2.4 单位矩阵

有一种特殊的矩阵称为单位矩阵(identity matrix)。单位矩阵是一个正方形矩阵,它除了对角线上的元素为1外,其他元素均为0。例如,下面是2×2、3×3和4×4单位矩阵。

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}} \right]\]

单位矩阵的作用相当于一个乘法单位;也就是,如果A是一个m×n矩阵,B是一个n×p矩阵,In×n单位矩阵,那么

AI=AIB=B

换句话说,将一个矩阵与单位矩阵相乘,得到结果不会发生改变。单位矩阵可以被看成是矩阵中的数字1。如果M是一个正方形矩阵,那么M与单位矩阵之间的相乘次序可以交换:

MI=IM=M

例2.6

设\({\bf{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right]\),\({\bf{I}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]\) 。证明MI=IM=M

运用公式2.1可得:

 \[{\bf{MI}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(1,2) \cdot (1,0)}&{(1,2) \cdot (0,1)}\\{(0,4) \cdot (1,0)}&{(0,4) \cdot (0,1)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right]\]

\[{\bf{IM}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(1,0) \cdot (1,0)}&{(1,0) \cdot (2,4)}\\{(0,1) \cdot (1,0)}&{(0,1) \cdot (2,4)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&4\end{array}} \right]\]

因此,MI=IM=M为真。

例2.7

设u=[−1,2],\({\bf{I}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]\) 。证明uI=u。运用公式2.1可得:

\[{\bf{uI}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = \left[ {(\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1,2) \cdot (1,0)}&{( - 1,2) \cdot (0,1)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\end{array}} \right]\]

注意,我们无法计算Iu的乘积,因为它在矩阵乘法中没有意义。

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发布时间:2014/9/16 19:26:04  阅读次数:4279

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