典型的简谐运动，现在我们用参考圆来较深入地研究简谐运动。

图6-9中一个质点M₀沿半径为R的圆周做匀速圆周运动，角速度为ω，它在过圆心的x轴上的投影是M点。可以证明当M₀点做匀速圆周运动时，M点就沿着x轴做振幅为R的简谐运动。在简谐运动过程中，M点的位移、速度、加速度都在不断变化，而且都等于M₀点的相应物理量在x轴方向上的分矢量，这样我们可以非常方便地求出M点的位移、速度、加速度的表达式。

先讨论质点M₀的位置、速度、加速度。描述M₀位置的矢量大小x₀＝R，方向沿它所在的半径方向；速度大小v₀＝ωR，方向沿圆周切线方向；加速度大小a₀＝ω₀²R，方向沿半径方向指向圆心。这三个矢量在x轴方向上的投影就是做简谐运动的M点的位移、速度和加速度，由矢量分解的方法和三角公式可得M点的位移、速度和加速度分别为

x＝Rcosωt，v＝－ωRsinωt，a＝ω²Rcosωt。

由以上三式可求出做简谐运动的M点在任一时刻的位移、速度和加速度，如果得出负值表明该矢量方向与x轴的正方向相反。由以上三式还可以看出，当M点在平衡位置（ωt等于\(\frac{\pi }{2}\)的奇数倍）时，位移和加速度为零，速度值最大；当M点在最大位移处（ωt等于\(\frac{\pi }{2}\)的偶数倍）时，位移和加速度值最大，速度值为零。

自主活动

根据上文提供的原理和方法，自己再用参考圆推导出做简谐运动质点的位移、速度和加速度的表达式。

发布时间：2016/2/4 下午9:45:46  阅读次数：2734