1.2 长度和单位向量

在几何学中,向量的大小等于有向线段的长度。我们用双竖线来表示向量的大小(例如,‖u‖表示u的大小)。现在,给出一个向量u=(x,y,z),我们希望以代数方式计算它的大小。通过运用两次毕达哥拉斯定理可以计算出3D向量的大小(译者注:毕达哥拉斯定理和勾股定理的概念相同,换言之,毕达哥拉斯定理就是勾股定理);参见图1.8。

图1.8
图1.8 通过运用两次毕达哥拉斯定理计算3D向量的长度。

首先,我们来看xz平面上的三角形边xz及斜边a。由毕达哥拉斯定理可知\(a = \sqrt {{x^2} + {z^2}} \) 。现在来看三角形边ay及斜边‖u‖。通过再次使用毕达哥拉斯定理,可以得到如下求模公式:

\(\left\| {\bf{u}} \right\| = \sqrt {{y^2} + {a^2}} = \sqrt {{y^2} + {{(\sqrt {{x^2} + {z^2}} )}^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \)    (1.1)

在某些应用中,我们不关心向量的长度, 只希望用向量来表示一个单纯的方向。对于这种只表示方向、不表示大小的向量,我们希望将其长度精确地设定为1。当我们想要让一个向量具有单位长度时,我们说要对该向量进行规范化。我们将向量的每个分量除以该向量的模,得到规范化向量:

\({\bf{\hat u}} = \frac{{\bf{u}}}{{\left\| {\bf{u}} \right\|}} = \left( {\frac{x}{{\left\| {\bf{u}} \right\|}},\frac{y}{{\left\| {\bf{u}} \right\|}},\frac{z}{{\left\| {\bf{u}} \right\|}}} \right)\)    (1.2)

要验证这个公式的正确性,只需计算\({\bf{\hat u}}\)的长度即可:

\[\left\| {{\bf{\hat u}}} \right\| = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\left\| {\bf{u}} \right\|}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\left\| {\bf{u}} \right\|}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{z}{{\left\| {\bf{u}} \right\|}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}{{\sqrt {{{\left\| {\bf{u}} \right\|}^2}} }} = \frac{{\bf{u}}}{{\left\| {\bf{u}} \right\|}} = 1\]

因此, \({\bf{\hat u}}\)确实是一个单位向量。

例1.3

对向量v= (−1,3,4) 进行规范化。我们计算\(\left\| {\bf{v}} \right\| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {26} \) 。则, \({\bf{\hat v}} = \frac{{\bf{v}}}{{\left\| {\bf{v}} \right\|}} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt {26} }},\frac{3}{{\sqrt {26} }}\frac{4}{{\sqrt {26} }}} \right)\)

要验证\({\bf{\hat v}}\)是否为单位向量,只需计算它的长度:

\[\left\| {{\bf{\hat v}}} \right\| = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{\sqrt {26} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{{\sqrt {26} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{{\sqrt {26} }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{1}{{26}} + \frac{9}{{26}} + \frac{{16}}{{26}}} = \sqrt 1 = 1\]

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发布时间:2014/9/7 20:57:55  阅读次数:4241

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